辽宁省朝阳市普通高中高三第三次模拟考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数满足（为虚数单位），则为（）A．2B．C．D．13．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A．46,45B．45,46C．46,47D．47,454．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A．B．C．D．5．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A．升B．升C．升D．升6．已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中说法正确的个数为（）A．3B．2C．1D．07．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．6B．5C．4D．38．已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B.C.D.9．已知点是抛物线：上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A．B．C．D．10．在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A．6B．9C．12D．1811．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，，则.14．若，则.15．已知实数满足不等式组，则的最大值是.16．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列的前项和为，且成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.18．今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源.（1）求每个家庭中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房.记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.19．如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20．如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.21．已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数在区间上无零点，求实数的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标是.（1）求直线的普通方程；（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.23．选修45：不等式选讲已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值.数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CCACDCCDBBAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．614．15．1216．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(Ⅰ)因为成等差数列，所以，①所以②①②，得，所以又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列又因为，所以.18．(Ⅰ)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.19．解：(Ⅰ)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.20.解：(Ⅰ)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得又椭圆经过点，所以，所以所以椭圆的标准方程为.(Ⅱ)证明：因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，所以可设直线的方程为据得设点，所以，所以.因为，所以所以点在直线上，又点也在直线上，所以三点共线.21．解：(1)函数的定义域为，讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得,所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以，解得，综上，实数的最小值是.（2）由，得设，则“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：图1图2（i）如图1，，即，解得；（ii）如图2，对任意恒成立又当时，，所以，解得又，得综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，作出函数与函数满足题意的草图如下：观察图象可知符合题意.综上，