浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二年级上册期中联考数学试题

2024学年第一学期宁波五校联盟期中联考

高二年级数学学科参考答案

题号1234567891011

答案CABBCDBDABABCACD

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1,下列直线中，倾斜角最大的是()

A.y(3x+y+1=0B.>/3x-y+1=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】C

【解析】

【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得.

【详解】直线底+y+l=0的斜率为-倾斜角为120°;直线后一丁+1=0的斜率

为石，倾斜角为60°，

直线x+y+l=0的斜率为-1,倾斜角为135°：直线*一歹+1=0的斜率为1，倾斜角为45°，

显然直线x+y+l=0的倾斜角最大.

故选：C

2.已知点/(3,2,-1),3(4,1,-2),。(一5,4,3),且四边形力BC。是平行四边形，则点D的

坐标为()

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

【答案】A

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【解析】

【分析】设点。的坐标为(X//).结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向

量的相等向量的计算即可求解.

【详解】设设点。的坐标为(X,y,z),

由题意得刀=(4,1,—2)-(3,2,—1)=(1,—L-1)

DC=(-5,4,3)-(x,/z)=(-5-x,4-乂3-z),

因为四边形488是平行四边形，所以荏=皮,

-5-^=1x=-6

所以＜4-y=-l,解得〈歹=5,

3-z=-0z=4

故选：A

3.如图，平行六面体NBC。-48clz)|中，E为BC的中点，施布=石，

2

-3工一D-—1

C.aH—b+c

222

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得.

【详解】在平行六面体NBC。—44GA中，E为BC的中点，

所以Z)[E=DM+AlA+AB+BE=-AD-AA}+AB+^AD=a-^b-c.

故选：B

4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面,

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可以看成是双曲线。!-白叱叱。）的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面

若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm,最大直径为60cm,双曲线的离心率为卡，则该

花瓶的高为（）

A90cmB.100cmC.110cmD.

120cm

【答案】B

【解析】

【分析】由a）,c关系以及离心率、。=20可得双曲线方程，进一步代入x=30即可求解.

【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm,有a=20,

又由双曲线的离心率为痣，有c=20#,b=206，

22

可得双曲线的方程为------J=1,代入X=30,可得歹=±50,故该花瓶的高为100cm.

4002000

故选：B

5.若直线2x+（2a-5）y+2=0与直线加+2y-l=0互相垂直，则/+/的最小值为（）

A.73B.3C.5D.6

【答案】C

【分析】由两直线垂直得。力关系后转化为函数求解，

【解析】因为直线2x+（2a-5）y+2=0与直线bx+2y-l=0互相垂直，

所以乃+2（2"5）=0,化简得b=5-2a,

所以/2-2*+25=5（a-2）2+5,当且仅当a=2时取J"，所以，+从

的最小值为5,

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故选：c

22

Yv

6.已知双曲线/>0）的左、右焦点分别为片，片，点A在V轴上，点B在

ab

______,__

。上，耳1至,即=§不§,则。的离心率为（）

A.手>B.y/3+y/2C.2D.73+1

【答案】D

【解析】

【分析】\AB\=x,根据条件表示出以用伤|飓怛盟,则可表示出a,c,进而可

得离心率.

【详解】如图，令|4B|=x,由即=百瓦瓦得卜耳|=|四|=2x,

又•.•ABA.BF2,则忸工|=后,|班|=3X,\BF{\-\BF2\=（3-外=2a,

即4=三叵x，又由|耳=2c=、BF；+BF；=2Gx,得6=氐，

7.已知双曲线q=i（。>0,b>0）的离心率为行，圆&一。）2+歹2=9与c

ab

的一条渐近线相交，且弦长不小于2,则。的取值范围是（）

A.（0,1]B,（p,Vw]C.（0,3D-°i

【答案】B

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【解析】

【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为歹=±2x,结合弦长可得p—T

219s2

运算求解即可.

【详解】设双曲线。的半焦距为c>0,

且双曲线。的焦点在x轴上，所以双曲线。的渐近线为y=±2x,

因为圆（x-a）2+必=9的圆心为（a,0）,半径r=3,

可知圆（x—a）2+j?=9关于x轴对称，不妨取渐近线为少=2x,即2x-y=0,

则圆心（。,0）到渐近线的距离d=^<3,可得0<口<¥，

又因为圆。一。）2+歹2=9与双曲线c的一条渐近线相交弦长为2j产一/=2,9-警，

由题意可得，2斤l—TT2解得，

所以。的取值范围是

故选：B

8.已知曲线氏x\x\+y\y\=1,则下列结论中错误的是（）

A.曲线£与直线V=-x无公共点B.曲线£关于直线x对称

c.曲线£与圆（、+、5）2+（，+播）2=9有三个公共点D.曲线£上的点到直线y=-x

的最大距离是0【答案】D

【解析】

【分析】分类讨论求出曲线的方程，画出图象，结合图象逐项分析即可.

【详解】因为曲线E的方程为中|+丁3=1,

当XNO,时，曲线E的方程为V+y2=],

当x>0,歹<0时，曲线E的方程为*2一/=1,

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是焦点在X上的等轴双曲线右支的一部分.

当x＜0,歹＞0时，曲线E的方程为/一犬=1,

是焦点在V上的等轴双曲线上支的一部分.

作出曲线E的图象如图：

由图象可知曲线E关于直线歹=*对称，曲线E与直线P=-X无公共点，故A,B正确;

作夕=一》的平行线与曲线E切于点4日，¥），

曲线E上的点到直线＞V=-X的最大距离是圆的半径。4为1,故D错误：

圆（*+收）2+（y+"If=9的圆心为：（一也,一&），

曲线E上的点Z?，弓到圆心的最大距离为小孝+拒+〔乎+收=3.

圆过点A,如图：

曲线E与圆（X+7份）2+（歹+£）2=9有三个公共点，故C正确.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

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分.

9.已知向量R=«,2f,2）,&=（2，-2,一£,一1）,则下列结论正确的是（）

一一4

A.若耳_L马，贝h=—1B.若R〃&，贝ijf=1

C•同的最大值2D.［口成钝角，则>7

【答案】AB

【解析】

【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项.

【详解】A.若不，&,则不•&=/（21-2）-2『一2=0,得1=一1,故A正确:

B.若则q=笳2，即&2/,2）=4（2/—2,—/,—1）,得

7=X（2X-2）

<2z=-At,解得：A=-2,t=~,故B正确；

2=­A

C.同=〃+4,+4=折+422,当》=0时，闻的最小值2,故C错误；

D.7.7nmii,、i由B可知，AD错。

e*2=-2"2<0,则/>-1,£>-1且/。上

5

故选：AB

10.如图所示，在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，P是线段G4上的动点，则下

列说法正确的是（）

A.平面BB】P工平面4BCDB.BP的最小值为2近

C.若尸是GR的中点，则到平面8局P的距离为与5

D.若直线用尸与8〃所成角的余弦值为半，则RP=g

【答案】ABC

【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点P与G重合

时，BP取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向

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量求法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点A到平面

3用尸的距离，即可判断D.

【详解】在正方体44GA中，因为8月_L平面力BCD,8&u平面B&P,

所以平面8与P_L平面力BC。，故A正确;

连接BG，由AG1平面BBC。，BC|U平面得。1G，BG，

故在RtZYDCR中，当点P与G重合时，8P取最小值2及，故B正确；

如图，以。4、DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。-乎，

则3(2,2,0),4(2,2,2),A(0,0,2),设尸(0,肛2),0<w<2,

则肝=(—2,加—2,0),西=(—2,-2,2),

假设存在点P,使直线片尸与3A所成角的余弦值为巫，

BRBD]_\8-2m\

则卜os〈81P,8A〉卜

网西,4+(“—2)2.265

解得加=-2(舍去)，或加=1,此时点尸是GA中点，DP=l,故D错误：

由44i,8片且44a平面8片尸，BB】u平面BBF,知及"平面BqP,

则44到平面BBF的距离，即为A到平面84尸的距离：

尸是GA的中点，故尸(0,1,2),AS=(0,2,0),V=(-2-1,0),函=(0,0,2),

一/、{m-B,P=0123+歹=0

设平面8耳尸的法向量为加=(xj,z),则_L,即'],

比•即=0[2z=0

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取x=l,则y=-2,z=0,故而=(1,-2,0),

.司44#

所以点A到平面BBF的距离为J—=二=至2,

|同亚5

即到平面84P的距离为"5,c正确.

5

故选：ABC

11.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美

观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面

直角坐标系xOy中，到两定点耳B(a,0)距离之积为常数〃的点的轨迹C是双

纽线.若“(3,0)是曲线C上一点，则下列结论正确的是()

A.曲线C上有且仅有1个点尸满足|尸耳=忱工|

B.B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.若直线蚱去与曲线C只有一个交点，则实数%的取值范围为

D.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

答案ACD

22222

【详解】【详解】对于选项A：||•|PF21=yl(x+a)+y-yl(x-a')+y=a,

化简得到：［？+/)

将”(3,0)代入可得2a2=9，

所以曲线0：卜2+丁2)2=912-。).

把(一苍一刃代入［2+J?)2=9卜2一歹2)得+/2)2=912_/),

对于选项A：点尸满足|P团=|尸鸟］,则尸在质垂直平分线上，则Xp=0,

设尸(0,Vp),则("2'

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Tp=0,故只有原点满足，一个点。

令尸0解得x=0,或、=±3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0),

结合图象，-3WxW3,

令、=±1,得令、=±2,得i<y2=zlZ^^<2,

因此结合图象曲线。只能经过3个整点，(0,0),(2,0),(-2,0),故B错误；

+埒=9(W_/)可得+/=w9,

所以曲线C上任意一点到坐标原点。的距离〃=G7743,即都不超过3,

故D正确；

直线^=去与曲线■2+、2)2=962-;;2)一定有公共点(0,0),

若直线V=b与曲线C只有一个交点，

所以,32+")=9(W-V),整理得/(1+公)2=9/(1-〃)无解，

y=kx

即1-公40,解得壮(-8,-1］。［1，­)，故C正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.点M(1,0)到直线y=kx+2的距离最大值是.

【答案】V5

【解析】

【分析】根据直线夕=6+2过定点2(0,2),得至“初胃=有，进而得到答案.

【详解】由题意得，直线夕=丘+2过定点4(0,2),则|初4|=若，

如图所示，当直线丁=丘+2与直线M4垂直时，

此时点”(1,0)到直线y=kx+2的距离最大值，且最大值为V5.

故答案为：V5.

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o\MX

13.如图，在三棱锥尸一48。中，已知尸/_!,平面ZBC,ZXBC=120°,

PA=AB=BC=6,则向量定在向量部上的投影向量为(用向量前来表

【答案】-BC

2

【解析】

【分析】写出正表达式，求出沙•前，万•前，前•前，即可得出向量定在向量前

上的投影向量.

【详解】由题意，

在三棱锥P—Z8C中，已知P4_L平面4BC,

~PC=~PA+^B+BC,

；BCu面ABC,

：.PALBC,PA-BC=Q,

在中，ZABC=120°,PA=AB=BC=6,

/.BC-5C=|5C|2=36,

AB-5C=|IB|-|BC|COS(1800-Z^BC)=6X6COS(180°-120°)=18,

向量正在向量元上的投影向量为：

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至远^PA+AB+BC\BCPA-BC+AB-BC+BC-BC—

W=R=R

故答案为：^BC.

2

14.我国南北朝时期的数学家祖晅提出了计算体积的祖暄原理：“幕势既同，则积不容异”，

其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所

截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是

二一片=1

由双曲线42与它的渐近线以及直线歹=±4也所围成的图形，将此图形绕歹轴旋

转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为.

【答案】32在r

【解析】

【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖晅原理

求出旋转体体积作答.

二一2=1厂_

【详解】双曲线42的渐近线为x±，2歹=°,设直线血')

交双曲线及其渐近线分别于C,D及A,B

由得

由｛工■>=4'得。(皿川刀卜历瓦小

线段绕y轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，它是一个圆环，其内径

\AB\=2y/2\t\,外径|C0|=2“+2",

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此圆环面积为p4+2r2)27T-(V2卜『兀=4兀，

因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为4兀，旋转体的高为&五，

而底面圆半径为2,高为&式的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为4兀，

由祖迪原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为2,高为&0的圆柱的体积为32衣广

故答案为：32岳

【点睛】关键点点睛：利用祖晅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，

并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面

面积相等是解题的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.己知直线(：x+y+2=0,4：、+歹=0,直线/过点(10,-4)且与4垂直.

(1)求直线/的方程；

(2)设/分别与4交于点力，B,。为坐标原点，求过三点4B,。的圆的方程.

【答案】(1)］一y—14=0；

(2)x2+y2-6x+8y=0(或(x-3/+(y+4/=25)；

【解析】

【分析】(1)利用直线垂直可求得斜率为4=1,由点斜式方程可得结果：

(2)分别求出两直线交点坐标，设出圆的一般方程代入计算即可求得圆的方程.

【小问1详解】

由题意可得4：x+y+2=0的斜率为一1,

可得直线/的斜率为k=l,由点斜式方程可得+4=x-10,

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即直线/：x—y—14=0；4分

【小问2详解】

x—”—]4—0

联立直线/和4方程b+1+25，解得4（6,—8）....................6分

x-y—=0/、

联立直线/和人方程,"=0'解得网7，一7）；8分

如下图所示:

设过三点Z,B,。的圆的方程为工2+1/+以+砂+尸=0,

(36+64+6。—8E+b=0[D=-6

将三点坐标代入可得〈49+49+7O-7E+R=0,解得〈E=8,

F=0F=0

可得圆的方程为/+/一6*+8y=0(或(x-3y+(y+4)2=25)......13分

16.如图，在三棱柱/BC-44G中，四边形44£C是边长为4的菱形，AB=BC=如,

点〃为棱力C上动点（不与4,。重合），平面为8。与棱4G交于点发

(1)求证38J/QE；

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⑵已知84="f,—=-,^AXAC=60°求直线AB与平面B.BDE所成角的正弦值.

AC4

16.(1)详见解析

呜

【详解】(1)•:BB\〃CC\,

且叫<z平面ACCM,CG<=平面ACCtAt,

•^.84〃平面/CG4，

又1.•BB'U平面B[BD,且平面B,BDD平面ACCtAt=DE,

/.BBJ/DE；...................................................................5分

(2)连结4C，取/c中点。，连结4。，BO,

在菱形ZCG4中，N//c=60°,.・・△力/。是等边三角形，

又•.•。为47中点，.••4O_L/C,

4。=2A/3>

同理8。=3,又...必=历

A,O2+BO2=BA^

4。1OB,

又•••BO1AC,4。1AC^...................................................7分

以点。为原点，。2,。仁。4为、轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

.•.0(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,26),5(3,0,0),75(0,1,0),

.•.丽=(-3,1,0),无=羽=(0,2,2@,

r

设平面B.BDE的一个法向量为〃=(x//),

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叫万.法=0,所以自+2岳=0'令zj，贝!jy=3,x=l,................12分

故万=03-6),又•.•万=(3,2,0),

设力B与平面4次花所成角为。，

•••sm”麻〈9砂卜邳-田

9

所以直线AB与平面B.BDE所成角的正弦值为看.................................15分

1Ikz"

AA____________ECi

22较为孚，实轴长为6,A为双曲线C的左顶点,

17.已知双曲线。：，一马=1(4>0,6>0)的离心］

ab

设直线/过定点B(-2,0)，且与双曲线C交于E,尸两F气.

(1)求双曲线。的方程；

(2)证明:直线AE与AF的斜率之积为定值.

17⑴.因为双曲线的实轴长为6,所以。=3,

2百c_2也

因为双曲线的离心率为亍，所以)一亍.解得c=2«,

X2

由/+62=。2,得6=6,贝IJC的方程为§一

3..........................5分

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⑵设EQ”必）/（孙力）,因为直线/过定点6（-2,0）,显然直线/不垂直于歹轴，则

设直线/:工=叼-2（加，±我，

，消去X得面—3）9-4叩-5=0,

/、25

22M

A=16W+20（W-3）>0/B>3

出JIM）

4m-5

贝（J加一3,m-3j...........8分

因为力为双曲线C的左顶点，所以“（一3，°）,

kAE=———kAF=———

直线ZE的斜率再+3,直线NR的斜率工2+3,

所以

必必=________

（玉+3）（X2+3）（加必-2+3）（叼2-2+3）/必力+加（必+%）+1

加2—3-5_5

-54m1^3~3

m-z---Fm,-z----F1

m2-3加2-3

即直线AE与AF的斜率之积为定值15分

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18.如图，在四棱锥尸-ABCD中“PAD是等边三角形，平面_L平面ABCD,

NBCD=ZABC=90。,AB=2CD=2BC=4应,〃是棱PC上的点，且

TM=XPC9OWXI•

(1)求证：BD1平面RW；

(2)设二面角”一80-。的大小为6,若cos6=巫，求4的值.

13

【答案】(1)证明见解析

13

(2)2=—或4=—

35

【解析】

【分析】(1)由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明4。取40的中点。，连

结P0,由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直P。8。，然后可得证题设线面垂直；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出；I值.

【小问1详解】

因为NBCD=90°,CD=BC=2>l2»

所以BO=4,ZCBD=45°,

在△4BD中，ZABD=45°,AB=46,由余弦定理得，

AD=ylAB2+BD2-2AB-BDcos^ABD=4，

所以402+802=/§2,

即NADB=90。，AD1BD,

取4。的中点0,连结产。，因为AP/D是等边三角形，所以尸0_L4),

又因为平面PAD1平面ABCD,

平面PADc平面ABCD-AD,POu平面PAD,

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所以P。人平面N8CZ),

又因为BDu平面ABCD,

所以POJ.B。

又因为尸。04。=。，PO,Z£>u平面PNO,

所以8。工平面P/。...................................................5分

【小问2详解】

取Z3的中点M连结QN,则。N〃8O,所以4£>J_0N,

以。为原点，丽，而，丽的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，则4(0,-2,0),。(0,2,0),5(4,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2孙

AP=(0,2,273).

~DM=DP+7M=DP+APC=(0,-2,2>/3)+2(2,4,-26)=(2九44-2,2夙-2))

............................................................................................................................8分

又丽=(4,0,0),设平面MBD的一个法向量为n=(x,y,z),

则[两•〃=0,即f2Ax+(44-2)y+273(1-2)z=0,

DB・n=0,[4x=0,

当4=,时，平面MB。_L平面Z8C。，不合题意；

2

当；I。1时，令z=24—l,

2

第19页共23页

由于平面MB。与平面力BCD所成角的余弦值为姮，

13

|22-1|_V13

|cos玩，同=

故有J[6(1)T+(2"1)213

13

解得；1=:或；1==

35•...........................................................................................17分

19.已知椭圆「:鸟+4=1（a>6>0）,点/为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于Z

abl

点的任一点，若尸点到Z点距离的最大值仅在尸点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆

为“圆椭圆"，已知b=l

（1）若a=@，判断椭圆「是否为"圆椭圆”；

2

（2）若椭圆「是“圆椭圆”，求a的取值范围；

（3）若椭圆「是“圆椭圆”，且。取最大值，。为尸关于原点。的对称点，Q也异于Z点，

直线ZP、分别与x轴交于M、N两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证

明你的结论

（1）是；（2）（3）是，证明见解析.

【分析】（1）直接判断即可，

（2）由（1）的方法判断，可得y=-l时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负,

是否满足条件得出a的取值范围；

（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0,±72）.

【解析】（1）由题意得椭圆方程：-y+/=l,所以4（0,1）,

设尸（x,y）则|以|2=/+（y-1）2=3（1一y2）+（»一i）2

4

12.9

=--y