特殊角问题-2024年中考数学二次函数压轴题

特殊角问题

一、知识导航

一、什么是特殊角？

说到特殊角我们很快就能想到比如30。、45。、60。、90。等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于

这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会修60。称为特殊角，而50。便不是，原因彳艮简单，

cos60°=-,而我们并不知道50°的任一三甭函数值.

2

因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30。、45。、60°,

我们可以扩充一下特殊角的范围.

+

三边之比为1：3：710

11

以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造:

比如求tanl5°:

1

tan15°=----E=2-73

2+73

tan75°=2+73

tan22.5°:

tan22.5°=^^=&

1+72

一般半角三角函数值求法:

a

tana二一

b

aa

tan一二i

2b+^+b2

一般二倍角函数值求法:

勾股定理可求二倍角三角函数值

二、特殊角在坐标系中的意义

当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线

>=%和直线>=-%,在一次函数中我们知道，若两直线平行，则左相等.

综合以上两点，可得：对于直线y=x+根或直线尸-x+加，与x轴夹角为45。.

-F-y=-x+m

fv

并且我们还可通过画图与计算得知：

1上；73f/

即“y=fcv+6的H与“直线和无轴的夹角”存在某种固定的联系.

关系就是：%|=tancz（c是直线与x轴的夹角）.

不装了，我摊牌了~

k>0Ay=kx+b

乃）上空PM

一tana==

QMxrx2

k=tana

k<0

小N竺

PM月）2

1_闷汽2,/2）气产一tana=---=------

QMxrx2

k=-tana

三、坐标系中特殊角的处理

在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：

思路1:构造三垂直相似（或全等）；

思路2:通过三甭函数值化"角度条件"为"直线

二、典例精析

引例1:如图，在平面直线坐标系中，直线48解析式为、=工无，点M（2,1）是直线48上一点，将直线

2

AB绕点M顺时针旋转45。得到直线C。，求CD解析式.

【分析】

思路1:构造三垂直相似（全等）

在坐标系中存在45。角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形.

在直线A8上取一点。，过点。作交于尸点，分别过/、P向x轴作垂线，垂足为E、F点.

易证△OEM0

itPF=OE=2,OF=ME=1,故P点坐标为（-1,2）,

结合尸、M坐标可解直线C。解析式：y=--x+-.

33

构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点。作C。的垂线,

但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐.

思路2:利用特殊角的三角函数值.

过M点作AfN//x轴，则tanNOAW=tana=；,tanZ.CMN=,

考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故化°＜。，

所以直线CD:y=-1(x-2)+l,

d匕简得：V=--X+—.

33

引例2:如图，在平面直线坐标系中，直线A2解析式为、=3X，点M(2,1)是直线48上一点，将直线

3

A5绕点M顺时针旋转a得到直线CD,且tana=‘，求直线解析式.

2

【分析】

在直线A3上再选取点。构造三垂直相似，如下图所示,

PO3

易证且相似比上=tanN尸加。=巳，

OM2

333

即0尸二一般=一，PF=—OE=3,

222

故P点坐标为1之3),

415

结合P、/点坐标可解直线C。解析式：＞=-一x+—.

-77

本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法

只存在于特殊的角中.

认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法.

三、中考真题演练

1.(2023•四川攀枝花•中考真题)如图，抛物线>=依2+法+式。/0)经过坐标原点。，且顶点为A(2,-4).

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为8,点尸位于抛物线上且在x轴下方，连接。4、PB,若

ZAOB+ZPBO=90°,求点P的坐标.

【答案】⑴T-4X

17

⑵丐，北)

【分析】(1)设抛物线的表达式为y=O(x-2)2-4,将。(0,0)代入可得y=/-4x；

(2)过A作AT，》轴于T,过尸作PK_Lx轴于K,设P(m,疗一4加)，求出8(4,0)；根据N4OB+ZAOT=90。,

24

ZAOB+ZPBO=90°,得ZAOT=ZPBO,故△AOTSAK,从而一----="-,即可解得答案.

PB-in+4m4-m

【详解】(1)解：设抛物线的表达式为>=心-2)2-4,

将。(0,0)代入得：4a—4=0,

解得<2=1,

y=(x-2)2-4=x2-4x；

(2)过A作AT_Ly轴于T,过P作轴于K,如图：

设P(m,m2-4m),

在尸犬一4%中，令y=0得I=0或%=4,

・•・5(4,0)；

•「ZAOB+ZAOT=90°,ZAOB+ZPBO=90°,

.\ZAOT=ZPBO,

­.•ZATO=900=ZPKB,

:.MOTSAPBK,

,ATOT

•••A(2T),

24

/.—.----=----,

-m+4m4-m

解得加=；或〃7=4(此时P与8重合，舍去),

【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证明

AAOTS“BK,用对应边成比例列式求出机的值.

2.（2023・湖北黄石•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=以2+法+。与x轴交于两点

A（-3,0）,3（4,0）,与y轴交于点。（0,4）.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知抛物线上有一点户(五,几)，其中为<0,若/。1O+N/LBP=90。，求吃的值；

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

CO433

(2)在RQAOC中，tanZCAO=--=-贝UtanNAB尸=:，得到直线的表达式为：y=-(x-4)进

AO3f44f

而求解；

【详解】(1)解：设抛物线的表达式为：y=a(x+3)(%-4)=«(x2-x-12),

即一12a=4,贝！］〃=一,，

3

故抛物线的表达式为：>=-$2+卜+4①；

CO4

(2)解：在Rt^AOC中，tanX.CAO=二—,

AO3

・・•NG4O+ZAB尸=90。，

3

则tanNA8P=一,

4

故设直线5尸的表达式为：y4)②，

4

113

联立①②得：-=尤2+4=；(尤一4),

334

71

解得:尤=-7=%(不合题意的值已舍去)；

3.(2023•黑龙江大庆•中考真题)如图，二次函数>=依2+法+。的图象与x轴交于A,8两点，且自变量x的

部分取值与对应函数值，如下表：

XL-101234L

yL0-3-4-305L

备用图

备用图

⑴求二次函数y=,2+bx+c的表达式;

(2)若将线段A3向下平移，得到的线段与二次函数>=以2+法+。的图象交于尸，。两点(尸在。左边)，R

为二次函数>=〃/+乐+。的图象上的一点，当点。的横坐标为加，点火的横坐标为加+0时，求tan/HPQ

的值;

【详解】(1)解：由表格可知，二次函数y=〃/+法+c的图象经过点(—1,0),(0,-3),(1,^),代入

y=ax2+bx+c得至lj

a-b+c=0

<c=-3

a+b+c=—4

a=l

解得卜二-2,

c=-3

・••二次函数ynqf+bx+c的表达式为y=x2-2x-3；

(2)如图，连接依，QR,过点H作交A2的延长线于点M,

:点。的横坐标为机，

Q^m,m2—2m—3）,

*.*y=x2—2x—3=（x—l）2—4,

・•・抛物线的对称轴为直线x=l,

・・,点尸与点。关于直线x=l对称，

设点尸（鹿,病-2%-3）,

贝!jm-l=l-几,解得〃=2—小，

・••点P的坐标为（2-帆，川-2帆-3）,

当尤+0时，y=%2—2%—3=（m+拒『一2（m+0）—3=机2+（2立一2）加一1-2a,

即H+0,川2+0血—2）加一1—2夜）,

则M（m+72,m2-2m-3）,

RM=AM2+（2^/^'-2）iTi—1—2,\/2—（加之—2m—3）=+2—2^/^,

PM=m+^2—（2—m）=2m+^2—2,

20加+2一2后夜（2及+拒—2）_£

tanzw=Z

2m+\/2—22m+^2—2

即tan/RPQ的值为行;

4.(2023•山东泰安•中考真题)如图1,二次函数产加+法+4的图象经过点A(-4,0),B(-l,0).

图1图2

⑴求二次函数的表达式；

(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点。，使NZMB+NACB=90。；请判断小明的说法是否正确，如果

正确，请求出。的坐标；如果不正确，请说明理由.

【详解】(1)解:将A(yO),3(T,O)代入==症+4+4得:

16〃一4。+4=06Z—1

,解得:

a-b+4=0b=5

:.抛物线解析式为：y=x2+5x+4；

(o20、

(3)解：正确，——I,理由如下:

如图所示，连接AC,BC,设AC与对称轴交点为K,对称轴与x轴交点为H,连接BK,延长AD与对称

轴交于点M,

由(1)、(2)可得。4=OC=4,ZAOC^P,

/.ZC4<9=45°,AC=4V2.

根据抛物线的对称性，AK=BK,

：.ZKAB45°,ZAKB=90°,

"：AB=3,

AK=BK=晅

2

C-K注

「KS

在RMCKB中，tan/CBK==—,

BK3

NCBK+ZACB=90。且NDAB+NACB=90。，

:・/DAB=/CBK,

tanNDAB=tanZCBK=—,

3

即：在Rt^AHM中，---=一,

AH3

53

AH=——(-4)=-,

2v72

：.HM=-3x-5=5

232,

5_5

：.M

2，-2

设直线AM解析式为：y=sx+t,

5

s=——

3

将A（T,0）、代入解得：.

20

t=---

3

520

・•・直线AM解析式为:y=——x---

33

8

y=x2+5x+4x二——

;。或x=-4&

联立520，解得：,产。（不合题,舍去）

y=——x---

y二—

339

20

小明说法正确，。的坐标为。~9

5.（2023・辽宁营口・中考真题）如图,抛物线y=a^+bx-\{aw0）与％轴交于点A（1,O）和点6,与丁轴交于

点C,抛物线的对称轴交x轴于点。（3,0）,过点5作直线龙轴，过点。作。石1CD,交直线/于点E.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和3P交于点Q,当器时.求点P的坐标；

【详解】(1)解：：抛物线丁=加+法与》轴交于点AQO),抛物线的对称轴交x轴于点0(3,0),

则对称轴为直线x=3,

a+b-l=0

.eJbo，

-=J

、2a

1

a=—

解得：?

b=s

[5

•••抛物线解析式为、=-92+*1；

(2)解：由尸一夫+!1,当y=0时，-1%2+|^-1=0,

解得：玉=1,%2=5,

・・・3(5,0),

当％=0时，y=-l,贝

VDE1CD,ZCOD=ZEBD=ZCDE=90°

・•・ZCDO=90°-ZEDB=ZDEB,

tanNCDO—tan/DEB,

OCDB

即nn——=——，

ODBE

••马一BE，

・•.BE=6,则E(5,-6),

设直线石c的解析式为y=^—1,贝iJ-6=5左—1,解得：k=-\,

•••直线EC的解析式为产-》-1,

如图所示，过点P作尸轴，交EC于点T,

△PTQ^^BEQ

..些=9

,PQ7

二强二/3则吟丝

PTPQ75

即尸「,一”?

设T&T-1),则-歹

将点尸—*代入'=_(尤2+与尤一］

47126,

即Hn-t-----=__r+-r-l

555

解得：，=-3或/=14(舍去)

当/=—3时，T上47=—空32

，「卜3,一高；

6.(2023・辽宁营口・中考真题)如图，抛物线丫=加+桁-1("0)与x轴交于点4(1,0)和点B,与V轴交于

点C,抛物线的对称轴交x轴于点0(3,0),过点8作直线/_Lx轴，过点。作。交直线/于点E.

(1)求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下，连接AC,在直线阶上是否存在点尸，使得“£F=NACD+N3ED?若存在，请直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据抛物线过点A(1,O),对称轴为直线x=3,待定系数法求解析式即可求解；

(3)根据题意可得ZDEF=45。，以DE为对角线作正方形DMEN，则ZDEM=ADEN=45°,进而求得M,N

的坐标，待定系数法求得的解析式，联立3尸解析式，即可求解.

【详解】(1)解：:•抛物线》=改2+乐-1(。/0)与工轴交于点4(1,0),抛物线的对称轴交x轴于点£>(3,0),

则对称轴为直线x=3,

a+b-l=0

/Jbo,

.2a

1

a=——

解得：?

I5

2

•••抛物线解析式为y=-1x+|x-i;

(3)VA(l,0),C(0-1),

则。4=OC=1,AAOC是等腰直角三角形，

NO4c=45。，由(2)可得NBED=ZADC,

ZDEF=ZACD+ABED

：.ZDEF=AACD+AADC=ZOAC=45°,

由⑵可得21一3,-£)

设直线BP的解析式为y^ex+f,则

5e+f=0

<32

-3e+/=-—

I5

'_4

解得：<5

-4

4

・•・直线5尸的解析式为y=丁-4

如图所示，以。石为对角线作正方形0MEN,则=硒=45。,

;DB=2,BE=6,则£)£=2可，则0/=[。£=2君，£(5,-6),

(m-3)2+M2=(2A/5)2

设则＜

(m-5)2+(M+6)2=(2指)

m=7

解得:

n=-2

则M(1,-4),N(7,-2),

设直线EM的解析式为y=sx+tf直线EN的解析式为y=邑%+%

5s+，=-65S]+%=-6

则

s+t=-47S]+4=—2

1

s=——

s=2

解得：;

t=-16

t=--

I2

17

设直线EM的解析式为y=--X--,直线EN的解析式为y=2x-16,

175

y=——x——x=一

2213则/48、

J解得:nJ

48，

y=—x-4y=—

513

,=216[尤=10

4,解得：)，则尸10,4,

y=-^-4[y=4

综上所述，5或“10,4).

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

Q

7.(2023•内蒙古通辽・中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=++§x+c("0)与x轴交于点4(1,0)

和点8,与y轴交于点C(O,-4).

(1)求这条抛物线的函数解析式;

(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作尸D_Lx轴，垂足为。，连接尸C.

①如图，若点P在第三象限，且tan/CP£>=2,求点P的坐标;

o

【详解】(1):抛物线>=依2+|》+。(〃片0)与X轴交于点A(l,o),与y轴交于点C(O,T),

O

・・・把A(1,O),C(0,-4)代入y=尔+9+c(aw0)得，

8八

ClH---FC=0

3

c=-4

4

a=­

解得，3,

c=-4

48

・••抛物线的函数解析式为y=-x2+|x-4；

,过点C作CE_LPD于点E,如图,

APEC=ZCED=90°,

,/C（O,T）,

・・・0C=4,

*/~D_Lx轴,

.・・ZPDO=90°,

又NDOC=90。,

・••四边形。OCE是矩形,

DE=OC=4,DO=CE=—x,

.・.PE=PD-DE=-\-x2+-X-4\-4=--X2--X,

（33J33

CE

•：tanZCPD=—=2,

PE

__=2

48"?

——x2——x

33

13

・，・%=一~—,x=0（不合题意，舍去）

82

.48477

・・一2XH-X-4=,

3316

•••"-土口；

（816；,

8.（2023・湖北•中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=女2+法-6（。工0）与工轴交于

点A（—2,0）,3（6,0）,与，轴交于点C,顶点为O,

图1图2

（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）

（2）在图1中，连接AC并延长交3。的延长线于点E,求NCEB的度数;

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）待定系数法求得直线直线AC的解析式为：%C=-3X-6,直线次?的解析式为：yDB=2x-12.联立

两直线解析式，得出点E的坐标为］方法1：由题意可得：OA=2,OB=OC=6,AB=8.过点E

ArAR

作跖，x轴于点足计算得出F=又NBAC=NE钻，可得△ABCS&4E5,根据相似三角形的性质

得出NCEB=45。；方法2：如图2,延长班与V轴交于点G,过点C作于点H,过点E作EFLx

轴于点尸.等面积法求得CH=S后，解RtZ\CEH即可求解.方法3：如图2,过点。作CH_L况于点H.根

5

据sin/C3H=sin/ACO=^,得出NCSH=ZACO,进而得出NCEB=NOCB=45。；

10

【详解】（1）解：・・・抛物线丁=加+区-6（aw0）与x轴交于点A（-2,0）,3（6,0）,

.f4«-2Z?-6=0

・・136〃+6。-6=0'

.1

a=——

解得：r2,

b=-2

抛物线解析式为y=g1-2x—6；

（2）•.•点A（—2,0）,点C（0,-6）,

设直线AC的解析式为：y=klx+bl.

.卜2匕+4=0

'L4=-6'

.卜1=-3

■,U=-6，

直线AC的解析式为：%c=-3x-6.

同上，由点£＞（2,-8）,8（6,0）,可得直线的解析式为：yDB=2x-12.

令-3x-6=2x-12,得x=5.

，点E的坐标为］：,一^）-

方法1：由题意可得：OA=2,OB^OC=6,AB=8.

AC=y/o^+OC2=722+62=2-x/lO•

如图1,过点E作EFLx轴于点R

ACy/ioAB8_Vio

・•・瓦―丁市―16碗一丁.

5

.ACAB

**AB-AE'

又NBAC=/EAB,

"ABCs^AEB.

・・・ZABC=ZAEB.

•：OB=OC,ZCOB=90°9

：.ZABC=45°.

VZA£B=45°,

即ZCEB=45°.

方法2：如图2,延长BE与丁轴交于点G,过点C作CH_L8E于点过点E作EF，x轴于点P.

yDB=2x-12,

.-.G（0,-12）.

BG=slOB2+OG2=762+122=675.

S=-CGOB=-BGCH.

ZAADBCr(Jr22

—x6x6=—x6非CH.

22

：.CH=还.

5

,•*AC=V<M2+OC2=A/22+62=2710，

・"=皿一2加=①

55

..CH丘

・・sinACEH=--=——

CE2

方法3：如图2,过点C作CH_L助于点H.

*.*sinZCBH=sinZACO=—.

10

ZCBH=ZACO.

ZACB=ZCBH+/CEB,ZACB=ZACO+ZOCB,

・・・ZCEB=ZOCB=45°.

：.ZCEB=45°.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

9.（2023・四川・中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数＞=以2+法+4的图象与％轴交于点

A（-2,0）,5（4,0）,与丁轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知E为抛物线上一点，P为抛物线对称轴/上一点，以8,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形,

且N3EE=90。，求出点尸的坐标;

【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可;

(2)先求得抛物线的对称轴为直线x=l,设/与x交于点G,当点尸在x轴上方时，过点E作即，/于点£),

证明ADFG丝AGB/，设尸则。£=1+〃?，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,进而得出E点的坐标,

代入抛物线解析式，求得加的值即可求出点厂的坐标；当点尸在无轴上方，且点E与点A重合时，利用等

腰直角三角形的性质求出FG=gAB=3,即可求出点尸的坐标；同理可求得当点P在龙轴下方时的坐标；

当£点与A点重合时，求得另一个解，进而即可求解；

4。一2Z?+4=0

【详解】(1)解：将点A(—2,0),84,0),代入尸加+笈+4中得

16。+48+4=0'

解得：＜2,

b=\

・•・抛物线角窣析式为y=_；f+%+4；

(2)解：・・•点A(—2,0),5(4,0),

:•抛物线的对称轴为直线

如图所示，当点F在x轴上方时，设/与X交于点G,过点E作于点

•・•以5,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，且NB£E=90。,

:.EF=BF,

■:ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

・・・△OFE四△GAF(AAS),

GF=DE,GB=FD,

设厂贝！JQ£=m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m

E(l+m,3+m),

,/石点在抛物线y=-；/+工+4上

1\2/\

3+m=——(1+m)+(l+m)+4

解得：m=-3(舍去)或机=1,

••"(1,1);

如图所示，当点尸在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线/与x轴交于G,

,/是等腰直角三角形，且/班石=90。,

：.FG=AG=BG=1AB=1[4-(-2)]=3,

.-.F(l,3);

•・•以5,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，且NBFE=90。,

EF=BF,

9：ZDFE=90°-ZBFG=Z.GBF,

・•・^DFE^AGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

设厂贝！JQ£=机，DG=DF+FG=GB+FG=3—m

1/E点在抛物线y=-；Y+x+4上

1、•？/、

/.m—3=——(1—m)+(1—m)+4

解得：m=3(舍去)或加=—5,

AF(1,-5),

如图所示，当点尸在无轴上方，当E点与A点重合时,

VAB=6,A4B/是等腰直角三角形，且NBFE=90。，

GF=-AB=3

2

AF(l,-3),

综上所述，/(1,1)或尸(1,3)或网1,-5)或歹(1,-3)；

10.(2023•四川・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a/+fcc+4的图象与x轴交于

点4(一2,0),5(4,0),与V轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

⑶如图2,尸为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M,连接2尸并延长交y轴于点N,在点p

运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2

【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可；

(3)设P(s,。，直线"的解析式为丁=公+九3P的解析式为y=gx+/7,求得解析式，然后求得0MoN,

即可求解.

4〃一2Z?+4=0

【详解】(1)解：将点A(-2,0),8(4,0),代入y=，+6x+4中得

16〃+48+4=0

解得：,2,

b=\

二抛物线解析式为y=-；必+x+4；

(3)解：设尸(sj),直线AP的解析式为>=公+/，3尸的解析式为>=gx+/z,

•.•点A（-2,0）,3（4,0）,P（s,t）,

,[-2d+f=04g+/z=0

[sd+f=tsg+h=t

t

d=------S=---7

s+2s-4

解得：

2t7今

n二----

s+24一5

t2tt4t

•・・直线小的解析式为尸壬X+壬,的的解析式为产------XH,

5-4----4-S

t2t,当x=0时，y=2t,即Al（0,2t

对于y二------XH--------

s+2s+2s+2I5+2

t4t,当x=o时，y=——y即N1O,

对于y=------x-\

s—4----4-54—sI

•/P(sJ)在抛物线上，贝卜=-：$2+S+4=-；(S-4)(S+2)

12t

OM+-ON=^-+-x^—=2

2s+224—s—s+2s+8

-6（5—4）（5+2）

=6

-(5-4)(5+2)

OM+^ON为定值6.

2一

【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一

次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思

想求解是解题的关键.

11.(2023・湖南郴州•中考真题)已知抛物线丁=加+次+4与x轴相交于点A(l,0),5(4,0),与，轴相交于

点C.

(1)求抛物线的表达式；

(3)如图2,取线段0C的中点。，在抛物线上是否存在点。，使tanN2ZM=g?若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可；

(3)求出。点坐标为(0,2),进而得至IJtan/03O=；,得到=分点。在。点上方和下方，

两种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线y=++bx+4与x轴相交于点A(l,0),3(4,0),

[a+b+4=0fa=l

・・I1(AJAc，解得：＜7＜，

[16G+40+4=0[b=—5

j=x2-5x+4；

(3)解：存在，

・・•。为OC的中点，

・・・D(0,2),

・•・OD=2,

・・・5(4,0),

・・.05=4,

在RtABOD中，tan/OBD=-----=—,

OB2

*.*tan/QDB=g=tanZOBD,

：.ZQDB=ZOBD,

①当Q点在。点上方时：

过点。作交抛物线与点Q,贝hNQDB=NOBD,此时。点纵坐标为2,

设Q点横坐标为f,

则：产f+4=2,

解得：:注叵，

2

■-Q---,2］或。一--,2；

I2）\27

②当点Q在。点下方时：设。。与x轴交于点E,

设E（P，O）,

贝lj：DE2=OE2+OD2=p2+4,BE2=（4-p）2,

3

解得：P=-，

二呜。，

设DE的解析式为:y=kx+q,

9=29=2

则：b%八，解得：，

［万+”。k7=—4，

3

y——x+2,

3

2

4。x=—

y——x+2x=33

联立-3,解得:「2或'

10

y=x2-5x+4y二­

9

210

，Q（3,-2）或。互

智^,2］或Q士普，2］或。（3,-2）或。210

综上：

Q3'V

7\2）

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进

行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题.

12.（2023・湖南•中考真题）如图，已知抛物线>=―-2依+3与x轴交于点A（-l,0）和点8,与y轴交于点

（3）抛物线上是否存在点P,使/RBC+NACO=45。，若存在，请求出直线8尸的解析式；若不存在，请说明

理由.

【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果;

（3）分两种情况讨论，当点P在直线3c下方时，与当点P在直线上方时.

【详解】（1）解：抛物线丁=--2依+3与x轴交于点A（TO）,

得a+2a+3=0,

解得：a=-1；

（3）解：存在点P,理由如下:

当点P在直线3c下方时,

在，轴上取点”（0,1）,作直线交抛物线于（异于点8）点、P,

由(2)中结论，得NO3C=45。，

:.OH=OA=1,OB=OC,/BOH=ZCOA=90°f

.•.△区。&△COA(SAS),

.\ZOBH=ZACO,

ZPBC+ZACO=/PBC+NOBH=ZOBC=45°,

设直线5月的解析式为y=Z]X+4,代入点8(3,0),H(0,l),

3匕+4=0

得4=1，解得

4=1

故直线BP的解析式为y=-gx+l；

在x轴上取点/(LO),连接c/,过点B作3P〃a交抛物线于点p,

：.OI=OA=1,OC=OC,ZCOI=ZCOA=90°,

「.△CO//△COA(SAS),

/./OCI=ZACO,

ZPBC+ZACO=ZBCI+ZOCI=ZOCB=45°,

设直线C/的解析式为'=&%+%，代入点/(I，。)，C(0,3),

故设直线C7的解析式为y=-3x+3,

BP//CI,且过点仇3,0),

故设直线BP的解析式为y=-3x+n,

0=—3x3+〃，

解得〃=9,

・・・直线BP的解析式为＞=-3x+9.

综上所述：直线6尸的解析式为，=-3彳+9或、=-；苫+1.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定

和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

13.(2023・湖南怀化•中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线＞=依2+灰-8与x轴交于

A(T,0)、5(2,0)两点，与y轴交于点C.

Ft

图一备用图

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接24、PC,求△上4c面积的最大值及此时点尸的坐

标；

3537

⑶设直线4：丫=依+左-亍交抛物线于点V、N,求证：无论左为何值，平行于X轴的直线4：＞=-不上总

存在一点E,使得NMEN为直角.

【答案】⑴y"+2x-8

⑵△上4c面积的最大值为8,此时点P的坐标为P(-2,-8)

(3)见解析

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)如图所示，过点P作尸D_Lx轴于点。，交AC于点E,得出直线AC的解析式为y=-2x-8,设

P^rn,m"+2/n—8),贝!]E(办—2帆—8),得出尸E=—(%+2)~+4,当尸E取得最大值时，△PAC面积取得最大

值，进而根据二次函数的性质即可求解；

(、[,，_35

(3)设N(%,%),肱V的中点坐标为Q，联立/一卡一]，消去儿整理

卜22>[y=x2+2x-8

33