重庆市渝北中学2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试题

渝北中学20242025学年上期高一年级半期质量监测数学试题（全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时.必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或x≥1，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定义直接计算即可得解.【详解】因为集合或x≥1，，所以或.故选：B.2.设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由否定的定义即可得解.【详解】由否定的定义可知：若命题，，则，.故选：C.3.下列函数定义域和值域都是的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】由即可求解判断A；由函数定义域为R可判断BC；先求出函数定义域为，再求出值域即可判断D.【详解】对于A，要使函数有意义，则，所以函数定义域为，不符合；对于BC，函数定义域均为R，不符合；对于D，要使函数有意义，则x>0，所以函数定义域为，因为x>0，故，所以2x>0，所以函数值域为，故D正确.故选：D.4.设，则“”是“或”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】一方面：或；另一方面：或，但此时不满足；所以“”是“或”的充分不必要条件.故选：B.5.函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.当时，有三个不同的值与之对应D.当，时，【答案】D【解析】【分析】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误.【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义域不是，故A错误；对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；对于C：由图象可知，当时，有2个不同的值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数在上单调递减，所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.故选：D.6.实数，，，，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值a+2a−b+2【详解】对于A，取时，满足，，但，不满足，故A错误；对于B，取时，满足，但，不满足，故B错误；对于C，取，满足，但，不满足，故C错误；对于D，，因为，所以，所以，所以a+2a−b+2b=故选：D.7.若函数是上的减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解.【详解】若函数是上的减函数，则，解得.故选：A.8.已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（）A.3 B.6 C.18 D.36【答案】C【解析】【分析】先由不等式对任意恒成立求出，接着由和求出，再由得，求出的最大值即可得解.【详解】因为不等式对任意恒成立，所以，因为，所以，又，，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为18.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.B.C.是的必要不充分条件D.是的充分不必要条件【答案】AC【解析】【分析】由空集是任何集合的子集即可判断A；由得，从而求出即可判断B；求出的解，再结合必要不充分条件的定义即可判断C；由得或，且由得且结合充分不必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A，空集是任何集合的子集，故A正确；对于B，因为，所以，所以，所以，故B错误；对于C，由得或，故是的必要不充分条件，故C正确；对于D，由得或，由得且，所以不是的充分不必要条件.故D错误.故选：AC.10.已知正数，满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是1 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】对于A，由基本不等式得的最大值是1即可判断；对于B，变形结合基本不等式得即可计算得解；对于C，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；对于D，将消元变形为一元二次函数即可求解判断.【详解】，为正数，且满足，则且，所以，，对于A，即，当且仅当时等号成立，所以最大值是1，故A错误；对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是2，故B正确；对于C，，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故C错误；对于D，，所以当时，有最大值，故D正确.故选：BD.11.已知定义在上的函数满足：，，当时，有，则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数不是“理想函数”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】按“理想函数”定义依次去计算对，，当下的，并分析其结果即可得得解.【详解】对于A，因为，所以对，，当时，有，故不是“理想函数”.故A正确；对于B，因为，所以对，，当时，有，所以当且时，，故不是“理想函数”.故B正确；对于C，因为，所以对，，当时，有，故“理想函数”.故C不正确；对于D，因为，所以对，，当时，有，所以当且时，，故不是“理想函数”.故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】3【解析】【分析】由解析式取x=1即可求.【详解】因为，所以取x=1得.故答案为：3.13已知函数，.则__________.【答案】【解析】【分析】根据给定的函数式，代入计算即得.【详解】函数，由，得，即，所以.故答案为：14.对于任意实数，x表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____.【答案】11【解析】【分析】就的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求中元素的和.【详解】注意到且所以，所以，故所求为.故答案为：11.【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义函数、集合的理解，分类讨论要做到不重不漏，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合、，.（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求出集合A，接着根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解；（2）由得，进而得，解该不等式组即可得解.【小问1详解】解得，所以，若，则，所以或，所以或x>8=x|0≤x<1【小问2详解】因为，所以，由（1），所以，解得.所以实数的取值范围是.16.已知二次函数，满足，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解.（2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解.【小问1详解】由题意可得，所以，又因为的解集为，所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，所以，所以函数的解析式为.【小问2详解】当时，恒成立，所以由（1）知当时，恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，所以，又因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即的取值范围为.17.某单位为响应政府旧城改造号召，决定在单位内投资156000元建一个长方体的功能用房，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方米造价450元，地面和顶部每平方米造价均为600元，设正面长为米，每侧砖墙长均为米.（1）写出与的关系式；（2）求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？【答案】（1）（2）功能用房占地面积S的最大允许值是平方米，此时正面长应设计为15米.【解析】【分析】（1）先由题意列出等量关系，接着化简即可得解.（2）先由基本不等式得，接着由（1）构建出不等式，解该不等式即可求出范围，进而可求解.【小问1详解】由题得，化简得，所以.【小问2详解】因为，当且仅当时取等号，所以即，所以，解得，所以功能用房占地面积，即功能用房占地面积S的最大允许值是平方米，此时且，即，故此时正面长应设计为15米.18.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断在上的单调性.并用单调性定义证明；（3）解关于的不等式.【答案】（1）函数是定义在R上的奇函数.证明见解析；（2）函数在上单调递增.证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的判断方法和步骤去计算判断即可.（2）根据函数单调性定义法的证明步骤去计算判定即可.（3）先由函数的奇偶性和单调性将原不等式fct2−t+f【小问1详解】函数是定义在R上的奇函数.证明如下：因为函数，所以函数定义域为R，关于原点对称，且，所以函数是定义在R上的奇函数.【小问2详解】函数在上单调递增.证明如下：任取，则，因为，所以x1−所以，即，故，所以函数在上单调递增.【小问3详解】由（1）可知函数是定义在R上的奇函数，所以fct2又由（2）可知函数在上单调递增，所以即ct2当时，不等式为，解得；当时，解或，若，则，所以不等式的解为；若，则，所以不等式的解为或；若，则，所以不等式的解为；若，则，所以不等式的解为或.综上，当时，原不等式的解集为；当，原不等式的解集为；当，原不等式的解集为；当，原不等式的解集为；当，原不等式的解集为.19.设函数，其中.（1）若，求函数在区间上的值域；（2）若时，有解，求实数的取值范围；（3）若对任意的，，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先由得，接着根据函数在0,4上的单调性求出函数的最值即可得解.（2）先由在x∈0,1上有解得，接着根据函数的单调性研究其最值情况得2t+1>3，从而得解.（3）先由任意的，都有得对任意有，接着分类讨论研究函数在闭区间0,4的最值即可依据计算求解实数的取值范围.【小问1详解】若，则，所以函数在0,1上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以函数在区间0,4上的值域为.【小问2详解】因为x∈0,1时，有解，即在x∈0,1上有解，所以在x∈0,1上有解，所以，令，任取，则，因为，所以，所以，所以gx1−g所以函数在0,1上单调递减，所以，所以2t+1>3，解得所以实数的取值范围为.【小问3详解】因为对任意的，，都有，所以对任意，有，因为，所以函数在上