卫星变轨问题、双星模型（解析版）-2025年高考物理一轮复习

卫星变轨问题、双星模型

素养目标：

1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用

万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

1.神舟十六号载人飞船入轨后顺利完成人轨状态设置，采用自主快速交会对接模式成功对

接于天和核心舱径向端口。对接过程的示意图如图所示，神舟十六号飞船处于半径为4的圆

轨道I,运行周期为乙，线速度为匕，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到2处与天和

核心舱对接，轨道H上/点的线速度为丫2,运行周期为A；天和核心舱处于半径为4的圆

轨道皿，运行周期为乙，线速度为七;则神舟十六号飞船（）

神

州

飞

十轨言/

椒

六

号

天和核心舱

A.v2>>v3

B.T!>T2>T3

C.在轨道n上2点处的加速度大于轨道HI上2点处的加速度

D.该卫星在轨道I运行时的机械能比在轨道ni运行时的机械能大

【答案】A

【解析】A.飞船从轨道I变轨到轨道n需要加速，所以经过/点时

%>匕

圆轨道时，根据

GMmv2

——z—=m—

所以

匕〉匕

综合得

V2>Vj>v3

故A正确；

B.根据开普勒第三定律，轨道半长轴越大，周期越大，故B错误；

C.根据

GMm

——--=ma

r

则同一点处的加速度应该相等，故c错误；

D.根据变轨原理可知，从低轨道到高轨道应点火加速，外力做正功，则卫星在轨道I运行

时的机械能比在轨道m运行时的机械能小，故D错误。

故选A。

考点一卫星的变轨和对接问题

......

（知银储备壬

i.卫星发射模型

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道I上，卫星在轨道I上

Mmv2.

做匀速圆周运动，有G——=m—，如图所示。

尸］2片

⑵在4点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G—<m一，卫星做离心运

尸］2/1

动进入椭圆轨道n。

MmVB1Mm

⑶在椭圆轨道5点（远地点），G—>m—将做近心运动，再次点火加速，使匕7=

rr-rir把

VB'2

m----,进入圆轨道III。

ri

思考若使在轨道ni运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？

答案使飞船先减速进入椭圆轨道n,到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道I,之

后再减速做近心运动着陆。

2.变轨过程分析

（1）速度：设卫星在圆轨道I和III上运行时的速率分别为6、S，在椭圆轨道II上过/点和8

点时速率分别为为、VB,四个速度关系为。4。1>。3>如。

⑵向心加速度

在/点，轨道I上和轨道II上的向心加速度关系。1/=0取，在8点，轨道H上和轨道III上

的向心加速度关系。118=。11近，/、8两点向心加速度关系（均选填"或

“V”）

⑶周期

卫星在I、II、III轨道上的运行周期71、△、？3的关系为71<72<73。

（4）机械能

在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在I、II、III轨道的机械能分别为当、

及、E3,从轨道I到轨道n和从轨道n到轨道m都需要点火加速，则机械能关系为

EI<EZ<E3o

例题1.科学家发现距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这星球

绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，它们运动周期为T,轨道半

径分别为以、舄，且火A>&，则下列选项错误的是（）

/o'、

A.星球A的质量小于星球B的质量

B.星球B的质量为机B4/RA(RA+RB『

GT2

C.星球A的线速度小于星球B的线速度

D.若A、B各有一颗质量很小的低轨卫星，卫星的轨道高度远小于A、B间的距离，卫

星的周期均为广，则A的卫星的轨道半径小于B的卫星的轨道半径

【答案】C

【解析】A.两星球运动周期相等，对A、B分别进行分析有

4万兄4dR

G〃”人="鼠一^G_________D_

2

(&+而(见+耳)2T

由于

4>RB

可知

"曳<

故A正确，不符合题意;

B.根据上述有

4兀2百

G恤啊二%

（凡+3T-

解得

一4%兄（4+&『

逼-GT2

故B正确，不符合题意；

C.根据线速度与周期的关系有

2%R

v=------

T

由于

则有

VA

即星球A的线速度大于星球B的线速度，故C错误，符合题意;

D.对卫星进行分析有

m.mm„m4万2片

(J=m

T2

解得

结合上述有

<WB

可知A的卫星的轨道半径小于B的卫星的轨道半径，故D正确，不符合题意。

故选C。

考点二双星模型

六.....

口加银储备专

（1）绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

⑵特点

_,Gm\miGm\mi

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即------=mi（wi2ri,-------=加2①22r2。

LL

②两星的周期、角速度相同，即71=丁2，G1=初。

③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为n+生="

思考（1）若两星运行的线速度大小分别为。1、。2,加速度大小分别为。1、。2,质量分别为

mi、m2,则。、。与轨道半径入两星质量的关系怎样？

vir\m2a\r\

答案由。=69%加10>2/]=加2①2r2，得z一=一=一,由。=口2/及加1口2尸]=加2692/2得一=一=

V2F2m\42ri

mi

m\

（2）两星之间的距离£、周期T与总质量（加i+加2）的关系怎样？

Gm\mi4兀24兀2/口G（加i+加2）、4K2Z3

答案由一^厂=%下力=心2方尸2及"+〃2=乙得万='―7—或如+心2=3万

例题2.如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为加的星体位于边长为工的正方

形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作

用，引力常量为G。下列说法中正确的是（）

L

A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心

B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为，H+后）G

C.若边长工和星体质量加均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来

的两倍

D.若边长工和星体质量加均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原

来的4倍

【答案】B

【解析】A.四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动

的圆心一定是正方形的中心，故A错误；

B.根据万有引力提供向心力

2

0G3+G

2

解得每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为

故B正确；

C.根据牛顿第二定律

2m2

行G3+G一一二ma

(V2Z)2

可得

a=(g+®)G%

若边长£和星体质量〃z均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的;,

故C错误；

D.根据

忆

v=a)r=co----L

2

可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为

所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D

错误。

故选Bo

考点三多星模型

知银储备，

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度

或周期相同。常见的多星模型及其规律:

---

M\

Gm2GMm

♦…♦团

①1cma向

\\RR•：(2&)2R2

、、//

常见的三星模型

,•、

•1、2

L/：\Gm

②Xcos30°X2=m6z向

：/0'7、

m♦二......

--”

/:\oy\\_Gm2Gm2

WL>\i;①]Xcos45°X2H—『—=ma向

'I——二看nLQ2L)2

常见的四星模型m

m

/:、/Gm2GMm

®——Xcos30°X2d-------=ma向

/W\口耳

例题3.（多选）天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占

主导地位。如图所示，质量相等的尸、。、S三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外

接于等边三角形的圆形轨道运行，已知等边三角形边长为/,三颗星做匀速圆周运动的周期

忽略其他星体对它们的引力作用。则下列说法正确的是（）

三颗星的线速度大小均为马包

A.

3T

三颗星的质量均为史卫

B.

5GT2

16/4

C.任意两颗星间的万有引力大小为

9GT2

16扃暝

D.任意一颗星所受的向心力大小为

9GT4

【答案】AD

【解析】A.三颗星的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，则有

V3

r=—

3

则三颗星的线速度大小均为

2Q2也兀I

v=-----=---------

T3T

故A正确;

B.根据对称性可知，三颗星的质量相等，设三颗星的质量均为机，根据牛顿第二定律可得

Gm247r2

2-2cos30°=m—rpz—.r

解得三颗星的质量均为

4//3

m=-----

3GT?

故B错误;

C.任意两颗星间的万有引力大小为

Gm216/4广

'29GT4

故C错误;

D.任意一颗星所受的向心力大小为

4万216cL

4=机

亍’9GT4

故D正确。

故选AD。

考点四星球"瓦解”问题黑洞问题

1.星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘

起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提

GMmGMGMGM

供向心力，即——=ma)2R,得G——o当口,I一丁时，星球瓦解，当①v—7■时，星球

R2R3JR3JR3

稳定运行。

2.黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞

运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的O

倍）超过光速时，该天体就是黑洞。

例题4.史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是：

如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸

速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的近倍，该星球半径

R=6400km,表面重力加速度g取10m/sz,不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约

为（）

A.9纳米B.9毫米C.9厘米D.9米

【答案】B

【解析】地球表面附近有

GMm

~~^厂:mg

临界状态光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示为

C

根据万有引力提供向心力可得

GMmV.2

-----=m—

R'2R'

联立解得

R'«0.009m=9mm

故选Bo

例题5.浩瀚的宇宙中有着无数的未知天体，当宇宙中的天体的质量和密度大到一定程度就

可以形成黑洞。根据万有引力知识可得出在黑洞表面，物体的逃逸速度等于光速。已知天体

表面的逃逸速度"2和其第一宇宙速度匕的关系为％=夜匕，万有引力常量

G=6.67xl011m3/kg-s2,光速c=3xl（）8m/s。若某黑洞的密度约为2x1（^]^/,试估算

该黑洞半径最小为多少？（）

A.3x102mB.5xl02mC.3xl03mD.5x103m

【答案】C

【解析】由第一宇宙速度意义可知

Mm_mvf

解得第一宇宙速度为

GM

V1=

又

4,

M=pV=P--TTR3

由题意可知

v2=伍

且对于黑洞有

v2=c

联立可得该黑洞半径最小为

3xlO3m

故选Co

口限时松刷,

（建议用时：30分钟）

1.2024年3月20日，“鹊桥二号"中继星成功发射升空。"鹊桥二号”中继星将架设地月新"鹊

桥"，为"嫦娥四号""嫦娥六号”等任务提供地月间中继通信，其运动轨迹演示如图所示，已

知近月点C距月球中心约为2.0x103kl口，远月点8距月球中心约为llxlO,km,下列说法

正确的是（）

A.该次发射速度大于第二宇宙速度

B."鹊桥二号"制动后轨道高度将变小，速度将变小

C."鹊桥二号"进入环月轨道后不受地球引力

D."鹊桥二号"在C、8两点的加速度大小之比约为81:1

【答案】D

【解析】A.还在地球引力范围，故小于第二宇宙速度。故A错误；

B."鹊桥二号"制动后，高度降低，在降低过程中速度会增大。故B错误。

C.一直在地球的引力范围，包括月球也在地球的引力作用范围。故C错误;

D."鹊桥二号"在C点根据牛顿第二定律有

「Mm

(j——=mac

%

同理在B点有

「Mm

CJ——二maB

代入题中数据联立解得

故D正确。

故选D。

2.如图所示，宇宙中存在着离其他恒星较远、由质量均为加的三颗星组成的三星系统，可

忽略其他星体对三星系统的影响。三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为

R的轨道上运行，引力常量为G。则这两颗星绕中央星运行的周期为（）

A.nR./-------B.2,nR./-------C.4TIR./------D.6TIR./------

【答案】C

【解析】左边星体受到中央星和右边星体的两个万有引力作用，其向心力由它们的合力充当,

则

T=4兀R.

5Gm

故选Co

3.如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设

每颗星体的质量均为m,三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某

一共同的圆心。在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为

G,下列说法正确的是()

m

2

A.每颗星体受到的向心力大小为2G勺

r

每颗星体运行的周期均为2匹-土

B.

\3Grn

C.若「不变，星体质量均变为2加，则星体的角速度变为原来的2倍

D.若用不变，星体间的距离变为而，则星体的线速度变为原来的;

【答案】B

【解析】A.任意两颗星体间的万有引力为

每颗星体受到其他两颗星体的引力的合力为

F=2F0cos3()o=石空

r

故A错误;

B.根据牛顿第二定律

,4/

6与

其中

r

/=

cos3003

解得

r3

T=2乃

3Gm

故B正确；

C.若r不变，星体质量均变为2冽，则

2

〃=至=品

T'

故C错误；

D.若a不变，星体间的距离变为4厂，则

T=8T

,2万/1

v=------=—V

V2

故D错误。

故选Bo

4.2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕。如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射

到半径为彳=，的圆轨道上做匀速圆周运动，到4点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨

道的远地点8点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为々=2,一的圆轨道做匀速圆周

运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上/

点时的速度为v,卫星的质量为〃?，地球的质量为加地，引力常量为G,则发动机在/点对

卫星做的功与在8点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（）

523G加附加

B.-mv+------细一

84r

323G加附加

D.—mv+------暨一

44r

【答案】A

【解析】林

2

5n地m_mv1

r2r

解得卫星在轨道半径为r的圆轨道上运动的线速度大小

同理可得在半径为2r的圆轨道上做圆周运动的线速度大小为

G"?地

V2=

2r

设卫星在椭圆轨道上2点的速度为无，根据题意有

vr=vBx2r

可知在/点时发动机对卫星做功

%；mv2-；mv；

在B点时发动机对卫星做的功为

v2

因此有

eb53G加地加

W.-W.=-mv2-------

1284r

故选A。

5.“嫦娥六号”探测器经过地月转移、近月制动阶段后，进入高度约200千米的圆形环月轨

道I。此后经2次降轨，进入近月点15千米、远月点200千米的椭圆轨道H上运动。P点

为轨道I、II的交点，如图所示，此时轨返组合体（轨道器和返回器组合体）在圆形环月轨

道I上运动。贝〃嫦娥六号〃（）

A.在轨道I、II经过P点时加速度相同B.在轨道I的机械能与轨道II相同

C.与轨返组合体的运动周期相同D.经过尸点时的速度比轨返组合体的速度大

【答案】A

【解析】A.根据牛顿第二定律

_Mm

CJ——=ma

r

可得

GM

a-

故"嫦娥六号”在轨道I、II经过尸点时加速度相同，故A正确;

B.“嫦娥六号"需轨道口上的P点减速，做近心运动，从而进入轨道I,机械能减小，故B

错误；

C.根据开普勒第三定律

轨道I的半径比轨道口的半长轴大，故"嫦娥六号”的运动周期小于轨返组合体的运动周期,

故C错误；

D.“嫦娥六号"需轨道I上的尸点减速，做近心运动，从而进入轨道n,故经过尸点时的速

度比轨返组合体的速度小，故D错误。

故选Ao

6.科学家雷因哈德•根泽尔（Reinhar&Genzel）发现了宇宙中最奇特的现象之一一一黑洞。

若某黑洞的半径尺约为45km,质量M和半径R的关系满足空■nU（其中c=3xl08m/s,G

R2G

为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度（忽略自转影响）约为（）

A.1014m/s2B.1012m/s2C.102m/s2D.1010m/s2

【答案】B

【解析】设黑洞表面的重力加速度g,对黑洞表面的某一质量为m的物体，有

「Mm

G-^=ms

又

M_c"

2G

联立解得

g=——x10l2m/s2

2R

故选Bo

7.（多选）我国计划2025年前后发射天问二号，开展小行星探测任务；2030年前后发射天

问三号和天间四号，分别开展火星采样返回任务和木星系探测任务。若将探测器送入地火转

移轨道，逐渐远离地球，并成为一颗人造行星，简化轨迹如图。定义地球和太阳平均距离为

1个天文单位（/〃），火星和太阳平均距离为L5个天文单位，则（）

A.从尸点转移到。点的时间小于6个月

B.探测器在地火转移轨道与火星轨道经过同一点。时，机械能相等

C.探测器在地火转移轨道上P点的加速度大于0点的加速度

D.地球、火星绕太阳运动的速度之比为

V2

【答案】CD

【解析】A.因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于

地球公转周期（1年共12个月），则由对称性可知从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一

半时间应大于6个月，故A错误;

B.探测器从地火转移轨道变轨到火星轨道，要在点。点火加速，机械能增大。所以探测器

在地火转移轨道与火星轨道经过同一点0时，在火星轨道的机械能大，故B错误;

C.对探测器，其受到太阳的万有引力提供向心力有

-Mm

CJ———/net

r

得

GM

可见探测器在地火转移轨道上P点的加速度大于。点的加速度，故c正确;

D.对地球、火星，其受太阳的万有引力提供向心力，有

「Mmv2

G—厂=加——

rr

得

GM

由题意有

J__2

1.53

所以地球、火星绕太阳运动的速度之比为故D正确。

V2

故选CD。

8.（多选）2020年3月27日记者从中国科学院国家天文台获悉，经过近两年观测研究，天

文学家通过俗称"中国天眼”的500米口径地面射电望远镜（FAST）,在武仙座球状星团

（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示双星系统由两颗恒星组成，两恒星在万有引力

的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动（4＜々）。下列说法正确

的是（）

A.四一定大于吗

B.轨道半径为4的星球线速度更大

C.若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大

D.只要测得双星之间的距离£和双星周期T,即可计算出某一颗星的质量

【答案】AC

【解析】A.由题意可知，双星做匀速圆周运动的周期相同，则角速度相同，由万有引力提

供向心力，对四星可得

「m,m747r2

G-^=叫产4

对巩星可得

m.m.47r2

G寸=由亍丫2

由于彳＜2，则有㈣＞加2，即叫一定大于吗，A正确；

B.由线速度与角速度的关系公式v，对/星可得

匕二叫

对加2星可得

r

V2=^2

由于4〈弓，则有即轨道半径为。的星球线速度更小，B错误;

C.由于

rx+r2=L

联立解得

7=2万

吗）

可知若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大，C正确；

D.只测得双星之间的距离工和双星周期T,则双星转动半径关系和质量关系都不确定，则

不可计算出某一颗星的质量，D错误。

故选ACo

9.（多选）科学研究发现冥王星与其附近的星体卡戎是彼此"潮汐锁定"的双星系统，即它们

绕连线上某点。做匀速圆周运动的同时又彼此自转，该过程中它们始终保持同一面朝向对

方。已知冥王星半径约为卡戎的2倍，它们的密度相同，下列说法正确的是（）

—

;小、1勺卡戎

溟王^°一;

A.冥王星与卡戎自转角速度相等

B.卡戎的向心力大小约为冥王星的。

O

C.卡戎的线速度大小约为冥王星的;

D.卡戎的轨道半径约为冥王星的8倍

【答案】AD

【解析】A.冥王星与卡戎始终保持同一面朝向对方，表明其自转周期与公转周期相等，由

于在连线上相等时间内转过的角度相等，可知，冥王星与卡戎公转角速度相等，则冥王星与

卡戎自转角速度相等，故A正确;

B.双星系统绕连线上某点。做匀速圆周运动，由彼此之间的万有引力提供向心力，可知,

卡戎的向心力等于冥王星的向心力，故B错误;

D.冥王星半径约为卡戎的2倍，它们的密度相同，则有

Mx_M2

~A一~A

其中

RI=2R2

解得

M=SM2

根据

M22

G普约=监疗八,G'^=M2cor2

解得

ZL=1

r28

即卡戎的轨道半径约为冥王星的8倍，故D正确；

C.根据角速度与线速度的关系有

匕=叫，v2=平

解得

A=1

v28

即卡戎的线速度大小约为冥王星的8倍，故C错误。

故选ADo

10.（多选）理论分析表明，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的0倍。黑洞是一种密

度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸。当某种天体的第二宇宙速度至少为光速c

时，这种天体就成为黑洞，如图所示。若某黑洞的质量为引力常量为G,则下列说法

正确的有（）

A.该黑洞的第一宇宙速度至少为0c

B.该黑洞的最大半径为组N

C

C.由题中已知量可以求出该黑洞的最大密度

D.如果某天体绕该黑洞做线速度为V、角速度为。的匀速圆周运动，则有〃=工

Geo

【答案】BD

【解析】A.当某种天体的第二宇宙速度也至少为光速c时，根据

匕=V2V1

第一宇宙速度0至少为变c,故A错误；

2

B.设绕黑洞运动的天体的质量为冽，根据万有引力提供向心力有

_MmV,2

(J-T-=m—

R2R

可得黑洞的半径最大为

R=W

c

故B正确;

C.半径有最大值，则密度有最小值，可以求解最小密度，故C错误;

D.如果某天体绕该黑洞做线