许昌市2025届高三第一次质量检测（一模） 数学试卷（含答案解析）

豫西北教研联盟(许洛平)2024-2025学年

高三第一次质量检测

数学

注意事项:2024.10.29

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量a=(x.-3),b=(3x,x+2),若a-b=0,贝()x=

A.-1B.2C.2或TD.2或-2

2.已知集合A={x||〈x<2},B={x[l<x<a},若BUA,则实数a的取值范围是

A.(2,+8)B.(1,2]C.(-8,2]D.[2,+8)

3.已知sin(a+J=—|,则sin2a=

1188

A.-B.—nC.D.

9999

4.下列选项中，p是q的充要条件的是

A.已知非零向量(a,b,c,p:a-c=b-c,q:a=b

B.已知xER,p-.x2+2x—3<0,q:0<x<1

C.在AABC中,p:A>B,q:sinA>sinB

D.直线Zt：ax+2y+6=0,l2：x+(a-l)y+3=0,p:lil|l2,q：a=2

5.已知/(%)=ln(x+71+久2),则y(%2-8)+f(2x)>。的解集为

A.{x|-2<x<4}B.{x|-4<x<2}

C.{x|xN4或烂-2}D.{x|xN2或烂-4}

丫2“2__

6.过双曲线C:右一2=1(a>b>0)的右焦点F的直线1与C交于A,B两点，若线段AB的长度取最

azbz

小值时，直线1恰有两条，则双曲线C的离心率为

A.V2B,V3C.2D.V5

数学第1页(共4页)

7.已知数列{&J,{b"中，Qi=2,bi=6,an+1=2anfbn+1=2bn-。九，若an=b九，则m=

A.4B.5C.6D.7

8.已知加0,若函数/(%)="(a-2)%+ln%,%>。没有零点，则实数a的取值范围是

(ln(-x+1)—axex,x<0

A.(e,+8)B.(1,e)C.(0,1)D.(1,+8)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知ab=工且a,be(0,1),则

4

A.a2+b2—B.b+—Q>—C.—+—4D.ci^1+b—

293ab4

10.在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点O,始边为X轴的非负半轴，终边与以O为圆心，1为半

径的圆交于点A(受，射线OA绕点O逆时针旋转29后交圆O于点B,若点B的纵坐标为y,设y=f

(0),则

AA.a--57r

6

B.f⑻=sin(28-匀

C.函数y=f(0)的单调递增区间为［一看+上兀吟+卜兀］，卜eZ

D.f(0)的对称中心为偿+容0),kCZ

11.在棱长为2的正方体ABCD-AiB£iDi中，E为棱CC1的中点，P为线段A1E上的动点，Q为底面ABC

D(含边界)上的动点,且平面AiQCL平面AiDC,则

A.直线BP与平面BCC、Bi所成角的最大值为-

4

B.点Q的轨迹长度为V5

C.三棱锥Q-AiDiE的体积为定值

D.若布=无◎，且PQ〃平面ADDiAi,则X的取值范围为倬，1)

数学第2页供4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足z（4-3i）=2+i,则|z|=.

13.设抛物线C-.y2=4%的焦点为F,直线l：4x-5y+4=0与C的一个交点为M,直线MF与C的另一个交点为

N,则|MN|=.

14.已知三棱锥P-ABC、AC=2V2,PB=2,AB±BC,二面角P-AB-C的大小为60°,当三棱锥P-ABC的体

积取得最大值时，其外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

设F1,F2为椭圆+真=1（a>b>0）的左、右焦点，点G（g1）在椭圆C上，点G关于原点

的对称点为H,四边形GF1HF2的面积为遮

（1）求椭圆C的方程；

12V2

（2）过点Fz作直线1与C交于A,B两点,AFiAB的面积为，求1的方程.

16.(15分)

已知函数/(%)=ysinx+cos2今在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且/(B)=|.

⑴求B;

⑵若2〃=2c2+因求管的值.

数学第3页（共4页）

17.（15分）

如图，四棱锥P-ABCD中,PAXPD,APCD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形,AB〃CD,AB±BC,

18.（17分）

已知函数/（%）=-^-ax.

（1）若f（x）在点（1,f（l））处的切线方程为％—y+工=0,求a的值；

e

⑵若aW—白,判断函数f（X）的单调性；

e2

（3）当a=0时，证明：（em/（x）<（1-m）x+病淇中0WxW2,0<m<2.

19.（17分）

已知有穷数列田,«2）…，an（n^4）的各项均为正整数，记集合M=[X\X=^,l<i<j<n]

的元素个数为card（M）.

⑴若数列｛加｝为1,2,4,8,试写出集合M,并求card（M）的值；

⑵若｛an｝是递增数列且card（M）=nT,求证：是等比数列；

（3）判断card（M）是否存在最大值，若存在，试说明理由.

数学第4页（共4页）

豫西北教研联盟(许洛平)2024—2025学年

高三第一次质量检测

数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、潴考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笫把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效,

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

阂1.已知向13a=(x.-3)@=(3x,x+2),若a•6=0,则工=

翅A.-1B.2C.2或-1D.2或-2

曲2.2知集合4={工11。<2},B=314<a}，若8C4,则实数a的取值范围是

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-8,2]D.[2,+oo)

3.已知sin(a+?)=,5l!lsin2a=

-E

然

A1B.-ICD.-A

葡9999

4.下列选项中,p是q的充要条件的是

A.已知非零向舟a@,c,p：a-c=b・c,q：a=b

B.已知二eR,p：，+2x-3<0,q：0<x<l

C.在△48C中,p：/i〉8,q：siiL4>sinB

D.直线Zj：ax+2y+6=0,Z7：x+(a-1)y+3=0,p：ZI//l29q：a=2

5.已知/(%)=卜(彳+/R7),则/(/-8)4/(右)\0的解集为

A.{久1-2这工近4}B.{xl-4这xW2}

C.{工丘>4或工近-2}D.{工hN2或xW-4}

6.过双曲线C：、-《=1(a>0,b>0)的右焦点F的直线，与C交于4潭两点,若线段AB的

ab

长度取最小值时，直线I恰有两条，则双曲线C的离心率为

A.-J2B.43C.2D.6

数学第1页(共4页)

7.已知数列{〃,}.{〃“}中山=2也=6.j=2a.也，产26,二,若则m=

A.4B.5C.6D.7

2

-ox-(a-2)x+lnxtx>0

没有零点,则实数a的取值范围是

Iln(-x+1)-axe1,x<0

A.(e,+oo)B.(l,e)C.(OJ)D.(l,+«)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知而二1且w(0,1),则

4

A.a2+b2B.b+-^-a>-^-C.—+:N4D.a2+Z»^—

293a64

10.在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点。，始边为工轴的非负半轴，终边与以。为

圆心，1为半径的圆交于点,-yj,射线ON绕点。逆时针旋转23后交圆。于点8,

若点B的纵坐标为y,设y=/(8),则

5ir

A.a=—

6

TT

B./(0)=sin(2(9—)

6

<TT7T

C.函数y=f(夕)的单调递增区间为——+/{IT+ATTeZ

_63

D./(6)的对称中心为(1+],()),hZ

11.在校长为2的正方体48co-48C*中,E为棱CG的中点/为线段4E上的动点,Q

为底面ABCD(含边界)上的动点,且平面AiQCJ.平面4DC,则

A.直线BP与平面BCClBl所成角的最大值为；

B.点Q的轨迹长度为6

C.三棱锥的体积为定值

D.若彳=A辜，且PQ〃平面AD伉儿，则人的取值范围为

数学第2页(共4页)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知复数z数足z(4-3i)=2+i,则卜|=.

13.设抛物线C：/=4.t的焦点为F,直线】：4.t-5y+4=0与C的一个交点为M,宜线MF与C

的另一个交点为N,则］MN|=.

14.已知三极锥2-45心化=271/8=2,/1£_18(?,二面角P-/18-C的大小为60°,当三梭锥

P-ABC的体积取得最大隹［时,其外接球的表面积为____..

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

设"，生为椭圆C：g+£=1(a>6>0)的左、右焦点，点,g)在椭圆C上，点G关

于原点的对称点为H,四边形GF\H%的面积为。.

(1)求椭圆(；的方程；

(2)过点入作直线，与C交于4,B两点，△FJB的面积为苧，求I的方程•

16.(15分)

nr

已知函数/(x)=~^-sin夕+cos2»■，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为且

/")=看

⑴求8;

(2)若2A=2c2+ac,求史收的值.

ri

数学第3页(共4页)

17.（15分）

如图，四梭他Pd8co中,P4_LP。，△0C0为等边三加形，四边形ABCD为亢角梯形,

AB//CD,ABA.BC,CD=2AB=2.

(I)证明:平面PADJ.平面PDC;

(2)若尸人与平面ABCD所成的加为60。，求平而

PBC与平面PAD夹角的余弦衽

18.（17分）

已知函数/（x）=[-ax.

e

(1)若/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为X-?」=0,求a的值;

e

(2)若aW-；,判断函数/(工)的单调性；

e

(3)当a=0时,证明:e"/(4)W(,其中0W%W2,0<m<2.

19.(17分)

已知有穷数列a,a“(心4)的各项均为正整数,记集合M=卜片，,1Wiqwj的

元素个数为card(M).

(1)若数列｛aj为1,2,4,8,试写出集合M,并求card(M)的值；

⑵若｛4｝是递增数列且wd(M)=,1,求证:｛%｝是等比数列；

(3)判断card(M)是否存在最大值，若存在,试说明理由.

数学第4页(共4页)

豫西北联盟第一次联考数学答案

一、选择题

1.C2.C3B4.C5,D6.A7.B8.D

二、选择题

9.ACD10.BC11.ABD

三、填空题

V52528

13«—14.—n

543

四、解答题

15.解：(1)设椭圆。的焦距为2c(c>0),因为|OG|=|OH|JO£|二|OQ|,

所以四边形G片旧居为平行四边形，其面积设为S,则

S=2c-^-=y/3,所以c=l,..................................................................................2分

2

所以/_/=。2=1,.................................................................................................3分

33

又”+木=1,解得/=46=3.............................................................................4分

所以椭圆。的方程为=+上=1.............................................................................5分

43

(2)易知)的斜率不为不设/：工=吵+1,/(知乂),3(々/2)，

得（3加2+4）y2+6my-9=Q,

y।-67w—9

所以乂+%=即卬2=病丁7分

所以M-8|=加弘+%)2一例必=嗜了，•9分

由5的公=；|月月恒一对=1野+：=

10分

解得加=±1,12分

所以/的方程为x-y-l=0或x+y-l=013分

16.解：（1）因为/（x）=；-sinx+cos2]=sin・2分

所以由/（B）=sin（5+［）+；=!■得sin（3+［）=l

4分

,,.__/L.7C卜7C77t

因为0<_8<九，所以二VB+^V-^•6分

666

所以5+巴=二，B=-.•7分

623

1a2+c2-b2

(2)由(1)得cosB8分

22ac

22c?+ac

..a+c2l---------a2一丝

故____________2即2

2ac2lac2

即故”九

11分

2c422

把a='c代入2/=2。2+双，可得b="c，

13分

22

3不

所以a+匕万0+三c3+不.15分

cc2

17.（1）证明：取DC的中点厂，连接/£尸尸，则"_L0c.

又"DC为等边三角形,PF1DC,

所以平面以R,所以以_LOC............3分

又以LPD,

所以E4L平面尸DC,以u平面7M。，

平面P4D_L平面尸。C............6

分

⑵由（1）知CD1平面R4F,.,.平面匈'1平面45CD,

则点尸在平面48CD内的射影在直线4F上，即为直线R4与平面4BCD所成的

角，则"1F=6O°,7分

由（1）知以1平面加C,..E4177"

又APCZ）为边长为2的等边三角形，则尸尸=J?

则PA=\,AF=2=>BC=2,.......8分

以产为原点，4,刈所在直线为轴，过点尸在面必中做

FE的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

过P作尸GIZb,交4尸于G,则PG=

又0(1,0,013(120),40,2,0),£>(-1,0,0),丽=1,；，-菖；比=(0,-2,0).........9分

设平面P3C的法向量为”=(不，必,zj

nLPB{nPB=01石+1乂_正马=0

22

"，比=["•前=()n]7v0，令4=2,则石=6■，必=0,

I[-2乂=U

•.”=(石,0,2)...............11分

又应=（0,；,一4],AD=（-1-2,0）

（22）

设平面以。的法向量为m=（与，%/2）

1G

mlPAm-PA=0z=0

___=<___=2

/一,令Zz=l,贝11%=—2血,》2=石

m1ADmAD=0

-x2-2y2

.•.»1=12百,Q,1）..............13分

设平面P5C与平面E4。的夹角为a

综上，平面P5C与平面24。的夹角余弦值为............15分

7

18.解：（1）因为/（》）=/一族，XGR,

所以/'（工）=[^一。，.........1分

e

故/'。）=一1又/（1）=：一。‘.........2分

所以/（X）在点（1,/。））处的切线方程为—g-a）=（-a＞（x-l）...............................3

分

即ar+y—1=0,由已知得。二一1・.................4

e

3

分

Y*1-y

(2)因为/(x)-av,所以/'(x)=—■—a，

ee

令夕(x)=/3,则

,(\-l-(l-x)x-2

°(x)=-^=丁'■

依题意，当x>2时，d(x)>0,所以/'(x)在(2,+00)上单调递增;

当x<2时，夕'(x)<0,所以/'(x)在(-00,2)上单调递减.......................6分

所以/'(乃.=/'(2)=-3-。，...............7分

e

因为则/口焉20,则/'(X)20恒成立，

e

所以在R上单调递增........8分

(3)欲证6"'・/(丫)4。-/«)》+而2成立，即证/(x)4l^x+q成立.

设尸(丫)=与一学丫一《，其中F(加)=0..............10分

exewem

则F(x)=^------,XGR................11分

ee

设G(x)=—-------,其中G(加)=0,

ee

则G'(x)=q="(x),...............12分

e

由(2)知，G(x)在(ro,2)单调递减；在(2,+8)单调递增；...............13分

所以G(x)在［0,2］单调递减，且G(ffl)=0,0<m<2................14分

故当04x<m时，G(x)>0,即/(x)>0,则R(x)在［0,用)单调递增；

当加<x42时，G(x)<0,即尸(x)<0,则F(x)在(凡2］单调递减.............15分

故厂(x)在丫=加处取极大值，且极大值为F(m)=0,

当且仅当丫=用时，F(x)=0..............16分

所以当xw［0,2］时，尸(丫)4斤(加)=0恒成立，即/(x)w=^x+二■恒成立,

emem

4

即e'”•/（%）<（1—心）工+用2成立................17分

248488

19.解：（1）因为——2,——4f—=8,——2,——4,——2,......................2分

111224

所以集合河={2,4,8},所以ca"（M）=3......................4分

（2）证明：因为{q}是递增数列，且=

因为{%}是递增数列，所以生<&<包<3<”,

4444

所以之”幺，…乌出且互不相等，所以以=，生,且,….............6

qqqq[qqq/

分

又因为&<4

a2a2a2ai

所以生幺昌…，组乡GM且互不相等,所以〃=p•，&生…乡,殳］.....8

生/a2a241%a2a2a24J

分

所以&二生，旦=幺，况也，

a2%a2axa2q

而|、jq-a2a4_a2_a2

。24%4%%

所以，=*=…=?,所以应}为等比数列............10分

(3)card(A/)存在最大值"(”；)..................11分

理由如下：

不妨取。={4,&,・・・,4},其中4均为质数.

因为A/=<xx=—,l^z<j<n'f

q

则3,3,…，与1■，争GM且争,3,…，与，争互不相同，有〃一1个元素；

axaxaxa}a}a}axax

5

同理，

争，争，…,刍。,争且今,3,…，与1•，冬互不相同，共有〃-2个元素;

a2a2a2a2a2a2a2a2

d.或d,d„_.d.gd“八d„

三-,丁,一,一丁n，丁wM且丁,77,,••,1］一,‘互不相同，共有〃一3个元素;

a3a3a3a3a3a3a3a3

丁匚£何互不相同，有1个元素.......15分

"一】

a/、

根据质数的性质知，,。4，＜/4〃）互不相同，

故card（M=（”1）+（〃―2）+…+2+1=〃（7）.

故card。/）有最大值巳与ill.......

17分

（注：第三问学生其他解答可对应酌情给分）

6

豫西北联盟第一次联考数学答案

一、选择题

1.C2.C3B4.C5.D6.A7.B8.D

二、选择题

9.ACD10.BC11.ABD

三、填空题

12.—13.25/414.-7T

5—3

四、解答题

15.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),因为||OG|=|。小,|。川=|。0|,

所以四边形GF1HF2为平行四边形，其面积设为S,则

所以c=l,...............................................................................................................2分

分.................................................................所以

又解得...........................................................4分

所以椭圆C的方程为.............................................5分

⑵易知1的斜率不为0,设l:x=my+1,A(Xi,y，，B(X2,yz),

x=my+1

%2,y2q,得(3m2+4)y2+6my-9=0,

{T+T=1

所以分.................................................................7

所以分.................................................................9

由分.............................................................10

解得m=±1,12

所以1的方程为x-y-l=0或x+y-l=0............................................................................13

16.解：(1)因为/(%)=^sinx+cos?2=sin(%+巴)+工，一2分

所以由f(B)=sin(B+勺+[=日得sin(B+g=14分

1

因为0<B<7i,所以巴<8+2<卫-------6分

666

所以B+?=MB=]7分

623

（2）由（1）得cosB=:=J?士，故分

22ac2ac28

11分

所以

把a=-c代入2b2=2c?+ac,可得b=¥c,M15分

2c13分

jc+冬=3+V7.

17.(1)证明：取DC的中点F,连接AF,PF,贝IJAFLDC.

又4PDC为等边三角形，PFXDC,

所以CD,平面PAF,所以PA±DC.3

分

又PA_LPD,

所以PAJ_平面PDC,PAu平面PAD,平面PADJ_平面

PDC.6

分

⑵由(1)知CD,平面PAF,二平面PAF，平面ABCD,则点P在平面ABCD内的射影在直线AF

上，即NPAF为直线PA与平面ABCD所成的角，则NPAF=60°,

.7分

由（1）知PA_L平面PDC,..PAXPF,

又4PCD为边长为2的等边三角形，贝PF=遮

贝！IPA=1,AF=2=BC=2,8分

G

以F为原点，FC,FA所在直线为x,v轴,过点F在面PAF中做FE的垂线作为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，过P作PGLAF,交AF于G,则PG=

今GF=|,P(O|,)

2

又分.............................................................9

设平面PBC的法向量为n=(%vyi-zi)

nLPB\nPB=O]x,+-y,--z}=0

--n彳一22

nl.BC[n-BC-0[一2M=o令z1=2,则久1=低月=0,

:n=(V3<0<2)...................11分

乂PA==(-l>-2-0)

设平面PAD的法向量为m=(%2>y2<z2)

_^Z2/Z2—1,贝U%2=-2A/3,72=V3

mlPA=〈m-P_A=0=

m1ADm-AD=0[f-2%=°

3分.............................................................1

设平面PBC与平面PAD的夹角为a

|Imn.4V7

则micosa=-----=-p—=—

|m||n|V7x47

综上，平面PBC与平面PAD的夹角余弦值

.15

为

18.解：(1)因为/(久)=*—a居久CR,

所以.............................................................1

f(1)=-a又.......................................................2

所以f(x)在点(l,f(1))处的切线方程为.................................3

分

即由已知得a=T4

3

分

(2)因为所以/z(x)=—a,

令(p(x)=f(x),则

5

依题意，当x>2时,(p'(x)>0,所以f(x)在(2,+oo)上单调递增；

当x〈2时,(p’(x)<0,所以F(x)在(-8,2)上单调递减分.................6

分................................................................7

因为。〈一。则/'(%)即日>0,则f(x)K)恒成立，

所以f(x)在R上单调递增................................................8

(3)欲证em-/(%)<(1-m)x+6?成立，即证/(%)<%+躲成立.

设F(x)=5一三？％-三,其中F(m)=0.