苏科版八年级数学上册压轴题解题技巧：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略（原卷版+解析）

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴

题七种模型全攻略

宁甜【考点导航】

目录

【典型例题】.............................................................................1

【类型一二角形中，利用面积求斜边上的高】.................................................1

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】.....................................................3

【考点三巧妙割补求面积1...................................................................................................3

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积1.............................................................................5

【考点五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】.............................7

【考点六几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）1...........................................9

【考点七实际问题中的方程思想】...........................................................9

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

例题：（2023春,新疆阿克苏•八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,

则斜边上的高为多少（）

60

13C.6D.—

1313

【变式训练】

1.（2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C

都在格点上，则AC边上的高为（）

A.75B.—A/2

2

2.（2023春•辽宁朝阳•八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13,底边长为24,那么它底边上的

高为（）

A.12B.24D.5

3.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上,

若BD是0A2C的高，则BD的长为.

4.（2023春・安徽合肥•八年级校考期末）如图所示，在边长为单位1的网格中，AABC是格点图形，求“LBC

中4B边上的高.

5.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在△ABE中，OE是AB边上的高，DE=12,S^ABE=60.

I£>\/

CB

⑴求BC的长.

⑵求斜边AB边上的高.

6.（2023秋・全国•八年级专题练习）在AABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,CD是斜边A3上高.

（1）求44BC的面积；

⑵求斜边AB；

（3）求高CD.

【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】

例题：己知在R/AABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC所对的边分别为a,b,c,若a+b=10cm,c=8cm,则用^ABC

的面积为（)

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【变式训练】

1.在AABC中,是BC边上的高,AD=4,AB=4y/10,AC=5,贝I|AABC的面积为()

4.18B.24C.18或24D.18或30

3.直角AABC三边长分别是x,x+1和5,贝LABC的面积为.

【类型三巧妙割补求面积】

例题：（2023春•河南许昌•八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，已知？390?,ZACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

BC

⑴求证：AACD是直角三角形;

⑵求四边形ABCD的面积.

【变式训练】

1.（2023春,内蒙古呼伦贝尔•八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米,

AB=13米，3c=12米，ZADC=90°,求这块地的面积.

2.（2023春•安徽马鞍山•八年级校考期末）已知。，6,c是AABC的三边，且a=2指，b=3戈,c=族.

⑴试判断的形状，并说明理由；

⑵求AABC的面积.

3.（2023春•山东苗泽•八年级校考阶段练习）四边形草地ABC。中，己知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC为直角.

⑴求这个四边形草地的面积；

⑵如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱?

4.（2022春•重庆黎江•八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1.

⑴求线段。与的长；

⑵求四边形ABCD的面积;

⑶求证：48=90。.

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

例题：（2023秋•重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、8、C、。的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形E的面积是（）

A.20B.26C.30D.52

【变式训练】

1.（2023•广西柳州•校考一模）如图，NBDE=90°,正方形3EGC和正方形AFE。的面积分别是289和225,

则以3。为直径的半圆的面积是（）

2.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，以RSABC的三边向外作正方形，其面积分别为凡下?,邑且

H=4,邑=8,则X=；以RJABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为就,邑，邑，则M，邑,S3

三者之间的关系为.

3.（2023春•八年级课时练习）已知：在RSA5c中，ZC=90°,/A、/B、NC所对的边分别记作°、b、

c.如图1,分别以AABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作豆、邑、S3,

贝I］有百+S?=$3,

图2

⑴如图2,分别以AABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分航、邑、S3,请问'+S2与

S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

⑵分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作SI、S2Sm根据（2）

中的探索，直接回答SI+£与S3有怎样的数量关系；

（3）若RbA5c中，AC=6,BC=8,求出图4中阴影部分的面积.

4.（2023春•江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方

国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五"的记载，我国汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"（如图1）,后人称之为"赵爽弦图"，流传至今.

图5图6图7

⑴①如图2,3,4,以直角二角形的二边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边二角形，面积分

别为SI,邑，S,，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足H+Sz=S3的有个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为加,

邑，直角三角形面积为S3,也满足H+S2=S吗？若满足，请证明；若不满足，请求出豆，邑，邑的数量

关系.

⑵如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边

长为定值加，四个小正方形A,B,C,。的边长分别为a,b,c,d,则/+62+。2+屋=.

【类型五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】

例题：（2023春•河南许昌•八年级统考期中）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将

按如图所示的方式折叠，使点A与点3重合，则CE的长是（

C

25

D.

T

【变式训练】

1.（2023春,湖北咸宁•八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，NC=90。，AC=4,BC=3,

将斜边A3翻折，使点8落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则3。的长为（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

2.（2023春•山东苗泽•八年级统考期中）如图，Rt/VLBC中，？390?,Afi=4,BC=6,将AABC折叠,

使点C与AB的中点O重合，折痕交AC于点"，交BC于点N,则线段CN的长为.

3.（2023,辽宁葫芦岛•统考二模）如图，在Rt^ABC中，/。=90。,44=30。,3c=2,点。是AC的中点,

点E是斜边上一动点，沿。E所在直线把VADE翻折到的位置，4D交AB于点尸.若△BA'F为

直角三角形，则AE的长为

4.（2022秋•河北张家口•八年级统考期中）在“1BC中，NC=90。，点。、E分别在AC、AB边上（不与端

点重合）.将VADE沿DE折叠，点A落在A的位置.

①直接写出AC的长;

②求△BCD的面积.

⑵当/A=37°.

①A与点E在直线AC的异侧时.如图②，直接写出NA'EB-NA'DC的大小；

②A与点E在直线AC的同侧时，且AADE的一边与BC平行，直接写出44DE的度数.

【类型六几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）】

例题：如图，在0ABe中，AB=1Q,BC=9,AC=17,则8c边上的高为

【变式训练】

1.己知：如图，在44BC中，ZC=90°,也是AABC的角平分线，CD=3,BD=5,则AC=

2.如图，在RtZkABC和Rt^ADE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延长BC,DE交于点、M.

⑴求证：点A在NM的平分线上；

(2)^AC//DM,AB=12,BM=18,求BC的长.

【类型七实际问题中的方程思想】

例题：（2022•全国•八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词

《西江月》："平地秋千未起，踏板一尺离地,送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图,

秋千绳索OA悬挂于。点，静止时竖直下垂,A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）.将它往

前推进两步（EB回OC于点E,且EB=10尺）,踏板升高到点8位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5尺）,

则秋千绳索（04或。2）长尺.

【变式训练】

1.（2022・全国,八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离

为2寸，点C和点。距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则的长是（）

图1图2

4.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

2.（2022•河南•金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知

其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好

是竿长的0倍.问门高、门宽各为多少？

3.（2022•重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4

B,其中AB=AC,由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水

点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH,测得CB=1.5千米，C〃=L2千米，"8=0.9千米.

⑴问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明.

⑵求原来的路线AC的长.

4.(2022•浙江•浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，

此时点A、B、C在同一直线上，且财8=90。，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，0ACD

变形为四边形最后折叠形成一条线段班＞".某家装厂设计的折叠床是A8=4cm,8c=8c机，

(1)此时CD为cm；

(2)折叠时，当时，四边形4BCD的面积为cm2.

图1图2

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴

题七种模型全攻略

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目录

【典型例题】.............................................................................1

【类型一二角形中，利用面积求斜边上的高】.................................................1

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】.....................................................3

【考点三巧妙割补求面积1...................................................................................................3

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积1.............................................................................5

【考点五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】.............................7

【考点六几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）1...........................................9

【考点七实际问题中的方程思想】...........................................................9

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

例题：（2023春,新疆阿克苏•八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,

则斜边上的高为多少（）

/

C

.13C.6D.—

13

【答案】D

【分析】设斜边上的高为km,利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出。的值，可得答案.

【详解】团直角三角形的两条直角边分别为5cm,12cm,

斜边长为7122+52=13cm，

•••直角三角形的面积为qxl2x5=|xl3%,

解得：/z=^|（cm）,

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的

面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键.

【变式训练】

1.（2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C

都在格点上，则AC边上的高为（）

A.y[5B.-A/2C.也D.-

252

【答案】C

【分析】根据图形，可以求出AABC的面积，然后即可求出AC边上的高.

1113

【详解】解：△ABC的面积：2x2——xlx2——xlxl——xlx2=--,

2222

设AC边上的高为x,由题意得：

-Xy/5-X=—,

22

3A/5

x---，

5

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积、三角形面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思

想解答.

2.（2023春•辽宁朝阳•八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13,底边长为24,那么它底边上的

高为（）

A.12B.24C.6D.5

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，如图，根据等腰三角形的性质求出8D,再用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示

根据题意得，AB=AC=13,BC=24,AD±BC.

S1BD=-BC=12,

2

在RtdWB中，根据勾股定理得，AD2+BD2=AB\

0AD=VAB2-BD2=7132-122=5-

即：底边上的高为5,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出图形、熟练掌握等腰三角形的性质是关

键.

3.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上,

若BD是0ABe的高，则BD的长为.

【答案】递##3石

55

【解析】

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

】解：由勾股定理得：3也+42=2君，

0SAABC=3x4-；x1x2-；x3x2-；x2x4=4,

吗4。8。=4,

01x275BD=4,

回配）=逑，

5

故答案为：生5.

5

【点睛】

本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

4.（2023春•安徽合肥・八年级校考期末）如图所示，在边长为单位1的网格中，AABC是格点图形，求ULBC

中AB边上的高.

9

【答案】AABC中A3边上的高为；

【分析】如图所述，过点A作AD,BC的延长于点。，过点C作CE/AS于点E,可得AD,BC,3。的长,

在RtA4B£＞中，可求出A3的长，根据jMcngBCADngABCE,即三角形的等面积法即可求解.

【详解】解：如图所述，过点A作AOL8C的延长于点O,过点C作CE1AB于点E,

回AABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1,

0AD=3,BC=3,应）=4,

团在RtAABD中，AB=yjAD2+BD2=732+42=5>

0S△ADRC=2-BCAD=-2ABCE,

BCAD3x39

团CE=

AB~~T~5

9

回AABC中A3边上的图为g.

【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键.

5.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在八四“中，DE是AB边上的高，DE=12,S^ABE=60.

⑴求BC的长.

⑵求斜边AB边上的高.

【答案】⑴3C=6

⑵斜边AB边上的高是4.8

【分析】（1）根据在△/演中，OE是A3边上的高，DE=U,S^ABE=60,可以计算出AB的长，然后根

据勾股定理即可得到AB的长;

（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高.

【详解】（1）解：（1）回在△ABE中，£>£■是AB边上的高，DE=12,=60,

d产=60,即"；12=60,解得Afi=io,

团在RtAlBC中，/C=90?,AC=8,

回BC=yJAB2-AC2=V102-82=6；

（2）解：作CF/AB于点F,

AC-CBAB.CF

回48=10*=8,及？=6,

22

8x610xCF

0——=-----------

22

解得CR=4.8,即斜边AB边上的高是4.8.

【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

6.(2023秋,全国•八年级专题练习)在AABC中，NC=9O。，AC=3,CB=4,CO是斜边AB上高.

⑴求AABC的面积；

⑵求斜边AB；

(3)求高CO.

【答案】(1)AABC的面积为6

⑵斜边AB为5

⑶高8的长为?12

【分析】(1)根据三角面积公式底乘高除以2求出即可.

(2)根据勾股定理求出A3.

(3)根据等面积法求出高CD.

【详解】(1)AABC的面积=LXACXBC=LX3X4=6.

22

故AABC的面积是6；

(2)在RtMBC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,

团AB="+42=5；

(3)团一xACxBC=—xCDxAB,

22

0lx3x4=-x5xC£),

22

12

解得。。=了.

故高8的长为牛12.

【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理.

【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】

例题：已知在R〃ABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC所对的边分别为a,b,c,若a+6=10cm,c=8cm,贝I]

的面积为()

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可知，RhABC的面积为结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可

【详解】

解：•••RQABC中，NC=90°,NA,/B,NC所对的边分别为小瓦C,

a2+b2=c2

sa+b=10cm,c=8cm

132ab=（a+6）2_（42+匕2）=+一°2=ioo_64=36

1

■-S^ABC=^ab=9cm

故选：A.

【点睛】

本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形.

【变式训练】

1.在AABC中，AD是8C边上的高，AD=4,AB=4^10,AC=5,则AABC的面积为（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理分别求出80和CD,分AO在三角形的内部和AO在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：在R/HABO中，

由勾股定理得：BD=^AB2-AD-=12,

在M0ACD中，

由勾股定理得：CD=^AC2-AD2=752-42=3'

分两种情况：

①如图1,当AO在0ABe的内部时，BC=12+3=15,

则EL4BC的面积BCxAD=；xl5x4=30；

②如图2,当4。在HABC的外部时，BC=12-3=9,

图2

则0ABe的面积=；BCxAD=；x9x4=18；

综上所述，HABC的面积为30或18,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键.

3.直角AABC三边长分别是x,x+1和5,则AABC的面积为.

【答案】6或30

【解析】

【分析】

根据AABC是直角三角形，则在中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：A43c是直角三角形，则在AA3C中即可运用勾股定理，不确定x+1与5哪一个大，所以讨论：

(1)若x+l<5,则存在f+(x+l)2=52,

解得x=3,

SAABC=g*3x4=6；

(2)若x+l>5,贝ij(尤+1)2-炉=52,

解得光=12

SAABC=^x5xl2=30.

AABC的面积为6或30.

故答案为：6或30.

【点睛】

本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论x+1与5的大小是解题的关键.

【类型三巧妙割补求面积】

例题：(2023春・河南许昌•八年级校考期中)如图，在四边形A8CD中，已知？390?,ZACB=30°,AB=6,

(1)求证：AACD是直角三角形；

(2)求四边形ABCD的面积.

【答案】⑴见解析

⑵18有+30

【分析】⑴根据30。角的直角三角形的性质得到AC=2AB=12,再根据跟勾股定理的逆定理即可得证;

(2)根据勾股定理得到BC=6g,再利用三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：E?B90?,ZACB=30°,AB=6,

0AC=2AB=12,

在AACD中，AC=12,AD=13,CD=5,

回52+122=132,BPAC1+CD2=AD2,

回AACD是直角三角形；

(2)解：回在AABC中，?B90?,AB=6,AC=12,

^BC=4AC1-AB1=A/122-62=6A/3，

=~BC1AB,仓眩百6=18百，

又ElSVACD=gAC-CD=gx5xl2=30,

=1873+30.

形ABC。=S4ABe+S^ACD

回四边形ABCD为186+30.

【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30。角的直角三角形的性质，三角形的面积.熟练掌握勾

股定理的逆定理是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，

48=13米，BC=12米，ZADC=90°,求这块地的面积.

【分析】连接AC,根据勾股定理求出AC=JA£）2+CD2=5米,AC2+BC2=AB2,NACB=90。，根

据直角三角形的面积公式求出结果即可.

【详解】解：如图，连接AC,如图所示:

■.■ZADC=90°,AE>=4米，CD=3米,

：.AC=YJAD2+CD2=5*-

•.•AB=13米，3C=12米，

AC2+BC2=AB2,

:.ZACB=9Q°,

，这块地的面积为：

S^C-S^CD=^AC-BC-^AD-CD

=-x5xl2--x3x4

22

=24（平方米）.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形

中，两条直角边分别为服6,斜边为C,那么.如果一个三角形的三条边a、b、c满足/+62=°2,

那么这个三角形为直角三角形.

2.（2023春•安徽马鞍山•八年级校考期末）己知。，b,。是AABC的三边，且。=2有，b=3娓,c=A/66-

⑴试判断445C的形状，并说明理由；

⑵求&4BC的面积.

【答案】（I）AABC是直角三角形，理由见解析

（2）972

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；

（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解.

【详解】（1）解：AABC是直角三角形.理由：

22

Sia==12,。2=（3"）=54,c=^A/66^=66,

!3a2+b2=c2,

团AABC是直角三角形，且NC是直角；

（2）解：44BC的面积=；x2百x3卡=9尤.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

3.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）四边形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC为直角.

⑴求这个四边形草地的面积；

⑵如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？

【答案】⑴36m2

（2）清理完这块草地杂草需要720元钱

【分析】（1）连接AC,根据勾股定理求出AC,再根据勾股定理逆定理得出NACD=90。，最后根据

S四边形A5CD=^AAfiC+即可求解;

(2)根据每平方米需要人工费20元，即可解答.

【详解】(1)解：连接AC,

回AB=3m,BC=4m,/ABC为直角，

0AC=^AB2+BC2=A/32+42=5(m),

团CD=12m,ZM=13m,

团AC2+CD2=52+122=169=AZ)2,

团NACD=90。，

团S四边所BsMSAABc+SAACDngARBC+gACCDngxSxd+gxSxlZnSGSf).

（2）解：20x36=720（元），

答：清理完这块草地杂草需要720元钱.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和

等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形.

4.（2022春•重庆黎江•八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1.

⑴求线段C。与BC的长；

⑵求四边形ABCD的面积；

⑶求证：NBCD=90°.

【答案】⑴BC=26CD=A/5

⑶见解析

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；

（2）运用分割法解答即可；

（3）连接3D,根据勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】（1）团每个小正方形的边长都为1,

0BC=A/22+42=2A/5>CZ)=>/22+l2=>/5

(2)S四边形ABCD=5x5--xlx5--xlx4-lxl--xlx2--x2x4

=25---2-l-l-4

2

_29

(3)连接BD,

回30=疹百=5,

0BC2+CD2=（275）2+（V5）2=25,BD2=5?=25,

SBC2+CD2=BD2,

回△BCD是直角三角形，且3D为斜边，

0ZBCD=9O°.

【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答.

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

例题：（2023秋•重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形E的面积是（）

A.20B.26C.30D.52

【答案】B

【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A,B,C,。的面积和即为最大正方形

的面积即可.

【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：

=SA+SB+Sc+SD

=6+10+4+6

=26

故选艮

【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•广西柳州•校考一模）如图，NBDE=90。,正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225,

则以3D为直径的半圆的面积是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出3D,再求半圆的面积即可.

【详解】解：回正方形BEGC和正方形的面积分别是289和225,

0BE2=289,DE2=225,

0ZBDE=90°,

^BD=4BE1-DE1=A/289-225=8,

回以为直径的半圆的面积为：x；r=8万；

故选艮

【点睛】本题考查勾股定理.熟练掌握勾股定理，是解题的关键.

2.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，以RtAABC的三边向外作正方形，其面积分别为工,邑，邑且

5=4,S?=8,贝丫3=;以RIAABC的三边向外作等边三角形,其面积分别为H,S3,则H,邑,邑

三者之间的关系为.

【答案】12;51+52=53

【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与R/fflABC的三边关系，然后根据勾股定理找到

RO42c的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角

形面积公式与勾股定理，得到Si,S2,S3三者之间的关系，完成解答.

【详解】解：MC、BC、A8都是正方形的边长，

22

05i=AC2,S2=BC,S3=AB,

又回0ABe是直角三角形，

SIAC^+B^AB2,

回冬=4+8=12,

又SR/SABC三边向外作等边三角形，其面积为Si,S2,S3,

ESi=-xACxACx—=—xAC2,

224

同理可得：S2=&BO,S3=BXAB2,

44

回0ABC是直角三角形，

0AC2+BC2=AB2,

团Si+82=53.

故答案是：12,Si+S2=W.

【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理.

3.（2023春•八年级课时练习）已知：在RSABC中，ZC=90°,-4、NB、NC所对的边分别记作。、b、

c.如图1,分别以AABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作号、S2、S3,

贝I］有百+S?=$3,

图4

⑴如图2,分别以AABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分百、邑、S3,请问4+邑与

S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

⑵分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作Sl、S2Sa,根据（2）

中的探索，直接回答E+S2与S3有怎样的数量关系；

（3）若中，AC=6,BC=8,求出图4中阴影部分的面积.

【答案】⑴凡+邑=$3,证明见解析

⑵-3

⑶24

22

【分析】（1）由扇形的面积公式可知5=：万AC?,S2=^BC,S3=^AB,在R/0ABC中，由勾股定理

060

得即乱+52=53；

（2）根据（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的结论进行求解.

2

【详解】（1）解：①•・•H+$2='万小/，s3=-^c

888

根据勾股定理可知：cr+b^c2,

5]+S2=S3;

（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：a2+b2=c2,从而可得＜+S2=S3；

⑶解：由⑵知加影=岳+邑-⑸-S“8C）=%ABC=；X6X8=24.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用.

4.（2023春・江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方

国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"（如图1）,后人称之为"赵爽弦图"，流传至今.

⑴①如图2,3,4,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分

别为S-S3,利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足，+S?=S3的有个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为航,

邑，直角三角形面积为S3,也满足H+S?=$3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S-邑，的数量

关系.

（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形〃的边

长为定值机，四个小正方形A,B,C,。的边长分别为a,b,c,d,则/+〃+才=.

【答案】⑴①3；②满足，证明见解析

⑵加

【分析】（1）设两直角边分别为x,y,斜边为z,用x,y,z分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，

根据V+y2=z2,求解％S2,S3之间的关系，进而可得结果；②根据合+62=。2,

卜&ab_,„„_„

„„%（父"化]a,bab,S=丁，可r得HS]+Sz=S3；

S,+S,=',+''+-------'^―二—2

1222222

22222

（2）由题意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（5c+Sfl）=SM-m,代入求解即可.

【详解】（1）①解：设两直角边分别为x,y,斜边为z,

221

则图2中，H=x,S2=y,S3=z,

团f+y2=z2,

团H+82=83,故图2符合题意;

同乃x21〃~y2万（无2+y2）

8888

SSl+S2=S3,故图3符合题意；

=-y-ysin60°=^^,S.=-z-z-sin60°=^^-

图4中，S.=—x-x-sin60°=>

1242-4324

同氐②।指16（丁+了）乓

4+4~44

<as1+s2=s3,故图4符合题意;

回这3个图形中面积关系满足H+$2=$3的有3个,

故答案为：3；

②解：满足，证明如下：

由日百*上口2i2211s_ab

由病思知。2+"2=/,I2J（2）ab（2）ab，53=—,

+30=----------1------------1-----------------二—2

1222222

田耳+邑=邑;

2222

（2）解：由题意知，SA=a,SB=b-,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（SC+SD）=SM=m,

^\a2+b2+c2+d2=m2,

故答案为：病.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树.解题的关键在于正确的表示各部分的面积.

【类型五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】

例题：（2023春•河南许昌•八年级统考期中）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将AABC

按如图所示的方式折叠，使点A与点2重合，则CE的长是（）

c

【答案】B

【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE,设4£=无，则=CE=8—x,再RtA^CE中利用

勾股定理即可求出CE的长度.

【详解】解：回△ADE翻折后与完全重合，

^AE=BE,

设=贝l|3E=x,CE=8-x,

222

团在RtABCE中，CE=BE-BC,

即（8—4=x?—6?,

7

解得，x=-,

4

7

0C£=-.

4

故选：B

【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性

质，折叠前后图形的形状和大小不变.

【变式训练】

1.（2023春・湖北咸宁•八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，NC=90。，AC=4,BC=3,

将斜边A3翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则的长为（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

【答案】C

【分析】利用勾股定理求得AB=5,由折叠的性质可得TW=AE=5,DB=DE,求得CE=1,设DB=DE=X,

则CD=3-尤，根据勾股定理可得F+（3-X）2=X2,进而求解即可.

【详解】解：fflZC=90°,AC=4,BC=3,

0AB=A/32+42=5>

由折叠的性质得，AB=AE=5,DB=DE,

ECE=1,

设DB=DE=x,贝!]CD=3-x,

在R/ACED中,l2+（3-x）2=x2,

解得x=g,

故选：C.

【点