数列的概念（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第24讲数列的概念

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第19题,15由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等

分比数列前n项和裂项相消法求前n项和

2023年天津卷，第19题,15等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差

分数列前n项和写出等比数列的通项公式

2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项

2022年天津卷，第18题,15等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位

分相减法求和分组（并项）法求和

2021年天津卷，第19题,15等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和

分数列不等式恒成立问题

2020年天津卷，第19题,15等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公

分式的基本量计算分组（并项）法求和

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分

【备考策略】L理解、掌握数列的概念

2.能掌握数列的通项公式与递推公式

3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性

4.会解数列中的规律问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题。

Il•考点梳理—

1.数列

2.数列的项考点一、数列的周期性

/考点二、数列的单调性

r知识点一.数列的有关概念《3.通项公式

4.递推公式考点三、数列的最值

5.数列的前项和

考点四、与的关系求通项公式

1.项数

知识点二.数列的分类考点五、累加法求通项公式

2.项与项间的大小关系

考点六、累乘法求通项公式

数列的概念

考点七、数列恒成立

知识点三.数列与函数的关系考点八、递推数列问题

考点九、数列中的规律

知识点四.数列常用的结论

知识点五.数列的两种常用表示方法

知识讲解

知识点一.数列的有关概念

1.数列：按照确定的顺序排列的一列数

2.数列的项：数列中的每一个数

3.通项公式：如果数列｛即｝的第n项与与它的序号门之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子

叫做这个数列的通项公式

4.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的递推公式

5.数列的前n项和：把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作工,

即％=<21+a2+…+C1n

知识点二.数列的分类

1.项数：

（1）有穷数列：项数有限

（2）无穷数列：项数无限

2.项与项间的大小关系：

（1）递增数列：an+l>an

（2）递减数列：an+i<an

（3）常数列：an+1=an

（4）摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列（其中〃GN*）

知识点三.数列与函数的关系

数列｛斯｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，而）到实数集R的函数，其自变量是序号”,对应的函

数值是数列的第〃项a„,记为斯=/缶）.

知识点四.数列常用的结论

1.已知数列｛以｝的前几项和贝&=L2r

2.在数列｛诙｝中，若斯最大，则伊翌…（„>2,wGN*）；若a”最小，则巴咤（4，〃GN*）.

（a九r_un+i（a九—a九+1

知识点五.数列的两种常用表示方法

（1）通项公式：如果数列｛““｝的第〃项与序号”之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这

个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果己知数列｛%｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的

前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

考点一、数列的周期性

典例引领

1.（•湖南・高考真题）已知数列｛即｝满足的=0,厮+1=等鸟（716%+）,贝b20=（）

y/3an+l

A.0B.-V3

C.V3D.—

2

2.（2024・陕西安康•模拟预测）在数列｛a九｝中，an>0,%=1,a2=V2,若对VTIEN*+a^+1+a^+2=10,

则。2024=（）

A.V2B.1C.V3D.V5

即时便测

1-

1.（2024・河北•模拟预测）己知首项为2的数列满足4%计5an+1an-2c1n=2,当的前几项和%>16

时，则n的最小值为（）

A.40B.41C.42D.43

aa_（n>N*）,）（12024=

2.（2024•山东济宁三模）已知数列｛厮｝中，的=2,a2=1,n+1=an—n12,nE贝!

（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024•陕西榆林•三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1,

乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该

为（）

A.2B.4C.6D.8

4.(2024•辽宁•模拟预测)数列｛a九｝中，a】=4,a?=3,d=-an(nGN*>2),则的。。。的值为()

n+1an-l

134

A.-B.-C.3D.-

443

考点二、数列的单调性

典例引领

1.（2024.贵州・模拟预测）已知数列｛%J满足厮=二二（卜GR）,贝U“数列｛厮｝是递增数列”的充要条件是（）

A./c<0B.fc<1C.fc>0D.fc>1

2

2.（2024・天津南开•二模）设数列｛an｝的通项公式为厮=n+bn,若数列｛an｝是单调递增数列，则实数b的

取值范围为（）.

A.（—3,+8）B.（-2,+8）C.[-2,+8）D.[-3,+8）

即时啰!）

1.（2024•北京西城•三模）对于无穷数列｛an｝,定义dn=an+1-an（n=1,2,3,-）,贝r｛an｝为递增数列”是“｛勰｝

为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024.江西.模拟预测）已知数列｛aj满足an=n-a（a€R）,则“aW1”是匹总｝是递增数列的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・四川雅安・模拟预测）已知数列｛厮｝满足an+2=3即+I-2an,=A,a2=2,｛an｝单调递增，则4

的取值范围为.

4.（2024・河南信阳•模拟预测）在数列｛即｝中，的=|，2an+1=an+n+2.

（1）记⑥=厮一n,证明：｛加｝为等比数列；

（2）记立为｛厮｝的前兀项和，若｛Sn+2+加｝是递增数列，求实数4的取值范围.

考点三、数列的最值

典例引领

1.（2020.北京・高考真题）在等差数列｛a。｝中，的=—9,a5=—1.记〃=a1a2...an（n=1,2,则数列｛&｝

().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

2.（•辽宁・高考真题）已知数列｛&J满足的=33g+i-厮=2耳则早的最小值为.

1.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）在递增数列｛a九｝中，Qi=gsin（a）=cos（a）.已知S九表示｛即｝前

6nn+1

n项和的最小值，贝！Jsin（S9）=（）

A.-B.—C.--D.

2222

2.（24-25高三上•山西大同・期末）等比数列｛aj中,S*为其前n项和,%=1,且4所,2a2，。3成等差数列，

则式neN*）的最小值为（）

A.-B.-C.—D.1

2925

3.（2024•山东济南•二模）已知｛即｝是各项均为正整数的递增数列，｛an｝前几项和为Sn,若%=2024,当nW

最大值时，即的最大值为（）

A.63B.64C.71D.72

4.（2024.天津和平.二模）已知数列｛厮｝满足|的+知2+-则数列的通项公式为

an=,若数列｛即｝的前n项和为无,记/?皿=更2型（neN*）,则数列｛RJ的最大项为第项.

an+l

考点四、%与S”的关系求通项公式

典例引领

1.（2024•山东济南.三模）若数列的前几项和分=n（n+l）,则等于（）

A.10B.11C.12D.13

2.（2024.贵州遵义.二模）已知数列｛a九｝的前。项和Sn=町+九一1,则的+劭=（）

A.16B.17C.18D.19

即时检测

1.（2024.内蒙古呼和浩特.二模）数列的前n项和为&=3-2an,nGN*,则=（）

A.-B.—C.-D.-

81812727

n+1

2.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛厮｝的前n项和为%，an+1Sn+2,的=2,则%=

3.（2024高三•全国・专题练习）在数列｛an｝中，的=%前n项和Sn=以2九一1）即，则数列｛即｝的通项公式

为_____

4.（2024高三.全国・专题练习）已知数列｛厮｝的前几项和为分,若如=2n-1-%则数列｛%｝的通项公式为_

考点五、累加法求通项公式

典例啊

2

1.(2024•重庆•三模)已知数列｛a“｝的前几项和为Sn,%=l,Sn+Sn+1=n+l(ne/V*),S24=()

A.276B.272C.268D.266

2.（2024•河北保定•三模）设｛篇｝是公差为3的等差数列，九=a?i+i+a?i，a1=1,则劭1=（）

A.21B.25C.27D.31

即时检测

1.（2024・陕西咸阳•三模）在数列｛。九｝中，a［=1,。九+1=CLn+271—1,则电=()

A.43B.46C.37D.36

2.（2024・湖南衡阳.模拟预测）已知数列｛册｝满足:%=1,a=a-+n(n>2),且b九==则数列｛%｝前

nn1an

n项的和%为（）

2n

A.S=—B.SLQC.S—=—D.S=—

nn+ln+2nn+2

3.（2024•全国•模拟预测）已知数列满足的=3,g=15，且%i+2—2an+1+an=8,若［%］表示不超过工

的最大整数，贝叩文+%+…+竺巴］=（）

Lala2。2024」

A.2016B.2017C.4032D.4034

4.（2024・广东深圳.模拟预测）已知数列的前n项和为%,且％=1+3%若首项为1的数列｛.｝满足

-^--^-=a,则数列｛6J的前2024项和为（）

bn+ln

A101220252023

A.-----rdIS

2023・2024・2024

考点六、累乘法求通项公式

典例目阚

1.（2024•西藏•模拟预测）已知数列对任意k€N¥两足,。上+1=2”，则的,。2024=（）

A.21°12B.21013C.22024D.22025

2.（2024.全国.模拟预测）已知数列5｝满足黑=箸，其中=L则=（）

A.28B.220C.225D.228

即时检测

1.（2024高三下•全国・专题练习）在数列｛a“｝中，的=3前几项和力=以2几—l）a“，则数列｛册｝的通项公

式为（）

A.-————-B.-C.2—毕D.2—噂

（2n-l）（2n+l）2n+l2n+l2n

2.（23-24高三上•河南•期中）在数列中，a“>0,的=1,争普=2n，则的曲=（）

an+l-an

A.4V14B.15C.V223D.10

3.（2024.四川泸州.三模）已知％是数列｛册｝的前n项和，%=1,nan+1=（n4-2）Sn,则、=.

4.（2024高三下•全国・专题练习）已知数列｛an｝中，％,=1,nan+1=2（^+a2-----FaQQieN*）,则数

列｛5｝的通项为

Tl

3.（2024・全国•模拟预测）已知数列的前几项和为%,2an+l=3Sn,若tS。<2对任意的neN*恒成立，

则实数t的取值范围为（）

A.（—3,2）B.[-3,2）C.[-3,2]D.（-3,2]

4.（23-24高三下•安徽•阶段练习）己知数列｛时｝的前几项和为土,数列｛配｝的前n项和为且与+1=S"+

n,ai=l,bn=—则使得7；<M恒成立的实数M的最小值为（）

an+1

37

A.1B.-C.-D.2

26

考点八、递推数列问题

典例引领

1.（2025・广东•一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如

下定义：设｛。九｝为斐波那契数列，fli=l,a2=1,an=an_r+an_2（n>3,neN*）,其通项公式为厮=

亲[（粤）"一（左）T，设n是1咆[（1+佝”一（1一有月<%+4的正整数解，贝切的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

2.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知数列｛%J的前n项和为%,满足与+i=eN*）,的<0,则

an

可能同时为整数的是（）

A•a3a4/口a5a6B.a4a5手口a6a7C./口aioaiiD.a6a7不口

即时啰!）

1.（2024•湖北襄阳•模拟预测）已知函数f（x）=U，数列满足的=a2=l,an+3=an（neN*）,f（a2）+

f（a3+a4）=0,则£得4%=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）数列｛an｝共有9项,且的=1,a9=9,\an+1-an\=2,则这样的数列｛a九｝

有（）

A.28个B.36个C.45个D.56个

4.（2024・四川乐山.三模）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其

中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为an,

给出下列四个结论：

①=8;②3a九+1=。九一1+%+3；③+I-a2n-l=。2九；④ai=a2000a2001一

其中所有正确结论的序号是.

考点九、数列中的规律

典例引领

1.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）一只蜜蜂从蜂房2出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如

图），例如：从蜂房4只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号峰房，…，以此类推，用与表

示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，贝bio=（）

A.10B.55C.89D.99

2.（24-25高三上•广东深圳•开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开

始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）

A.6种B.10种C.11种D.12种

即时性测

1.（2024・四川.模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差

数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构

成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13,则该数列的第18项为（）

A.188B.208C.229D.251

2.（2024•辽宁•二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中

国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,

32,40,50,则此数列的第30项为（）

A.366B.422C.450D.600

3.（2024•浙江绍兴.二模）汉诺塔（TowerofHanoi）,是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三

根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着几个不同大小的圆盘，要把所有

盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问

至少需要移动多少次？记至少移动次数为H5）,例如："（1）=1,”（2）=3,则下列说法正确的是（）

BC

A.”（3）=5B.｛"（>）｝为等差数列

C.｛H（n）+1｝为等比数列D.H⑺<100

4.（2024.全国•模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）.”

意即“勾”a、”股又与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中aWb）.当a,瓦ceN*时，有如下勾股弦数组序

列:（3,4,5）,（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,41）,…，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（）

A.145B.181C.221D.265

IN.好题冲关

基础过关

1.（2024.天津・二模）已知数列｛时｝为不单调的等比数列，a2=1a4=\数列｛“｝满足力=1-。…，则

416

数列｛与｝的最大项为（）.

379s

A.-B.-C.-D.-

4884

2.（23-24高三上•天津和平・期末）已知数列5｝为等比数列，S九为数列的前几项和，an=|sn+|,则S4

的值为（）

A.9B.21C.45D.93

3.（23-24高三上•天津•期中）设%是数列的前几项和，已知的=1且册+i=2S九+1,则。4=（）

A.9B.27C.81D.101

4.（22-23高三上•湖南娄底•期末）已知先为等差数列的前几项和，a3+S5=18,a6=a3+3,则数列

｛Vh｝的最大项为（）

11

A.—B.—

5715

C.—D.—

1456

5.（22-23高三上•天津静海•阶段练习）设命题P：已知定义在（0,+8）的可导函数/（%）,其导函数尸（%）=

xlnx-%,存在k6R,使得€（0,+oo）,x1W冷，kW”"f.恒成立.命题Q.存在keR,使得即=

n2-（fc-2）n为递增数列.则Q是P的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（21-22高三上•天津河西•期中）已知数列｛厮｝中，的=-l,an=2an_]+3,则通项公式an=

前n项和%=.

能力提升

1.（2024•天津北辰•模拟预测）设数列｛厮｝满足的+2a2+3a3+-+min=2n+lSeN*）,则数歹!）｛署｝的

前5项和为（）

A.-B.-C.-D.-

3576

2.（2024•全国.模拟预测）已知％为正项数列｛即｝的前n项和.若%+2an=S^+i—1,且S5=57,则=（）

A.7B.15C.8D.16

3.（2024.四川宜宾.二模）在数列中，3知的=2,a2=1,且满足厮+2+厮=an+1,则数列｛%J的前

2024项的和为（）

A.3B.2C.1D.0

4.（2024.陕西安康.模拟预测）已知等比数列的前n项和为%,且与+1=5„+1,则数列｛嫌｝的前几项和

为（）

A4n-lc2n-l

A.----