四川省宜宾市普通高中2024-2025学年高三年级上册第一次诊断性考试数学试卷

四川省宜宾市普通高中2024-2025学年高三上学期第一次诊断

性考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1,点A2对应的复数分别为4、Z2,

则上一z?|=()

III

：B

r-------------------1----------r

A.713B.Vio

C.3D.Vs

2.下列函数中，既是奇函数，又(0,+s)在是增函数的是()

A./(x)=ex+e-xB./(x)=ex-e-xC./(x)=x-3D./(x)=xln|x|

3.若ae(兀，技;COS6Z.J./、

,tan<7=，贝"sina-()

sincr-1

A.—如B应C--

D,------L.D.--

2223

4.已知随机变量八8(”,p),若醺J)=2,Z>⑷=1,则尸仁=2)=()

5.已知向量Z,B满足冏=1,卜+画=2,且(石一万)_1_5,则忖=()

A.1B.72C.6D.2

6.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之

积是3的倍数的概率为()

7.已知。=g,b=0c=3+log32则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

2

8.〃>一是函数/（X）=办+cosx-sin%-1在（0,兀）上有零点的（）

71

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.某社会机构统计了某市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数如下表:

A大学B大学C大学D大学

毕业生人数X（千人）345m

自主创业人数y（千人）0.10.20.40.5

根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为;=0.14元-0.33,则

()

A.y与x正相关B.m=6

C.当x=3时，残差为0.01D.样本的相关系数厂为负数

10.设函数/(力=2/一3/+1,贝U()

B.〃sinx）在,弓］单增

A.x=0是的极大值点

D.小-£|>〃x）

C.f(x)+f(l-x)=l

11.己知函数〃尤）及其导函数广⑺的定义域均为R，记g（x）=/'（x）.若〃l+2x）与

g（2-x）均为偶函数，则（）

A./(0)=0B.g(-2)=g(2)

2024

C〃。)=八2)D.⑻=。

k=l

填空题

试卷第2页，共4页

12.卜+：］展开式中的常数项为.

13.设曲线y=e2"在(0,1)处的切线与直线x+2y+2=0垂直，则”

14.如图，一张圆形纸片的直径=20,现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点C、D,

现沿边将EC、FC、GD、"。裁剪，剪去两个全等且关于线段48的中垂线对称的ACEF与

\DGH,展开得到一个镂空的图案.若NEB=NGD”=45。，则两个镂空的四边形CECF和

DGD.H面积之和的最小值为

四、解答题

15.如图，正四棱柱中，M为。2的中点，AB=1,M=2.

(1)求证：平面耳〃C_L平面AMC；

(2)求平面MAC与平面B}AC的夹角的余弦值.

3

16.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为了，每命中一次得1分，

没有命中得。分；向乙靶射击一次，命中的概率为:，命中得2分，没有命中得。分。假设

4

该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.

(1)求该选手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X的分布列及其数学期望E(X).

17.已知函数/(%)=26$近犬85彳一25近：2%+1,在锐角VABC中，内角A,B,C的对边分别

为久b、c,且〃A)=L

⑴求A；

(2)若6=1,求4a2_2c的取值范围.

18.已知0为坐标原点，双曲线C:，—、=19〉0,6〉0)的离心率为百，且过点[日,1]

(1)求c的标准方程；

(2)过C的右焦点R的直线4与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B,点。是线段A8

的中点，过点歹且与《垂直的直线6交直线。。于M点，点N满足丽=凉+痴；

①证明：点Af在一条定直线上；

②求四边形肠4A田面积的最小值.

19.已知函数〃(尤)=21nx——2),v(x)=2x2Inx.

⑴当a=l时，判断"(x)的单调性；

(2)若函数〃X)=M(X)+V(X)恰有两个极值点.

①求实数。的取值范围；

②证明：〃x)的所有零点之和大于3.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABCCACDBABCAC

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据复数的几何意义即可根据向量的模长求解.

【详解】由图可知：A(3,—1),3(。,1),所以B-ZzlT两一砺|=|网=>/?”=屈，

故选：A

2.B

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可.

【详解】对于A,/(-力=。-"+y=〃力,/(可是偶函数，不满足条件.

对于B,f(-%)=e-1-el=-(eA-e^)=-/(x),函数/(x)是奇函数，由于y=e，,y=-e-,

均在(。,+8)单调递增，故/(x)=e=/在(0,+动单调递增，符合条件，

对于CJ(r)=㈠尸=-.不=,/W,则/(x)是奇函数，

:y=/在(0,+功单调递增，且为正，二函数=g在(0,+功单调递减,不满足条件.

对于D,/(-x)=-xln|-^|=-xln|x|=-f(x),函数/(x)是奇函数，当无>0时，/(%)=xlwc,

f(1)=|ln|=-1ln2,心=鸿=一颉2,此时/[[=/]；]，不是增函数，不满足条件.

故选：B.

3.C

【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.

,.cosasina0°

【详解】由tanor=—-------=--------Z得l=tcos?a=sir?a-sina,

sina—1cosa

,•*sin2a+cos2a=1,

•二2sin2fz—sin6r-l=0,即(2sincr+l)(sincr-1)=0,

解得sina=—；或sina=l,

(3兀、1

•：aE\7i,—,「•一1vsinavO,，sina=——.

I2J2

故选：C.

答案第1页，共15页

4.C

【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解〃=4,0=g,进而根据二项分布的概率公

式求解即可.

【详解】因为所以E（4=7我=2,。（/=7W（1—p）=l,解得〃=4,p=；,

所以年=2）=C：x出义出=|-

故选：C.

5.A

【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解.

【详解】由己知归+@=2,即方+于+2无5=1+52+2万石=4，

又则（3_々）/=户_无5=0,

解得庐=i,忖=1,

故选：A.

6.C

【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片

上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，

有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,5）,（4,6）,（5,6）共15种取法，

其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有（L3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,

（3,6）,（4,6）,（5,6）共9种情况,

则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率尸=9尚=3:

故选：C.

7.D

【分析】根据得至］ja<6,根据厩2>logs—=：得到c=3+,2>：,由:>括得

至（jc〉Z?.

答案第2页，共15页

【详解】a2=^-<3=b2,a〈b,

,/log32>log36=g,.3+log327

24

2

749。_3+log27

—>3,.•c—1>>V3=Z?,

41624

•"­c>b>a.

故选：D.

8.B

【分析】求出函数〃X）的导数，令/'（x）=0,根据xe（O，n）,得到当加时在（0工）

无零点，即。是函数“X）在（0工）上有零点的不充分条件；分别讨论当

时函数“X）在（。,豆）上是否有零点，得到°；是函数/（X）在（0位）上有零点的必要条件.

【详解】由/（x）=av+cosx-sinx-l知，

1（x）=a-sinx-cosx=a-V2sin^x+^,

令/''（%）=0,则4=&sin（x+：j,

•­-%£（0,n）,+0sin（x+£|十1,司，

作出函数>=0sin（x+；）,KG（。位）的图象如下图，

当a>啦时，f'O）>0，，/（x）在（0工）单调递增,

又/（o）=o,在（0工）无零点;

...（0,+引*,+3，

2

«>-是函数/（X）=⑪+cosx—sinx—l在（0位）上有零点的不充分条件;

答案第3页，共15页

当aVT时，/（x）＜0,二/（元）在（0丁）单调递减,

又"0）=0,在（0工）无零点;

当T＜aVl时，当0＜x＜：时，收sin[x+：]e（l,、

故存在唯一的兀J,使得/'（不）=0,

且x6（0,右）时尸（%）＜0,尤＜〜㈤时尸（久）＞0,

/（"在（0,1）单调递减，〃x）在伉㈤单调递增,

而/（0）=0,/㈤=4兀-2,

2

若〃兀）40即一1＜。4’,则“X）在（0工）无零点；

若/㈤＞0即:＜aV1,则〃尤）在（0,p）有一个零点；

综上，当。〈一时，/（x）在（0,口）无零点；

71

2

当蔡＜aVl时，〃x）在（0泣）有一个零点；

当a＞亚时，/⑺在（0,丘）无零点；

而当1＜维应时，不管在（0工）有无零点，

当函数”X）在（0泣）上有零点时都有a＞：，

二是函数〃x）在（0,n）上有零点的必要条件.

••・“＞；是函数“X）在（0,丘）上有零点的必要不充分条件.

故选：B.

9.ABC

【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求

出机的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可

判断D选项.

【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为Q14,所以，y与无正相关，A对；

一、4V，+“皿3一，=-3+4+5+m〜m-0.1+0.2+0.3+0.4八。

对于B选项，由表格中的数据可得x=---------------=3+—,y---------------------------0.3,

答案第4页，共15页

所以，样本中心点为(3+半0.3),

将样本中心点的坐标代入回归直线方程得0.14x(3+?)-0.33=0.3,解得机=6,B对；

对于C选项，当x=3时，y=0.14x3-0.33=0.09，

所以，当x=3时，残差为0.1-0.09=0.01,C对；

对于D选项，因为'与无正相关，所以，样本的相关系数，•为正数，D错.

故选：ABC.

10.AC

【分析】求导，根据函数的单调性可得极值点，即可判断A,根据复合函数的单调性原则即

可求解B,代入化简即可求解C,举反例即可求解D.

【详解】对于A,/(x)=2x3-3x2+1,=-6x=6x(x-l),

由尸(x)>0,得至!］尤<0或x>l,由尸(x)=6x(x-l)<0,得到0cx<1,

所以〃%)=2彳3-3X2+1单调递增区间为(一8,0),(1,+8);减区间为(0,1),

故/(X)在x=o处取到极大值，在x=l处取到极小值，故A正确，

由于y=sinx在xe(0,3单调递增，且y=sinxe(0,1),/(x)在(0,1)单调递减，因此/(sinx)

在10,鼻单调递减，故B错误，

对于C,因为〃司+〃1一口=2/_3必+1+2(1_彳)3_3(1-%)2+1=1,即/(l-x)+/(x)=l,

故C正确，

对于D,取x=0,则=+1=-^<0,/(0)=1,不满足

—'I［〉/")，故D错误，

故选：AC

11.BCD

【分析】根据〃l+2x)与g(2-x)是偶函数，得到/⑺关于直线x=l对称，g(x)关于尤=2

对称，可判断C；再对『(1+久)=f(l-久)两边同时求导得到g(x)关于点(1,0)对称，进而

得到4是g(x)的一个周期，可判断B和D；无法确定〃0)的值可判断A.

答案第5页，共15页

【详解】•・•〃1+2"是偶函数，/(1+2尤)=〃1一2x),BPf(l+x)=/(1-%),

二函数关于直线尤=1对称,

/（0）=/（2）,〃0）的值无法确定，故A错误,C正确;

对.（1+x）=/a-X）两边同时求导得r（i+x）=-r（i-x）,

即广(1+力+广(1一”=0,所以g(l+x)+g(l-x)=O,

・•.g(x)关于点(1,0)对称,且g⑴=0,

g（2-x）是偶函数，二g（2-x）=g（2+x）①,

二g（x）关于直线x=2对称，,g（3）=g⑴=0,

g(l+x)+g(lr)=0，g(x)+g(2-x)=0②,

由①②得g(x)+g(2+x)=。，g⑵+g(4)=。,

g(2+尤)+g(4+x)=0,

二g（x）=g（4+x）,二4是函数g（元）的一个周期，二g（-2）=g（2）,故B正确;

2024

£g化）=506[g⑴+g⑵+g（3）+g（4）]=0,故D正确.

k=\

故选：BCD.

12.160

【分析】由题意利用二项式定理可得解.

【详解】二项式（尤+的展开式的通项公式

令6-2r=0,可得r=3,

所以展开式中的常数项为C：X23=160.

故答案为：160.

13.1

【分析】由直线x+2y+2=0的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率,

建立等式，求得。的值.

答案第6页，共15页

【详解】直线x+2y+2=0的斜率勺=-；,

•••切线与直线x+2y+2=0垂直，切线的斜率自=丁=2,

2m

y'=2ae,当x=0时，k2=2ae°=2,a=\,

故答案为：1.

14.300（A/2-1）

【分析】据题意，设圆的半径为广，NCFA=6,由正弦定理将CE,C尸表示出来，代入面积

公式，得到△口》面积取最小值，即可可求解面积之和.

【详解】设圆的半径为「，ZCFA=0,

1JT

由于C、。是半圆的三等分点，故人。=5他=厂=10,所以NC4尸="

ACCF

在△CE4中，由正弦定理可得sin。一兀，

sin——

3

匕广1、［ACsin—rsin—<后

所以CP=3=3=5,3,

sin0sin0sin3

ACCE

在ACM中，由正弦定理可得%=不，

sin^（7----）sin一

sin(9--)sin(9-—)

44

1jr

因为△CEF的面积SiC£D=-1CFHCE|-sin-

_J_5735百&75夜_______75_______

2

一2sin。sin//)-4sin^sin(^-^)"2(sin^-sin^Cos^)

44

75

75

1-(cos20+sin20)1-0sin(26+工)'

4

答案第7页，共15页

由于0＜。＜&,则三＜26+四〈四，故2。+工=型时，即6=3兀时，△CEF的面积的最

34412428

小值为涓j=75（万-1）,

故四边形CE3F和DGDtH面积之和为45谢=4X75（A/2-1）=300（A/2-1）,

故答案为：300（V2-l）.

15.（1）证明见解析

⑵巫

3

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面4MC、平面AMC的法向量，利用空间向量

法证明即可；

（2）求出平面瓦AC的法向量，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0),M(0,0,1),C(0,l,0),4(1,1,2),

所以旗=(0,1,-1),AC=(-1,1,0),函=(1,0,2),

设平面印0c的法向量为五=(x,y,z),贝ij_",取力=(2,-1,—。；

n-CB}=x+2z=0

^2.=b-c—0

设平面AAfC的法向量为谕=(。,8c),贝讣_.，IXm=(1,1,1)；

ft-AC=-a+b=0

因为力•访=lx2+(_l)xl+(-l)xl=0,即1_L肩，

所以平面瓦"C_L平面AMC；

答案第8页，共15页

/\w,AC*=—x+y=0/、

(2)设平面即的法向量为需=(%,%,z0),贝IJ_n几n，取弦=(2,2,—1),

u,CB[=x0+2z0=0

Im-wl|2xl+2xl+lx(-l)|也

设平面MAC与平面4AC的夹角为8,则cos6=b^=J---------厂'力=一,

\m\-\u\3x733

所以平面M4c与平面B.AC的夹角的余弦值为也.

3

19

16.(1)—

64

(2)分布列见解析，期望为2

【分析】(1)根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；

(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,相互独立事件的概率计算公式、互斥

事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可.

【详解】(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手第一次射击甲靶命中”为事

件B,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C,“该射手射击乙靶命中”为事件。.

31

由题意知，P(B)=P(Q=-,P(D)=-,

44

所以P(A)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)=P(B)P(C)P(5)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(£))

3111313X3X119

44444444464

(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

---3313

P(X0)=P(BCD)=(l--)x(l--)x(l--)=—,

=44464

一一--33133118

P(X=l)=P(BCZ))+P(BCr>)=-x(l--)x(l--)+(l--)x-x(l--)=--,

44444464

___331331

P(X=2)=P(BC5)+P(BCZ))=-X-X(1--)+(1--)X(1--)X-=--,

44444464

P(X=3)=P(BCZ))+P(BCD)=1x(l-^)xl+(l-^)x^xi=A；

44444464

3319

P(X=4)=P{BCD)=~X~X~=~7Tf

44464

故X的分布列是

X01234

3182869

P

6464646464

l/sc3118c28c6,9128r

■E(X)=0x---Fix---i-2x---i-3x---F4X——=----=2.

••一646464646464

答案第9页，共15页

71

17.⑴A=§

⑵m

【分析】(1)根据二倍角公式以及辅助角公式可得/(町=2$也(2%+弓)，即可根据三角函

数的性质求解A=g,

(2)根据余弦定理可得"=C2-C+I,1<c<2,即可代入得g(c)=2c2—3c+2,；<c<2,

利用二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)由/(x)=2>/3sinxcosx-2sin2x+lBj;j:1/(x)=A/3sin2x+cos2x=2sin^2x+^

由/(4)=1得sin[2A+巴]=，，故24+工='+2也或2A+工=2+2祈火eZ,

V6J26666

、兀

解得A=E或A=§+E,keZ,

结合A为锐角，故於三

(2)cosA=°——=—^c2+l—a2=c=>〃2=c2—c+1，

2bc2

由于VABC为锐角三角形，由余弦定理可得“，+匕一]>¥，即

[a-+c-b->0

fc2-c+l+l-c2>01一

\,n—<c<2,

[c2-c+l+c2-l>02

故4a2—2c=2(2a2—c)=2(2c2-2c+2-c)=2(2c2-3c+2),

1q

令g(c)=2c2-3c+2,5<c<2,则对称轴为c=(,

故当c=：时，g(c)取最小值(，g(2)=4,

4o

故4a2—2ce—,8^j

18.⑴尤2一匕=i

⑵①证明见解析；②6框

【分析】(1)根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程;

(2)①由已知直线4斜率一定存在，可设直线乙与L联立直线4与双曲线，结合韦达定理

可得点。及直线0Q方程，联立直线4与0Q可得点M，进而得证;

答案第10页，共15页

②由已知结合弦长公式可得|力B|,则面积5=|〃斗|45|

(+与=如，即^2=4/,

【详解】（1）由已知双曲线离心率e=£

aa

22

则双曲线方程为二=1,

24a2

又曲线过点

即熹年=L解得〃

=1,

2

即双曲线方程为f-匕=1;

4

(2)

①由己知直线《的斜率k存在且发片0,

设直线4：y=z（x-若），4（耳月）,8（%2，、2），且再马<0,

/上=]

联立直线与双曲线4,

y=k^x->]5^

得（4一左2）尤2+2辰2尤-5左2一4=0,

A=仅限2『_4（4一%2）（-5公-4）=64k2+64>0恒成立，

目—5k~—4

且%+%=-7rlT，叱2=^^'

・5r4<o,解得_2<左<2,

4-公

答案第11页，共15页

x+x_非k2

又。为A,3中点，贝！Jx°={2

24-fc2

4显

则y°=M*Q_百)=—

4-k2

&24限】

即Q-匚〃

7

4

则直线。。：、二7%,

k

又直线4过点4,且4过点下,

4

y=­xX=—

\,解得，5

联立4与4，即，

y=--(x-V5)46'

y=------

5k

\f5_4卮

即M

V'3F7r

即点Af在直线x=好上;

5

、22(父)

2(2限2-5k-4_81+

②|AB\=y/1+k-J(X]+工2)2-4占无2=\/1+lc-

4-左2,4-后2—4—后2

、2丫

石rn46455+5公

M司=75-十u--------

5k)5网

7\

又点N满足丽=拓;+初,

则四边形MANS为平行四边形，且叱_LAB,

3232石

则又⑷=25=\AB[\MF\=一

AMAB5

设1=4—左z,I>0)贝UF=4—/,

326ID，

则^MANB

5(4-尸

2(5-r)2-(lk-40)

设/⑺=，则广⑺=

(4-尸-(I)?/~

令/'。)=0,解得f=岑,

答案第12页，共15页

当o<t<t时，r«)<o,当'时，r«)>o,

所以/⑺在10，毛］上单调递减，在(黑，+。］上单调递增，

所以当f=f时，取最小值为/竺］=迹，

11V11716

即当人=±誓时，SMANB的最小值为6后.

【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：

⑴注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；

(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

19.(l)〃(x)在(0,1)单调递增，在(L”)单调递减,

(2)①a>2,②证明见解析

【分析】(1)求导，即可导函数的正负求解，

(2)求导，构造函数g(x)=l+21n尤-。+］,对。分类讨论，即可解①，根据的单调

性可得在(O,xJ和伍,包)上各有一个零点，即可根据可得函数的三个零

点为工利用基本不等式即可求解②.

【详解】(1)a=l时，w(x)=21nx-(x2-2),定义域为(0,+<»),贝I］

川)-22-2(1+"(1)

U(XJ—乙X—，

XX

令"x)=2(l+?(lr)>0,解得0<X<1,/⑺=2(1+?1)<0,解得X>1,

故”(x)在(0,1)单调递增，在(1,+⑹单调递减，

(2)①/(X)=〃(x)+v(x)