《平面与平面垂直》第2课时同步学案

高中数学精选资源3/3《平面与平面垂直》第2课时同步学案问题情境导入如图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，你知道这是为什么吗？新课自主学习自学导引平面与平面垂直的判定定理：（1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直.（2）图形语言：如图.(3)符号语言:.答案（1）垂线(3)预习测评1.直线平面平面,则与的位置关系是（）A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直2.对于直线和平面,能得出的一个条件是（）A.B.C.D.3.空间四边形中,若,那么有（）.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面4.如图,棱柱的侧面是菱形,.证明：平面平面.答案1.答案：C解析：由平面与平面垂直的判定定理，得与垂直.2.答案：C解析:因为,则,又,故.3.答案：D解析:.4.因为四边形是菱形,所以.又,且,所以平面.又平面,所以平面平面.新知合作探究探究点1平面与平面垂直的判定定理知识详解1.平面与平面垂直的判定定理.文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言2.应用平面与平面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，只需要转化为证明直线与平面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.典例探究例1如图,为正三角形,平面,,且是的中点,求证：(1);(2)平面平面;(3)平面平面.解析(1)要证,只需证明注意到为的中点,可取的中点,先证明点在平面内,再证明平面过平面的一条垂线.答案取的中点,连接,则,则.因为平面,所以,所以.在和中,,所以,所以.(2)取的中点,连接,则,所以,所以点在平面内.因为平面,所以.又,所以平面.又在平面内,所以平面平面,即平面平面.(3)因为.所以四边形为平行四边形,所以.由(2)知平面,所以平面.又平面,所以平面平面.变式训练1如图，在四棱锥中，平面,底面是直角梯形,,求证:平面平面.答案因为平面平面,所以.又因为,所以平面.又因为平面,所以平面平面.探究点2二面角的求法知识详解1定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图(1),则为二面角的平面角.2.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图(2),为二面角的平面角.3.垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的点向另一个平面作垂线,垂足为,由点向二面角的棱作垂线,垂足为,连接,则为二面角的平面角或其补角.如图(3),为二面角的平面角.典例探究例2如图,平面角为锐角的二面角.若与所成的角为,求二面角的大小.解析首先在图中作出与所成的角(过作的垂线,连接,则,作二面角的平面角时,要试图与建立联系,㧓住这一特殊条件,作,连接,利用相关关系即可解决问题.答案如图,作于,作于,连接,则是二面角的平面角.又是与所成的角,设,则,所以,所以,所以.变式训练2已知是正三角形,平面,且,求二面角的正切值.答案如图,取的中点,连接.因为是正三角形,所以.过作,连接.因为平面平面,所以平面平面.又平面平面,所以平面,所以.又,所以平面,所以,所以为二面角的平面角.设,则,所以.易错易混解读例如图,在正三棱锥中,,,平行于的截面分别交,于点.（1）判定四边形的形状,并说明理由;（2）设是棱上的点,当为何值时,平面平面?请给出证明.错解（1）因为//平面,平面平面,所以.同理,所以HG.同理,所以四边形为平行四边形.（2）取的中点,连接,因为为正棱锥,所以,所以平面.又由(1)知,所以平面.又平面,所以平面平面.此时.错因分析对正三棱锥的性质不熟悉而出错,正三棱锥的相对的棱互相垂直;正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形,但不一定是等边三角形.正解（1）因为平面,平面平面,所以.同理,所以,同理//,所以四边形为平行四边形.又为正三棱锥,所以在底面上的投影是的中心,所以.又,所以平面,所以,所以,所以四边形为矩形.（2）作于点,连接,又,所以平面.又,所以平面.又平面,所以平面平面GH.在中,,所以.纠错心得解线面、面面位置关系的题目时，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法.线面、面面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视课堂快速检测1.已知,则过与垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在2.已知直线与平面,下列能使成立的条件是（）A.B.C.D.3.下列四个命题中,正确的序号有=1\*GB3①,则;=2\*GB3②,则;=3\*GB3③,则;=4\*GB3④,则.4.如图,在正方体中,求证:平面平面.答案1.答案：C解析:由平面与平面垂直的判定定理知,过的平面都垂直于平面,这样的平面有无数个.2.答案：D解