数列通项公式求法讲义-2025届高三数学一轮复习

数列通项公式求法

类型一公式法：对于给出明与S“关系式，求数列通项公式明

【典例1】(1)设S,是数列｛4｝的前/项和，且S,=2a“+〃，则｛为｝的通项公式为4=

n=

⑵已知数列｛q｝满足%+2%+3%++nan=(2n—1)-3,zzGN,贝！|%=,

⑶在数列｛%｝中，已知%=1,2Sn=anH---,(an>0),求S“和明.

an

【变式1】数歹U｛a,｝的前n项和为Sn=/_2〃+3,贝ijan=.

【变式2]若数列｛4｝是正项数列，且也+依+…+如=/+3n(neN*),贝Uan=.

_______________________________________________________________________________________

敷网的通电也与丽”项和S.的关系是a.*、，-»时・1时，/《堵白，-，「则”=1

的情祝可并入it22”的・4h>.;=1时.若o,不适合S,-S.T••・用分段■■第七式爱示.

类型二累加法：形如a.=4+/(“)型的递推式

【典例2】已知12+2?+…+〃2=，〃(〃+1)(2〃+1),数列｛q｝满足="+2〃+1,fl1=1.

6

求｛4｝的通项公式.

【变式1】已知在数列｛q,｝的前〃项之和为s”，若q=2,a.M=an+2"T+1,则4=.

2

【变式2】已知数列｛4｝满足％=1,%+1=凡+，则%=

当数列的通项a“满足形如。“+1=4+/(〃)型的递推式时，可采用“累加法(叠加法)”的方法求解通

项公式a“=(a„-a„_|)+(a„-1-a„-2)+--+(a2-al)+a1

类型三累乘法：形如%+]=4•/(〃)型的递推式

【典例3】设数列｛斯｝中，QI=2,an+i=----an,则斯=.

n+1

【变式】已知q=l,=〃(%+1%),则数列｛%｝的通项公式是.

当数列的通项％满足形如4M=4•/(〃)型的递推式时，可采用“累乘法(叠乘法)”的方法求解通项|

4%%a,

公式4,=一.%

的%%

类型四数列的周期性

【典例4](1)已知数列｛斯｝中,。1=2,。2=4,。〃+。〃+1+。〃+2=2,则。2023=()

A.4B.2C.-2D.-4

(2)设数列｛斯｝满足=匕%\且Q1二;则02023=()

1—an2

A.3B.--C.-D.-2

32

【变式】在数列｛〃〃｝中,。1=1,。〃+1+(-1)%"=2,〃£>1*,则｛〃〃｝的前2023项和为.

类型五转化为｛工｝、｛向卜｛。：｝……等形式的等差、等比数列再求明

*

【典例5】在数列｛%｝中，已知q=l.

(1)若瓦―北二=2("22),则%=.

1

⑵若an+1+an=--(%>0),则a„=.

aa

n+l-„

2a

(3)若4+i=^7^，贝'

类型六构造法：形如4+i=pa„+f(n)的递推式

1、形如4+i=pa“+q(p*20)型的递推构造等比数列｛%+k｝

【典例6】已知数列｛七｝中，q=3,an+l=2an+1,求明.

2、形如an=pan_1+qn+r(nN2,pq手0)型递推构造等比数列｛%+如+可

［典例7］已知数列｛%｝中，％=1,a“+i=2。“+2”+1,求4.

3、形如an+l=%+""型递推相除法构造等差数列之＞

［PJ

［典例8］已知在数列｛4｝中，有an+l=3an+3日,q=3,求通项公式an.

4、形如an+i=pa.+r•4”型递推

［典例9］已知数列但〃｝中，q=1,an+1=2an+3",求凡.

5、形如an+l=pan+Aq"+B型递推构造等比数列［an+xq"+y｝

【典例10】已知在数列｛4｝中，有4+i=24+23+1,%=3,求通项公式.

类型六构造法：利用取倒数、同除、取对数、因式分解等方式变形

6、形如an+l=P%与形如pan=qan+x-an+ran+l型递推式

qa”+r

【典例已知数列｛a〃｝中，％=1,且当时，an=,求通项公式a“.

3a“_1+2

(2)已知在数列｛a〃｝中，％=1,且*/0,an+1-an^2an+ian,求

【变式】已知数列｛%｝的前〃项和为S,，且满足q=l,a„+25„S„_1=0(«>2).

(1)求证：数列是等差数列；(2)求｛”,｝的通项处.

7、形如xa“+2+yan+l+za“=0型递推式

［典例12］已知数列｛a“｝满足a“+i=3%,-2an_x,〃》2,%=1,4=2,求｛a“｝的通项an.

8、形如pa：型递推式两边取对数后构造等比数列

【典例13】已知在数列｛a“｝中，％=3,a“+i=a『，求

9、因式分解

【典例14］

设数列｛%｝是首项为1的正项数列，且〃“3-(〃+1)“；-«„«„+1=o

(〃QN*),求数列的通项公式.

课后作业

[1]lg(S.一1)=〃(”eN,n>\).

⑵而1F，〃eN*.

n

卬=1.

〃+2

[4]。]=4,。同=4%-6.

[5]ax+2a2+3a3+......+〃q,=〃+l(〃eN*

⑹％=1,S.-，+]=O(〃eN*).

+

【7】««„+1-(«+1)«„=l(neN),%=4.

【8】ax=1,a2=2,an+2-2an+l+«„=1.

[9]4S„=(2n+lX+l(nGN-).

[10]q=l,4+1=