同角三角函数的基本关系和诱导公式（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题17同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类

彩题如工总

题型1：同角求值

题型5：三角恒等式的证明

题型2：诱导求值与变形

专题17同角三角函数的基本

题型4：同角三角函数基本关系式和诱导公式关系和诱导公式5题型分类

的综合应用

题型3：三角函数式化简求值

彩先渡宝库

一、同角三角函数基本关系

1、同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2+cos2a=l.

(2)商数关系：----=tana(。。一十左》)；

COS<72

二、三角函数诱导公式

公式一二三四五六

7171

角2左万+a(kGZ)7i-\-a-an-a——a---F0L

22

正弦sina—sina—sinasinacos。COS6Z

余弦COS6Z-cosacosa-cos。sina-sina

正切tanatuner-tana-taner

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作〃•]±a；(2)无

论有多大，一律视为锐角，判断小]土。所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；(3)当〃为奇

数是，“奇变〃，正变余，余变正；当〃为偶数时，〃偶不变〃函数名保持不变即可.

注：1、利用siYc+cos2a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用垩巴=tana可以实现角a的弦切互

cosa

化.

2、sina+cosa,sinacosa,sine—cosa"方程思想知一求二.

(sina+cosa)*2=sin2a+cos2a+2sinCKCOSor=1+sin2a(sina-coser)2=sin2a+cos2cr-2sin6zcosa=l-sin2a

(sina+coser)2+(sina-cosa)2=2

彩他题祕籍

（一）

同角求值

（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.

（2）若无象限条件，一般〃弦化切〃.

题型1：同角求值

1-1.（2024高一上•广东江门•期末）已知tan0=--,求sin。，cos。的值.

2

1-2.（2024高三•全国•专题练习）已知cosa=-得，贝U13sina+5tana=.

1-3.（2024高三•全国•对口高考）已知sinx+cosx=£[-声，近]W±1）,求值：

（l）sinxcosx；

（2）sin3x+cos3x;

（3）tanx.

1-4.（2024高三上嘿龙江哈尔滨•阶段练习）已知sina,cosa是关于犬的一元二次方程2炉+%_2祖=0的

两根.

⑴求用的值；

（2）若Ova〈冗,求sina—cosa的值.

1-5.（2024高三・山西运城・学业考试）已知tana=2,求下列各式的值：

,、3sina-5cosa

（1）---------——；

coscr+2sincr

(2)2sin2tz-3cos2a•

彩偏题海籍

（二）

诱导求值与变形

（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与W整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的

2

三角函数化成锐角三角函数.

TT

（2）通过±2万,±7T,±y等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.

7T

（3）々±月=±2凡±乃,±|■等可利用诱导公式把的三角函数化

题型2:诱导求值与变形

2-1.（2024高三•全国•专题练习）sin613+cos1063+tan（-30）的值为

sin（2兀-«r）cos（it+a）cosf—+a]cos[-a]

2-2.（2024高一下•甘肃天水•期末）化简-------------------惚―乙焉—

cos（71-er）sin（3K-a）sin（一兀一a）sin[爹+aJ

2-3.（2024高三上•福建莆田•期中）已知cos（（-a）=g，则cos（1+a）=.

2-4.（2024高三・江苏・对口高考）已知cos,+|^=2，且则tan（。-91）的值是.

25（2024高三上•山东泰安•期中）己知a是第四象限角，且sin"£|=。，则tan]T）=.

2-6.（2024高一上•湖南长沙•阶段练习）若sin。、cos。是关于x的方程V一依=。的两个根，则

cos[o~-+sinf—+e]=___.

I2JU）一

2-7.（2024高三・全国•专题练习）tan，t]=（）

A.--B,—C.-石D.不

33

彩偏甄秘籍,=）

同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式

进行变形.

（2）注意角的范围对三角函数符号的影响.

题型3:三角函数式化简求值

3-1.（2024高三上,江苏淮安•阶段练习）已知。为第二象限角，且满足+cos%Q吧

V1+cosaV1+sincr5

则cos-2“=___

3-2.（2024•江苏苏州•模拟预测）己知xe（0,兀），若厘匚=6,则“侬口______.

1-cosxsinx

/、sin（—。）+2cos（兀一

3-3.（2024高一上•天津和平・期末）已知角。的终边经过点（-1,-3）,则—J（）

3sin（—兀一，）+4cos（3兀+0）

11

A.—B.—C.—1D.1

55

1cos（4+6）

34（2024高三・全国•专题练习）已知sin（3%+。）=屋则期平协（万-0）-1]

cos（6-2万）

sin（g-：>os（g-7r）-sin[；+g]-------'

3-5.（2024高三上•江苏南通・阶段练习）已知tana=；jo<a<g],则，l+sin2a+Jl-sin2°

21?）sina+cosa

4

D.

3

题型4:同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

4-1.（2024高一上•江苏淮安・期末）已知5皿（今+£卜05e-金=",且0<a<：.

（1）求cosa+sina的值;

,、1一tana,,仔

⑵求------的值.

1+tana

4-2.（2024高一下•山东东营•期中）已知角a满足sina-cosa=-6

’5

⑴若角。是第三象限角，求tana的值;

sin（a-7i）tan（5%+a）cos（乃+a）

tan（2.-«）cos（-1-«），求/⑷的值.

sin|；+0+3sin（兀+a）

4-3.（2024高三•全国•专题练习）已知tana=3,求---c------------------的值.

cos1-«-COS（5K+6Z）

4

4-4.（2024IWJ—^上,广东深圳,期末）已知tani=-1

⑴求sin2a-2cos2a的值.

彩傩甄祕籍

—（四）

三角恒等式的证明

三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角

公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键

题型5:三角恒等式的证明

5-1.（2024高一•全国•课后作业）求证：当左二2或3时，cos(2E-a)sin[(2左+1)兀+0一次a'

37rTT

2sin(0-cos(0+-)-1tan(9;r+8)+1

5-2.（2024高一•全国•课前预习）求证：

tan(乃+8)-1*

l-2sin*2(3^+^)

5-3.（2024高一•全国•课后作业）求证：

/、l-2sinxcosx1—tanx

⑴cos2x-sin2x=l+tanx；

（2）tan2a—sin2a=tan2asin2a；

（3）（cos；0-l）2+sin2/7=2-2cos/?；

（4）sin4x+cos4x=1—2sin2%cos2x.

5-4.（2024高三・全国・专题练习）（1）求证：tan2asin2a=tan2a-sin2a；

（2）已知tan2a=2tan2,+1,求证：2sin2a=sin2夕+1.

炼习与梭升

一、单选题

1.（2024•全国，模拟预测）已知taiw=3^±,则cos2x=（）

sinx+5

2.（2024・四川巴中•模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理"，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽

在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为〃赵爽弦图〃.〃赵爽弦图〃是由四个全等的

直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落

,则"赵爽弦图"里的直角三角形中最小角的正弦值为（）

V342D.叵

C.

17341717

2兀219K0+c°s鸣

3.（2024•全国•模拟预测）已知cos0则2sin

5310

2

A.-2B.2C.D2

3,3

已知a为锐角，且cos[a+E71）=#

4.（2024•山西•模拟预测）,贝Utan)

6

A拒D.叵

B.-0c.V2

22

5.（2024高三上・安徽合肥•阶段练习）已知角a为钝角,且角0{0<0<2无）终边上有一点P（-sin«,cosa）,

则角。=（）

3兀

A.Tt+acB.—兀HCCC.2jt-aD.-----a

22

sin3(兀+a)+cos3(it-a)

6.（2024高三上•宁夏银川•阶段练习）在平面直角坐标系中,在「。,3）在角a终边上，则71

sin3(-6z)-cos3-

的值为（）

13141414

A.—B.—c.--D.—

27272713

7.（2024高三上•四川成都•期中）已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角a的终

sin（〃+a）~cos（2%-a）

边与名9角的终边相同，则高声二二

3smy-+a）)

A.73+1B.V3-1C.-A/3+1D.-73-1

8.（2024•全国•模拟预测）已知直线/：2尤+3y-l=0的倾斜角为凡则sin（6-兀）小也5-。=（）

6622

A.B.——C.1D.

131355

则sin[2a+]卜

9.（2024•陕西宝鸡•一模）)

334

A.——B.C.

445

10.（2024•全国•模拟预测）已知tanacos)

1

A.BB.受C.

222

IL（2024•全国•模拟预测）已知圆。：（九-1）2+（y—1）2=1,过点尸（3,2）,作圆C的两条切线，切点分别为A&

则tanNAC5=()

443

A.—B.-C.D.

33~24

(371

12.（2024•河南郑州•模拟预测）已知tan9=2,则sinOsin万()

31_2

A.—B.-C.D.

52-2

13.（2024•陕西西安•二模）已知cos/-则sin[a-—K(

ioj)

551212

A.-----B.—C.D.

1313~1313

14.（2024・广东深圳•模拟预测）已知sinj^+a卜g,则cos(,+a）的值为（

33_44

A.--B.—C.D.

55I

15.（2024高三上•陕西西安•阶段练习）若sinA：=：,则sin（6%-A）的值为（）

112后2行

A.—B.—C.D.

33

16.（2024高三上•陕西西安•阶段练习）若sin（/r+a）=-；,则cosa的值为（）

+3

A.±—B.1C.D.

22122

17.（2024・贵州贵阳•模拟预测）已知sin。-sin（(+”=应,

贝！Jtan0=()

A.一应B.-1C.,1D.3

18.（2024高一下•湖南长沙•阶段练习）已知sini+cosi=（,

且a«0㈤，sinacos。=()

,77-7_49

A.土一B.—C.D.

551725

19.（2024高三下•重庆渝中•阶段练习）已知8是三角形的一个内角，且满足sin。-cos。=好，贝"tan*（）

5

A.2B.1C.3D.2-

20.（2024高三上•北京•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角。与角夕均以Qx为始边，它们的终边关于

4

直线y=x对称，若sin«=M，贝i]cos/=()

4433

A.——B.一C.D.-

5555

TF

（2024・辽宁抚顺•模拟预测）已知。，方£（0,l）,则“tanetan力=1"是"a+"的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件

717兀1er22兀兀

22.（2024・陕西榆林,二模）已知cosaH----+cosaH--------,贝！]cos[2tz+可)

12123

A23232424

A.--DC.——D.——

25252525

3

23.（2024高三上・北京海淀•阶段练习）已知a为第二象限的角，且cosa=-5,贝"足（兀-0的值为（）

4433

A.-B.——C.--D.-

555

（2024高一上,山西太原•阶段练习）己知0＜々＜7擀1，且sin|a-；

24.()

2

岳1「V15

A.B.——L.-----D.

4444

3*53

（2024•全国•模拟预测）已知tan1+。g，则sin^+2cos0

25.)

sin(7i+e)

3553

A.-B.一C.——D.

5665

26.（2024高三上•云南昆明•阶段练习）若a+尸=],>/2sina+sinp=y/3,贝!|tantz=(

A插B.C.1D.73

2

27.（2024高三上•四川成都•阶段练习）已知角。的终边过点。，3）,则©05（0-兀）+85（5+0）的值是（）

Vio

2M3Mr

A.B.D,巫

51055

28.（2024高三上•安徽•阶段练习）在平面直角坐标系中，设角以的顶点与原点0重合，始边与工轴的

3兀

非负半轴重合，若角。的终边过点尸（4,-3）,则sin|—+2a|+cos(7i-2a)=()

2

141417r17

A.B.—C.——D.——

25252525

29.（2024高三上・安徽•期中）己知尸（sin。,cos。）是角的终边上一点，贝han〃=（）

A.-73B.C.BD.73

33

30.（2024高三上•安徽•期中）已知角6的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P（-2,4），

贝Ucos15-eJ-2cos（»+e）=（）

A4石R3y/5D*

55

cos（—+a）=—,贝”cos（2—a）—sin（2+a）=

（2024高一上•江苏常州•阶段练习）

6363

AoR21+2收1-2A/2

ub.—c.----------D.

33

（2024高三上•重庆永川•期中）已知840,外，tan,+：

32.

13

A.——B.--C.3

25

33.（2024高一下•山东潍坊•阶段练习）下列化简正确的是（）

sin（-cr）

A.tan（兀+l）=-tanlB.-7-----------r=

tan（360-aj

sin（兀一a）cos（兀-6Z）tan（一兀一a）［

C.——）------々=tano

cos（兀+a）sin（2兀-a）

二、多选题

=:,则（

34.（2024•辽宁•模拟预测）设。为第一象限角,cos）

35.（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点

尸和。在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆。上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为

JT

2rad/s,起点为圆。与了轴正半轴的交点，。的角速度大小为5rad/s,起点为角的终边与圆。的交点,

则当。与尸重合时，。的坐标可以为（）

2TI.2K71.71

A.cos——,sin——B.cos—,-sin—

9999

5兀,5兀71.71

C.-cos——,-sin——D.-cos—,sin—

9999

36.（2024高一下•河南焦作•阶段练习）已知角A5,C是锐角三角形A3。的三个内角，下列结论一定成立

的有（）

A+BC

A.sin（B+C）=sinAB.sin=cos—

22

C.cos（A+B）<cosCD.sinA<cosB

37.（2024高一下•河北沧州•阶段练习）在△A8C中，下列关系式恒成立的有（）

A+B,C

A.sin（A+B）=sinCB.cos=sin—

22

C.sin（2A+2B）+sin2C=0D.cos（2A+2B）+cos2C=0

38.（2024高一上•江苏无锡•阶段练习）下列结论正确的有（）

7171[5TI，2%）

A.sin—Fa=cos~~aB.cosI—+6NJ+sin1——6J=0

63

C.sin2（15-<7）+cos3（75+a）=lD.sin2（15—a）+sin2（75+a）=l

39.（2024高一上•黑龙江齐齐哈尔・期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）

cosx1一sinx-l+sin2xl+2tan2x

A.------；—=----------B.------------=---------------

1+sinxcosxsinxcos%tanx

C.sin（53-x）=cos（37+x）D.sin（60-x）=cos（480+%）

三、填空题

40.（2024・全国）若=g,贝ljsin6-cos9=.

7Tcin（y

41.（2024高一上•福建莆田•阶段练习）已知tana=-20，那么-------=_____.

2cosa+1

42.（2024高三•全国•对口高考）若smx-cos》：？,求sinxcosx的值为.

sin%+cos%

43.（2024高三上•江西南昌•阶段练习）若tan*，则,吗-吗=.

44.（2024•上海浦东新•模拟预测）已知sina、cosa是关于x的方程3元2-2x+a=0的两根，则"=.

45.（2024高三・全国•专题练习）己知sintz-cosa=（,则sit?c-cos^a=.

9m—3m4-1

46.（2024高三上•安徽合肥•阶段练习）已知sina=-cosa=——且。为第二象限角，贝U

m+2m+2

sin(。+2024兀)+cos(a+2023兀)

20217iA

cosa+

47.（2024•全国•模拟预测）若〃x）=1-cosL-y+石+cos尤,则的最大值为

“X）的最小值为.

48.（2024,四川绵阳•三模）已知。©（万,兀],sin（7r+=~~~,贝!1316=.

49.（2024•山西阳泉三模）已知sin[£+a）=g,且则sin]-“=

50.（2024•浙江温州•二模）已知tanx=J§\贝！!Bsin?%-2sinxcosx=.

51.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知tan6=2,则一夕的值是________-

si.n2J,+cos2，

7

52.（2024高三•全国•专题练习）已知sina+cosa=R（0<。<兀），则tana=.

53.（2024高三上,湖南衡阳•期中）已知sina-cosa=,则sin2a=.

3

54.（2024•全国•模拟预测）已知sin/-]〉；，则cos]-4=.

55.（2024高三上•内蒙古包头•阶段练习）若tan/+3=曰，则tan/-£|=.

56.（2024高一下•黑龙江佳木斯•开学考试）已知sin（53。-&）=（,>-2700<a<-90°,则

sin(37°+a)=

57.（2024高一上,新疆乌鲁木齐,期末）已知角a的终边与单位圆彳2+9=1交于点则

3兀

58.（2024高一•全国•课后作业）若角。的终边落在直线丁二%上，则sincrl+cosl-^-+cr

2

四、解答题

59.（2024高三・全国•专题练习）已知角。的终边落在直线丁=2%上.求

4sin二一2cos。

⑴的值;

5sina+3cosa

(2)5sin20+3sinacosa-2的值.

60.（2024高一下•安徽•期中）已知角8的顶点为坐标原点。，始边为犬轴的非负半轴，终边与单位圆相交

于点P（%y）,若点尸位于x轴上方且x+y=*

(1)求sin6-cos。的值；

(2)求sin,6+cos'0的值.

61.（2024高一上•广东东莞•阶段练习）如图，在平面直角坐标系X。，中,为单位圆上一点，射线

绕点。按逆时针方向旋转夕后交单位圆于点B,点、B的横坐标为

⑴求/（。）的表达式，并求/[]+/2兀

⑵若,。-#W171兀

，求tan<9的值.

3252

62.(2024高一•全国•课后作业)求证:2(l-sina)(l+cosa)=(l-sin2+coscz)2.

(2024高二・全国•课后作业)证明：sina(l+tana)+cosafl+—1―11

63.------+-