拓展之通过求二阶导函数解决导数问题（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题

目录

1、函数极值的第二判定定理：..............................1

类型一：利用二阶导数求函数的极值.........................1

类型二：利用二阶导数求函数的单调性.......................7

类型三：利用二阶导数求参数的范围........................12

类型四：利用二阶导数证明不等式...........................18

1、函数极值的第二判定定理：

若/(X)在x=x0附近有连续的导函数尸(x),且/'(x0)=O,r(xo)*O

⑴若/〃(/)<0,则/(x)在点/处取极大值；

(2)若/"(/)〉0,则f(x)在点无。处取极小值

2、二次求导使用背景

(1)求函数的导数/'(%),无法判断导函数正负；

(2)对函数/(X)一次求导得到了'(X)之后，解不等式r(x)>0和/''(x)<0难度较大甚至

根本解不出.

(3)一阶导函数中往往含有靖或In尤

3、解题步骤：

设g(x)=f'(x),再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解，即得到-函数g(x)的单调性,

得到函数g(x)的最值，即可得到((%)的正•负情况，即可得到函数/(x)的单调性.

高频考点

类型一：利用二阶导数求函数的极值

典型例题

例题1.(2024•贵州贵阳•一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：

fV3x”

ex=l+x+—+—+-•-+—+---^43”!=1X2X3X4X…x”,e为自然对数的底数,

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设“到=二二，g")=二二，根据以上信息,

并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

⑴证明：ex>1+x;

⑵设xe(O,+w),证明：qi<g(x)；

⑶设尸(x)=g(x)-a「+[；若x=0是尸(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

⑶(-8』

【分析】(1)首先设Mx)=e'-x-l,利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值

问题；

(2)首先由泰勒公式，由/和右，再求得〃尤)和g(x)的解析式，即可证明；

(3)分和“>1两种情况讨论，求出E(x)在x=0附近的单调区间，即可求解.

【详解】(1)设〃(x)=e，—x—1,贝i]〃(x)=e“—1.

当x>0时，当％<0时，/zr(x)<0,

所以MX)在(-8,。)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

因此，/z(x)>/z(O)=O,BPex>l+x.

(2)由泰勒公式知e'=l+x+工+《+工+二+…+上+…，①

2!3!4!5!n\

②

于是e+...+(-ir—+

2!3!4!5!n\

由①②得

ex-e-r%3X5

〃尤)==%+——+——+­­•+

-2-3!5!

工2"-2

g(%)=£+£1+7-------；—F

2(2«-2)!

所以

X3!5!

242n2

1xxx~/\

<1+I?+7?+-+(i^+-=gW-

即产川).

(3)F(x)=g(x)-a\1+^-―a1+^j,则

p—e4-e

F'(x)=--------ax,设G(x)=——-----ax,G，(x)=--------a.

,-x1,-----

由基本不等式知，3±二P32荷--，=1,当且仅当x=0时等号成立.

22

所以当时，G(X)N1-。20,所以/'(x)在R上单调递增.

又因为少(无)是奇函数，且尸'(0)=0,

所以当x>0时，〃(x)>0；当x<0时，F(x)<0.

所以尸(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+向上单调递增.

因此，x=0是尸(x)的极小值点.

下面证明：当。>1时，无=0不是尸(x)的极小值点.

Ina.-Inai/i\\\、

当a>]时，G，(]no)=----------a——IaH—I—d!=—I——tzl<0,

又因为G，(x)是R上的偶函数，且G，(x)在(0,+e)上单调递增，

所以当xe(—Ina,Inn)时，G'(尤)<0.

因此，尸'(无)在(-Ina,Ina)上单调递减.

又因为k(x)是奇函数，且尸'(0)=0,

所以当一Ina<x<。时，F'(x)>0；当0cx<lna时，Ff(x)<0.

所以在(-lna,0)上单调递增，在(O,lna)上单调递减.

因此，％=0是*无)的极大值点，不是歹(同的极小值点.

综上，实数。的取值范围是(-8』.

【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分。VI和两种情况，利用导数判

断x=0附近的单调性.

例题2.(23-24高二下•云南玉溪•阶段练习)已知函数/(x)=arTnxT,aeR.

⑴讨论函数〃x)的单调区间；

(2)当a=l时,设g(x)=e"(x)+e*+mr(meR),若g(x)20恒成立，求加的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)[-e,+<»).

【分析】(1)根据题意，求导可得尸(x),然后分a<0与a>0讨论，即可得到结果；

(2)根据题意，分离参数，然后构造函数//(X)=1(1：-x),求导可得“(X),转化为最值

问题，即可得到结果.

【详解】⑴/⑺定义域为(。,+8),f'(x)=a--=~,

XX

①当aWO时，尸(x)W0恒成立，“X)在(0,+功上单调递减

②当a>0时，

㈢a1"

f'W—0+

f(x)单调递减单调递增

综上所述，当aWO时，f(x)的单调递减区间为(。,+e),

当a>0时，的单调递增区间为1,+■，””的单调递减区间为1。,：

(2)g(x)=ex(^-lnx-l)+ex+5=叫了-111%)+侬:NO恒成立，

所以m240nx-X)恒成立,设〃⑺二^皿尤),

XX

eex|lnx-x+—-1|x-ex(lnr-x)八八八

则小x_I」।_ex("l)(lnx-l),

⑴一P一P

11_

设1(x)=lnx-jr-l,则/''(同=——1=----r,

xx

当Ov%vl时，«x)>0,4x)递增,当工〉1时，，(力〈0/(%)递减,

所以心)3=《1)=-2v0,所以当%>。时，Inx—尤—IvO恒成立，

当Ovxvl时，”(x)>O,/z(x)递增，当x>1时，〃(x)<O,/z(x)递减，

所以必无)3=如)=-e,

由m2e,WT)恒成立得加上Y,

X

所以机的取值范围为|-e,+oo).

练透核心考点

1.(2024・四川遂宁•二模)已知函数〃x)=e'-办-2.

(1)若“X)在区间(。,1)存在极值，求。的取值范围；

⑵若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cos%,求。的取值范围.

【答案】⑴。,e)

⑵(-8』

【分析】(1)对。分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；

(2)设g(x)=e'+cosx+sinx-(a+l)x-2,原问题即为g(x)>0在xe(0,+e)时恒成立，

多次求导后，对时及。>1时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得

解.

【详解】(1)由/卜)=1一k2,得洋(x)=e-a,

当aW0时，r(x)>0,则单调递增，/⑺不存在极值，

当a>0时，令/'(x)=0,贝!Jx=Ina,

若x<lna,则/'(“<0,f(x)单调递减；

若尤>Ina,贝Ur(x)>0,/(x)单调递增，

所以x=Ina是的极小值点，

因为/(元)在区间(0,1)存在极值，贝UO<lna<l,即l<a<e,

所以，〃x)在区间(0』)存在极值时，a的取值范围是(Le)；

(2)由/(%)>尤-sinx—cos尤在%€(0,+力)时恒成立，

即e*+cosx+sinx-(a+l)x-2>0在xe(0,+oo)时恒成立，

设g(x)=e*+cosx+sinx-(a+l)x-2,贝ij8(力>0在了£(0,+8)时恒成立，

贝!]g'(x)=e*-sinx+cosx-(a+l),

令m(x)=g，(x)=e*—sinx+cosx-(a+1),贝！|m'(x)=e1'-cosx-sinx,

令〃(无)==e*-cosx—sinx,贝ijzz,(x)=ex+sinx-cos尤,

xe(0,l)时，e*+sinx>l,则"(x)=e*+sinx—cosx>0,xe[l,+8)时，e*Ne，贝1J

所以xe(0,+8)时，nf(x)>0,则”(x)即加(x)单调递增,

所以加(x)>加(0)=0,则m(x)即g")单调递增，

所以g<x)>g〈0)=l-a,

①当aVl时,g，(0)=130,故无e(0,+8),g'(x)>0,则g(x)单调递增,

所以g(x)>g(0)=0,

所以/(x)>x-sinx-cosx在xe(0,+oo)时恒成立，

②当a>l时，g'(0)=l-a<0,

g，[ln(a+3)]=a+3-sin[ln(a+3)]+cos[ln(a+3)]-(a+1)

=2-V2sinln(a+3)-^>0,

故在区间(0,In(a+3))上函数g'(x)存在零点%,即g，区)=0,

,,

由于函数g'(x)在(0,+8)上单调递增,则xe(O,%)时,g(^)<g(xo)=O,

故函数g(x)在区间(0,%)上单调递减，

所以，当xe(O,x0)时，函数g(x)<g(O)=O,不合题意，

综上所述，的取值范围为

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得至i]g'(x)>g'(O)=l-。，从而通

过对a41及“>1进行分类讨论.

2.(2024•四川广安•二模)己知函数〃x)=e=ar—l.

(1)若/(尤)存在极值，求。的取值范围；

(2)若“41,xe(0,+ao),证明：f(x)>x-sinx.

【答案】(1)(。,+e)

⑵证明见解析

【分析】(1)求函数的导函数，分aWO、a>0两种情况讨论，即可得到函数的单调性，

从而得到函数的极值点，即可得解；

(2)依题意即证明6“+$111^-(4+1)》-1>。在%£(0,+00)时恒成立，设

g(x)=e，+sinx—(a+l)x—1,xe(0,y),利用导数说明函数的单调性，即可得证.

【详解】(1)由〃x)=e'-依—1,xeR,得=

当aW0时，f\x)>0,则/(x)单调递增，/(X)不存在极值；

当a>0时，令/''(x)=0,则x=ln“，

当x<lna,则/'(x)<0,即/(x)在(y,Ina)上单调递减,

当x>lna,则制或>0,即“X)在(In。,+e)上单调递增.

所以x=Ina是/'(x)的极小值点，

所以当a>0时，存在极值，

综上所述，〃尤)存在极值时，。的取值范围是(0,+8).

(2)欲证不等式〃x)>x-sinx在xe(0,+oo)时恒成立，

只需证明6"+$[1]%-(0+1)*-1>0在%€(0,+00)时恒成立.

设g(x)=e*+sinx-(a+l)x-l,xe(0,+oo),

贝！]g'(x)=eX+cosx-(a+l),

令7〃(x)=g'(x)=e*+cosx-(a+1),xe(0,+oo),

贝！］加(x)=ev-sinx.

当xw(0,4<o)时e*>1,—1(一sin尤41,所以质(x)>0,

所以加(X)即g'(X)在(0,+8)上单调递增,

所以g'(x)>g'(o)=l-a,

因为041,所以g'(0)=l-a20,

故xe(0,+8),g，⑺>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,

即当aVl,篱e(0,+oo)时,不等式〃x)>x-sinx恒成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单

调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、

不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

类型二：利用二阶导数求函数的单调性

典型例题

例题1.(2024•江西九江•二模)己知函数/(x)=(2x-a)ln(无一l)+/?(a,6eR)在x=2处的切

线方程为3-=0

(1)求a,b的值；

(2)判断〃x)的单调性.

【答案】⑴。=1,6=4

⑵/(X)在(L+8)上单调递增

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.

【详解】⑴/(x)=21n(x-l)+三予由题意可得/'(2)=3，〃2)=3x2—2=4,

贝lJ/'(2)=21n(2_l)+(2x2_a>，=0+4_a=3,可得a=l,

2—1

/(2)=(2x2-di)ln(2-l)+&=Z;=4,

即a=1,b=4；

(2)/(A:)=(2x-l)ln(x-l)+4,/z(x)=21n(x-l)+----(x>l),

x—1

令g(x)=/'(x)=21n(%_l)+——-(^>1),

x—1

22(x-1)-(2x-1)2x-3

则g'(x)-----------1------------------------o----------

%-1(x-1)二’

当时，g'(x)<°，当xe［，+co+寸，g'(x)〉0,

故g(x)在11,目上单调递减，在仁,上单调递增，

?3

即g⑺=2d=2In[一1]+42y

=4-21n2>0

2~

故在(l,y)上单调递增.

例题2.(23-24高二下•广东清远•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-ox+a,g(x)=xe*—2x.

(1)求函数y=/(x)的单调区间；

(2)己知a=l,当xe(O,4w),试比较〃x)与g(x)的大小,并给予证明.

【答案】(1)答案见解析

(2)/(x)<g(x),证明见解析

【分析】

(1)先求出/(x)的导函数，再对。分类讨论，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)构造函数F(x)=g(x)-f(x)，求出函数的导函数，再令h(x)=xe*-1,利用导数分析h(x)

的单调性，从而得到函数尸(x)的最值，从而得证.

【详解】(1)因为/(x)=lnx-ox+a,定义域为(0,+s),

所以广。)=,一。=4(%>0)，

XX

当。40时，尸(无)>0,所以“X)的单调递增区间为(0,+功，没有单调递减区间；

当a>0时，令r(x)>0,得0(尤<,；令r(x)<0,解得x>!，

aa

所以/(X)的单调递增区间为，单调递减区间为］：，+8)；

综上，当时，”X)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，“X)的单调递增区间为/J,单调递减区间为.

(2)f(x)<g(x),证明如下:

当a=l时，f(x)=lnx-x+l,Xg(x)=xex-2x,

令F(x)=g(x)—f(x)=xex-Inx-x-l(x>0),

贝F'(x)=xex+ex---l=四(打工一1),

XXv7

令/z(x)=xe'—l,则〃(%)=(%+1)1>0,又/z(O)<O,/z⑴>0,

所以函数以无)在(。,+8)上单调递增，且存在唯一零点c«0,l),使得Mc)=。，

且xe(O,c)时，h(x)<0；X£(c,+oo)时，h(x)>0,

f

即%«0,c)时，F(x)<0;x£(c,+oo)时，F\x)>0,

所以函数网%)在(0,。)上单调递减，在(G+8)上单调递增，

贝(]尸(无)之尸(。)=比°一1口。一。一1,而/1(0)=四'-1=0,即ce'=l,

两边取对数得lnc+c=0,

所以F(x)>F(c)=0,故/(x)<g(x)在(0,+8)上恒成立.

练透核心考点

1.(23-24高二下•重庆铜梁•阶段练习)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(即

曲线的凹凸分界点).设广⑺是函数y=/(x)的导函数，⑺是函数广⑺的导函数，若

方程/"(元)=0有实数解x=x。，并且在点(%,/(%))左右两侧二阶导数符号相反，则称

(%,/(%))为函数y=/⑺的"拐点

(1)经研究发现所有的三次函数/■。)=G3+桁2+5+或0力0)都有"拐点"，且该"拐点"也是函

数y="X)的图象的对称中心.已知函数/(X)=尤3+加_9x+。的图象的对称中心为(-1,10),

讨论函数了。)的单调性并求极值.

(2)已知函数g(x)=2:nx3+[61n(mx)-15]x2+—x--^-+1,其中〃z>0.求g(x)的拐点.

mm

【答案】(1)〃X)在(3,-3),(1,W)上单调递增，在(-3,1)上单调递减,极大值为26,极小

值为-6；

(1)根据题意，由条件结合二阶导数的定义可得/(X)=V+3X2-9X-1,然后求导即可得

到单调区间以及极值；

(2)根据题意，求函数二阶导数可得g〃(x)=12M+l21n(点)-12,然后构造函数转化为零

点问题，即可求解.

【详解】(1)

/,(x)=3x2+2to-9,/"(x)=6x+2人，

由题意得了"(一1)=。，即-6+2》=0,解得6=3,

且/'(-1)=10,BP(-l)3+3x(-l)2+9+a=10,解得a=—l,

故/(%)=%3+3%2-9%-1,

所以,3=3x2+6x-9,

令尸(x)>0得x>l或x<-3,令小)<0得一3<%<1,

故/(X)在(-*-3),(1,+8)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

故/(X)在x=-3处取得极大值，在X=1处取得极小值，

故极大值为/(—3)=—27+27+27—1=26,极小值为/⑴=1+3-9-1=-6；

(2)

185

g(x)=2mx+[61n(mx)-15]x2H----x----^-+1,

mm

由于机>0,mx>0,故丁>0,即g(x)的定义域为(。,+8),

gr(x)=6mx2+6x+2[61n(mx)-15]xd----,

g\x)=12mx+6+12+2[61n(mx)-15]=12mx+121n(mx)-12,

令g"(x)=。得，mx-l+ln(mx)=0,

令Mx)=x+lnx-l,x>0,

则〃'(x)=I+：>0在(0,+8)上恒成立，

故/z(x)=x+lnx-l在(0,+8)上单调递增，

又无(1)=。，由零点存在性定理知，"(%)=%+山%—1有唯一的零点x=l,

故侬:=1,即％=，时，满足侬:-1+ln(侬:)=0,

m

当了=’时，g215185…

版一版+版一版+1=1'

mm

故g(x)的拐点为[\，1]

2.(23-24高二下•宁夏•阶段练习)已知函数/(力=(十-1产—加.

(1)当aWO时，求证：/(^)>-2x2-l；

⑵当a=-L时，函数g(x)=〃x)-xe"+x在(0,+动上的最大值为加，求不超过加的最大整

数.

【答案】⑴证明见解析；

⑵-1.

【分析】(1)令网力=/。)+2犬+1,利用导数证明网力向了0即可;

(2)利用导数求g(x)的最大值，得不超过机的最大整数.

【详解】(1)令P(x)=/(x)+2x2+l=(x—l)e，-加+2犬+1,

则尸，(x)=x(e*—2a+4),

当aWO时，XW(F,0)时，F(x)<0,尸(x)单调递减，

xe(O,+8)时，F(x)>0,尸(x)单调递增,

则尸(力皿=/(°)=°，

所以F(x)20,HP/(X)>-2^2-1.

(2)当<7=—1时，g(x)=/(-X)-xex+X=~&x+Xi+x,

g,(x)=-ev+2x+l,

令7z(x)=-e*+2x+l,贝I]=-e*+2,

当xe(O,ln2)时，〃(x)>0,则函数g'(x)单调递增，

xe(ln2,-H»)0t,〃(x)<0,则函数g'(x)单调递减,

又g'(0)=0,g'⑴=3—e>0,8'(|]=4-”=而-府<0,

所以存在唯一的使55)=0,即e'o=2x0+l,

所以当5e(O,x0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

xe(%o，+co)时，g<x)<0,g(x)单调递减,

・二8(力2=4%)，

x

/.m=g(x0)=-e°++x0=一(2/+l)+x；+x0=%o-%0-l=^x0----

又/所以机£〔一1，一^)'

所以不超过加的最大整数为-1.

类型三：利用二阶导数求参数的范围

典型例题

例题1.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)己知="为自然对数的底数)

(1)求曲线y=/(x)在点(。,〃。))处的切线方程；

⑵求证：当x>0时，恒成立；

x+2

kx

(3)已知左>0,如果当x>0时，/(%)>£恒成立，求上的最大值.

【答案】⑴y=

(2)证明见解析

(3)1

【分析】(1)求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；

(2)将不等式转化为e，>x+l恒成立，构造函数g(x)=e=x-1,x>0,然后求其最小值

即可；

(3)将不等式转化为e'-l-丘>0恒成立，构造函数/<x)=e，-l-尿，然后求导研究其最

值即可.

x

e"e'+l)-e“e'-l)2e

【详解】(1)由已知1(尤)=\JT——-=7——口，

则:(。)=岛4/(o)=^=o,

所以曲线y=/⑺在点(0,/(0))处的切线方程为y=；

(2)——------>1——oe">%+l,

v7x+2ex+lx+2e%+lx+2

设g(x)=e*-x-l,x>0,

则g，(x)=e#-l>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,BPex-x-l>0,

所以当x>0时，/(无)恒成立；

kxp"-1kx

(3)当x>0,左>0时，f(x]>-------0------->--------oe，一1〉"=e"—1一日>0,

')e%+lex+lex+l

令/z(x)=e*—1-Ax,x＞0,贝(x)=e*-左，

令v(x)=e*—3则v'(£)=e，＞。，所以“(x)在(0,+巧上单调递增,

令〃(x)＞0,得x＞lnk,令〃(x)＜0,得x＜ln左，

当In左V0,即0＜发41时，/z(x)在(0,+8)上单调递增，

所以/©)＞刈。)=0,即e，1一履＞0恒成立，

当In左＞0,即％＞1时，可可在(0,19)上单调递减，在(In左,转)上单调递增，

所以“(In左)＜人(0)=0,不符合e，-l-履＞0恒成立，

所以0＜左41,

所以当x＞0时，/(司＞£恒成立，上的最大值为1.

e+1

【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是等价转化为证明e*-1-履＞0在(。,+8)上恒成立,

然后再设新函数，利用导数得到范围.

例题2.(23-24高三下•江西•阶段练习)记函数y=/(x)(xe。)在。上的导函数为y=/'(x),

若/'"(xA。(其中尸(x)=[(⑺]')恒成立，则称y=〃x)在。上具有性质

(1)判断函数y=log〃x(a＞0且awl)在区间(0,+巧上是否具有性质M?并说明理由；

(2)设a,b均为实常数，若奇函数8(切=2/+公2+三在》=1处取得极值，是否存在实数0,

使得y=g(x)在区间[c,+8)上具有性质”？若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说

明理由；

⑶设ZeZ且左＞0,对于任意的x«0,—),不等式1+E/+1＞_L成立,求％的最大值.

XX+1

【答案】⑴不具有，理由见解析

(2)存在，(0,+巧

(3)3

【分析】(1)根据题意，求得了'(X)=：1""(#=/—1,结合新定义，即可求解；

xmaxIna

(2)根据题意，求得g(无)=2d+_|,得至i」g'(x)=6x2-5，进而得到g"(x)=12x+葭，进

而新定义，即可求解；

(3)根据题意，转化为左＜(x+l)1l+ln(x+l)]令/⑴=(x+l)[l+ln(x+l”,求得

XX

F，(x)「7n(；+1)T,令G(x)=x-ln(x+l)-1,利用导数求得函数G(x)的单调性，结合

G(2)<0,G⑶>0,得到存在毛e(2,3),使G(%)=0,结合函数的单调性，求得尸(力的最

小值为尸小)，由G(尤°)=。，得至贝nd+l)=x0—1,求得“x°)e(3,4),即可求解.

【详解】(1)解：4y=/(^)=logfl^,xe(0,-H»),贝Ijr(x)=-^—(尤)=-^-,

xinaxma

-i_i

当0<a<l时，f"(x)=——>0；当<7>1时，/"(x)=——<0,

所以当0<。<1时，函数y=log“x在区间(0,+8)上具有性质M；

当。>1时，函数y=logax在区间(0,+8)上不具有性质M.

AA

(2)解：因为@(%)=2%3+加+_,所以/(%)=6%2+2以---,

因为g(x)在1=1处取得极值，且g(x)为奇函数，

所以g(x)在尸一1处也取得极值，贝二)=6_2a_6=0，解得°=0,6=6，

所以8(%)=2_?+9,可得短(x)=6f-■与，

XX

当x>0时，令g'(x)>0,解得x>l；令g'(x)<0,解得0<彳<1,

故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,抬)上单调递增，满足g(x)在x=l处取得极值，

12

所以g"(x)=12%+12%-=12x+—,

当x«0,E)时，g〃(x)=12x+了>0恒成立，

所以，存在实数C,使得y=g(x)在区间[G+°0)上具有性质以，且C的取值范围是(0,+8).

(3)解：因为xe(O,+s),所以l+ln(x+l)>上,即左<仁见土处必，

Xx+1X

令%)=(x+l)['n(x+l)],则/x)=i『)]

令G(x)=x-ln(x+l)-1,贝|G(x)=l--匚=上，

当xe(0,y)时，G(x)>0,G(x)在区间(0,+巧上单调递增，

又因为G(2)=l-ln3<0,G(3)=2-ln4>0,

所以存在与e(2,3),使G(/)=/_]n(Xo+l)_l=O,

因为当xe(0,1)时，G(x)<0,F'⑺<0,网力在区间(0,X。)上单调递减，

当XW(M，+OO)时，G(尤)>0,厂'(尤)>0,*x)在区间上单调递增，

所以当x£(0,出)时，F(x)的最小值为尸(%)=(%+叩+皿/+川,

%

由G(^)=xo-ln(xo+l)-l=O,有ln(xo+l)=%—l,

所以万小)=(x°+l)["(x°T)Lx0+l,

%0

因为％e(2,3),所以网飞)«3,4),

又因为1<("+1)口：11@+1)]=/0)恒成立,所以左〈尸(%),

因为ZeZ且左>0,所以上的最大值为3.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

练透核心考点

1.(23-24高三下•山东潍坊•阶段练习)己知函数/⑺二"-:必一天.

(1)若Ax)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当。=1时，证明：Vxe(-2,+co),/(%)>sinx.

【答案】(1)[1,+8)

(2)证明见解析

【分析】

(1)求得/■'(x)=ae「x-l,转化为尸(元)20在R上恒成立，进而转化为。上?在R上恒

成立，令〃(x)=*,得出函数以无)的单调性和最大值，即可求解.

(2)当。=1时，得到当尤>o时，只需使得/(x)>l,利用

导数求得Ax)单调递增，得到/。)>/(0)；当x=0时，显然满足当-2<x<0时,

由sinxvO和/(%)>。得至!J/(%)>sinx,即可得证.

【详解】⑴

x

由函数/(x)=ae”-g%2一%,可得f(^x)=ae-x-lf

因为在R上单调递增，可得广(%)2。在R上恒成立,

即ae，-x-l±O在R上恒成立，即。士一^在口上恒成立，

e

令Mx)=*,可得〃(同=匕"=/，

当x>0时，〃(x)<0,4(无)在(0,+s)单调递减；

当x<0时,h'(x)>0,4(x)在(-℃,0)单调递增，

所以当x=0时，函数力⑺取得极大值，最大值〃9)=1,所以421,

即实数。的取值范围为工").

(2)

当。=1时，〃x)=e-gx2-无，可得/(0)=1

可得/'(x)=e*—x—l,要使得f(x)>sinx,只需使得/(x)>l,

当x>0时，令g(x)=r(x)=e*-x-l,可得g[x)=e，-l»0,

所以g(无)在©+◎上单调递增，

又由g(0)=0,所以g(x)>g(x)=o,所以〃x)在(0,+8)上单调递增,

所以/。)>/(0)=1；

当x=0时，可得/(。)=1且sin0=0,所以/(0)>sin0,满足/(x)>l；

11111

当一2<%<0时，可得sinx<0,因为e">0且—x2—x=—(x+1)9-\—>—(—2+1)9H—=0,

所以/(x)>。,所以/(x)>sinx,

综上可得，对于八€(-2,+8),都有f(x)>sinx.

【点睛】

关键点睛：本题考查导数的综合应用，根据函数的单调性求解参数范围以及利用导数证明不

等式，解答的关键是将证明Vxe(-2,+”)时，不等式/(x)>sinx成立，转化为证明

然后分类讨论x的取值范围，结合函数单调性，即可证明结论.

2.(2023•河南•三模)已知函数/(x)=lnx-x+2,e为自然对数的底数.

⑴若此函数的图象与直线x=」交于点P,求该曲线在点P处的切线方程；

e

⑵判断不等式“X)>0的整数解的个数；

⑶当J<e2时，a)/0)《屁2---1,求实数。的取值范围.

X

【答案】⑴y=(e—D%

(2)3

⑶QW1---

e-1

【分析】

(1)根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解；

(2)利用导数考查函数/(x)的单调性，确定零点所在区间即可求解；

(3)变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可

求解.

【详解】(1)=所以「囚=e-l,又/口=1/」+2=1」

x<eJeee

所以该曲线在点尸处的切线方程为:y-1l-5=(e-l)[x-5，即y=(e-l)x

(2)的定义域为(0,+s),r(x)=：-l=T，

当无«o,i)时，r(x)>o,/(X)单调递增;

当xe(l,+8),r(x)<0,/(x)单调递减.

又(£|=-|<0，/(1)=1>0,

/(3)=ln3-l>0,/(4)=ln4-2<0,

所以，不等式/(力>0的整数解的个数为3.

(3)不等式(1+/(尤)-尤e~*—1

可整理为11+4$-"、三--1y+l<0,

卜eyee

令p(x)=-y,0'(x)=L^,

ee

所以当xe(OQ,/(%)>0,p(x)单调递增,

当xe(l,+oo),p,(x)<0,p(x)单调递减,

所以p(龙)Wp(l)=e,又x>ef

x

所以令/=告€(1,田，贝-1-----1--

eInfr-1

令版尤)=」....-(xe(l,e]),

Inxx-1

rI、1111x

贝！]h(X)=-------z-H------z-=-------z-H------z-

x(lnx)2(x-1)2x(Inx)2(x—I)2

2

rr-n

令s(x)=(Inx)2--------(xG(1,e]),

x

21nx-x+—

则，/、21nx1

s(x)=------1+==X

xxx

令4(x)=21nx-x+L(XG(l,e]),

x

则.(尤)="]一/("I/<0,(xe(l,e]),

XXX

所以q(x)单调递减，夕⑺<则=0,

所以丁(九)〈0,s(x)单调递减,5(%)<5(1)=0,

所以(Inx)2<0°(xG(l,e]),

x

LLI1X1X

所以正h\x)=~-------------7<0

X(Inx)2(1)2

所以"(%)单调递减，/z(x)>/i(e)=l--^-

所以4<1-----.

e-1

【点睛】

方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常

化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证

明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

类型四：利用二阶导数证明不等式

典型例题

例题L(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)已知=(e为自然对数的底数)

(1)求曲线y=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程；

⑵求证：当x>0时，/(%)>工；恒成立；

kx

⑶己知人>0,如果当x>0时，〃x)>丁二恒成立，求上的最大值.

e+1

【答案】(i)y=；x

(2)证明见解析

(3)1

【分析】(1)求导，然后利用导数的几何意义求切线方程;

(2)将不等式转化为e*>x+l恒成立，构造函数g(x)=e'-x-1,尤>0,然后求其最小值

即可；

(3)将不等式转化为e，-l-船>0恒成立，构造函数/<x)=e「l-履，然后求导研究其最

值即可.

rxx

e(e'+l)-e(e'-l)2e

【详解】(1)由已知广⑺='J、”——-=-——J，

H+1)…

贝”'⑼=舟!〃。)=皋=。，

所以曲线y=/(x)在点(。"(。))处的切线方程为y=

(2)/(x)——->—->1———<^>ex>x+l

')x+2ex+lx+2ex+lx+2

设g(x)=e*-x-l,x>0,

贝iJg，(x)=e，-l>0,所以g(x)在(0,+⑹上单调递增,

所以g(x)>g(O)=O,即e*-x-l>0,

所以当x>0时，恒成立；

x+2

(3)当x>0,左>0时，/⑴〉"o'——1〉"oe*-l〉fcxoe--1-fcr>0,

J')ex+lex+lex+l

令/z(x)=e"-1-Ax,x>0,则”(x)=e"-左,

令v(x)=e"-左，贝iJM(x)=e'>。，所以〃⑺在(。,+“)上单调递增，

令”(x)>0,得x>ln左，令”(尤)<0,得％vln左，

当Ink40,即0v左<1时，九⑺在(。,+8)上单调递增,

所以"尤)>网0)=0,即e-l—履>0恒成立，

当111左>0,即左>1时，,⑺在(0,In左)上单调递减，在(In玄位)上单调递增，

所以/z(lnZ:)v/i(O)=O,不符合e-1—区>0恒成立，

所以0v左41,

所以当x>0时，/(力>壬恒成立，左的最大值为1.

e+1

［点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是等价转化为证明e*-1-履>0在(。,+8)上恒成立,

然后再设新函数，利用导数得到范围.

例题2.(2024,黑龙江齐齐哈尔,_■模)已知函数/'(x)=alnrH----,aGR.

x

(1)当4=2时，求曲线y=〃x)在点(1,“功处的切线方程；

(2)当x20时，证明：e'ln(x+l)+e-x-cosx>0.

【答案】(1)尤7-1=。

(2)证明见解析

【分析】(1)求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.

(2)求g'(x),运用Inx+^Nl放缩可得g'(x)之e*-eT+sinx,Tg/z(x)=eY-e-'r+sinx,求

导可得“⑺，结合基本不等式可得"(x)20,从而可得g(x)单调性，进而可证得结果.

【详解】(1)解：当。=2时，〃尤)=21nx+T，贝厅⑴=21nl+¥=0,

又尸(x)=2-4=号，所以-⑴:笔匚=1，即左=/■'⑴=1,

XXXL

所以在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,即尤-y-1=0；

(2)证明：设g(x)=e*ln(x+l)+er-cos%(x>0),则g(0)=0,

g[x)=eXln(x+l)H——彳-e~x+sinx,

设“。)=lnx+L则二二二，

XXXX

当无€(。,1)时，〃(X)<O,"(X)单调递减，

当xe(l,+o))时，4(尤)>0,H(x)单调递增，

.-.H(x)>H(l)=lnl+l=l,

lux4—21恒成立，

由lnx+工之1可知ln(%+l)+」■^之1,

所以g'(%)NeX-er+sinx(x>0),

设〃(x)=e"-er+sinx(x>0),则%(0)=0,

"(x)=ex+e-x+cosx>27ex-e-x-1=l>0,

所以当时,h\x)>0,M%)单调递增,^(x)>7z(x)>/i(o)=o,

所