上海市某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试题

上海市曹杨中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知z=2+i（其中i为虚数单位），贝1」工=—.

2.已知y（x）=x4，则/'⑴=---

3.函数y=tan2x的最小正周期为—.

4.已知向量7=（3,4），B=（m,2r且3/区，则加=一

5.已知复数4=l+i，z2=i（其中i为虚数单位），贝七/』=一.

6.若圆柱的轴截面面积为8,则它的侧面积为一.

7.函数〃x）=e，在》=1处的切线方程为-

8.已知圆锥的母线长为4,底面直径4女_4,则沿着侧面从点A到点B的距离最小值是一

71」，则cos2a=

9.已知cos------a

25

10.已知P是边长为2的正六边形尸上或其内部的一点，则后.方的取值范围为.

11.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形45C，将剩余部分绕着直径

AB所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为一

试卷第11页，共33页

c

B

X42a

12.已知关于的不等式I_g+2）—+2a<0恰有两个正整数解，则实数的取值范围

ee

二、单选题

13.已知复数z=（2sina-l）+i。为虚数单位），则“立为纯虚数”是“口毛”的（）・

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.设以〃是两条不同的直线，公户是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）

、•右加〃/〃a，则冽〃〃

B.若机_La,〃_La，则冽〃〃

C.若加〃4加B,贝!）Q〃夕

D.若加_LQ,a_L£,贝！）加||2

15.如图，在直三棱柱Z5C-4Aq的棱所在的直线中，与直线5G为异面直线的条数为

（）

试卷第21页，共33页

A.1B.2C.3D.4

16.已知函数y=/(x)的导函数/■'(x)的图像如图所示，则下列结论中正确的是()

A.函数)=/(x)在区间(33)内有三个零点

B.函数xS-1是函数y=/(x)的一个极值点

C.曲线了=/(尤)在点(2人-2))处的切线斜率小于零

D.函数y=/(x)在区间(-1,1)上是严格减函数

三、解答题

17.已知向量3=(2,1)，b=[-\,m\

(1)若&与B的夹角为135°，求实数机的值；

⑵若),(1-彼)，求向量,在向量'上的投影向量坐标.

18.如图，在正四棱柱48CD-42]G2中，AB=2,AA1=3-

试卷第31页，共33页

(1)求4?与底面ABCD所成角；

(2)求点/到平面吊助的距离.

19.已知V4BC的内角4尻。的对边分别为a,Ac，已知a=3,b=2c-

⑴若』=与，求v的的面积;

(2)右2sin8-sinC=l'求sin/.

20.如图，尸工,平面/8°，N8为圆O的直径，E'尸分别为棱尸c，尸B的中点•

⑴证明：£尸〃平面4BC；

(2)证明：平面j_平面尸/C；

⑶若尸/=/8=4'NC=2，求二面角E-/3-C的大小•

21.解答下列问题：

(1)求函数〃x)=0x>0)的极小值；

试卷第41页，共33页

(2)若feR,函数Mx)=xe*-x为R上严格增函数，求实数，的取值范围;

xe(0,+co),且y=g(x)只有一个极大值点，求实数”的取

(3)已知g(x)=

值范围.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案BBCD

L2-zZ-z+2

【分析】根据已知条件，利用共朝复数的概念，即可求解.

【详解】因z=2+i，所以［=2-「

故答案为：.

z9—1

2.4

【分析】求导代值即可.

3，

【详解】/(X)=4X>,■./(1)=4.

故答案为：4.

3.-

2

【分析】利用告求出最小正周期.

国

【详解】>=tan2x的最小正周期为工.

2

故答案为：-

2

4.|/1.5

【分析】根据向量平行的充要条件列方程即可求解.

【详解】若向量°=(3,4),*=(九2),且7/区，则当且仅当4〃?=2x3n%=L

2

故答案为：--

2

答案第11页，共22页

5-亚

【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.

【详解】匕匹|=1(1+i)i|=|-1+i|=A/(-1)2+1=V2.

故答案为：72-

6-8TT

【分析】设圆柱的底面半径为r，母线为/,由于圆柱的轴截面面积计算即可.

【详解】设圆柱的底面半径为「，母线为/，

由于圆柱的轴截面面积为8,所以2〃=8，

所以它的侧面积为2兀汰=•

故答案为：8兀

7,"y=ex

【分析】先求得导函数及切点坐标，由点斜式方程的求法即可得切线方程.

【详解】/(尤)=e*，当x=1时切点为(1,e)，

且f,{x)=ex，则由导数几何意义可知k=/<l)=e

由点斜式可得>=e(x-l)+e，即昨6工，

故答案为：y=ex-

【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.

8.4万

【分析】将其侧面展开，通过计算得到侧面展开图为半圆，根据图形可得最短距离.

答案第21页，共22页

【详解】考虑圆锥的侧面展开图,

由题意可知圆锥的母线长为4,底面直径为4,则半径

所以底面圆的周长为47r，

所以圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为竺=元的扇形，即半径为4的半圆,

如图所示:

在直角三角形尸45中，AP=BP=4,所以45=40，

所以沿着侧面从点A到点8的距离最小值为4衣.

故答案为：4-72,

07,-0.28

25

【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.

【详解】cos匡-<z]=sina=-3，因此，cos2a=l-2sin2a=-"

UJ525

故答案为：-L

25

10-[-2,6]

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标运算

求解.

答案第31页，共22页

【详解】在正六边形/3CDE尸中，以点A为原点，皿/£所在直线分别为X轴、V轴，建

因为43=2,则/（0,0）,8（2,0），43,6）,0（2,26）,网0,26）,尸（一1,6）,

设P（x,y）,由题意可知，_lWx（3,04y<26，

所以万=（x,y）,刀=（2,0），贝。万.刀=2xe[-2,6]，

故答案为：卜2,6]

11.9

3

【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得

结果.

【详解】由题，VN8c为等腰直角三角形，作CO,45于点0，如图，

则VABC绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥/0和30,

答案第41页，共22页

由半径为2可得圆锥底面圆半径为co=2，圆锥的高为2，

则圆锥"。的体积为匕=1兀念237T=-,

33

43?

半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为匕=2兀断3=丝，

33

因此剩余部分所形成的几何体的体积为忆=匕-2叫.

故答案为：-71.

3

12.卜3

LeeJ

【分析】令f=〃x）=W，利用导数求出函数〃无）的单调区间，则不等式变为关于’的不

等式‘2_（。+2），+2。<0,再分a=2,a>2和a<2三种情况讨论，结合函数/⑺=1的

单调性即可得出答案.

【详解】令:〃x）=g则/，（6=竺立

ee

,

当x<0或x>2时，/（x）<0>当0<x<2时，/<x）>0，

所以函数〃x）在（-oo,0）和（2,+00）上递减，在（0,2）上递增，

4

/（0）=0,/（2）=-,

当xf-8时，/（Mf+s，当Xf+co时，〃x）-0，

答案第51页，共22页

不等式变为关于t的不等式/_S+2)/+2a<0，

若〃则不等式无解，

CI一乙

>22</<(7口门Y2

若时，则mtl，即2<上<4，

ex

此时x<°，与题意矛盾，

什〃<2q^,a<t<2口口X2

若时，则，即。<上<2，

ex

因为"为正整数，且当时，r<1,

eAe2

2

所以上<2恒成立，

ex

X2

则关于的不等式°<上恰有两个正整数解，

ex

由函数==在(2，+°°)上递减，在(°，2)上递增，

1/(1)=1,/(3)=4>/(1),/(4)=^</(1),

eee

可得/(l)Wa</(3)，

即ae—-

_ee；

故答案为：口当］.

_eeJ

【点睛】本题考查了利用导数解决不等式问题，考查了分类讨论思想和转化思想，有一定

的难度.

答案第61页，共22页

13.B

【分析】由复数z=（2sinaT）+i为纯虚数，求出］，判断即可.

【详解】复数2=（2而._1）+1为纯虚数，则Zsincz-」。，

元57r

解得a=—+2左，kA,或a=——+2尤左N，

66

Z__jr冗Z

所以若为纯虚数不一定得到a=工，但是由a=乙一定能得到为纯虚数，

66

ZJT.

故“为纯虚数”是“a=工”的必要非充分条件，

6

故选：B

14.B

【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD,由线面垂直的性质可得B正确.

【详解】在正方体/BCD_瓦七”中，记底面NBC。为a，斯为加，EH为n,显然A不正

确；记底面/BCD为a,EF为m,平面CD8G为尸，故排除C；记底面48co为a,BF

为”,平面N瓦石为「，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.

故选：B

15.C

【分析】根据异面直线的概念分析即可求出所有符合条件的棱，进而得到结果.

答案第71页，共22页

【详解】与直线3G成异面直线的有44，/c,/4,共3条，

故选：c.

16.D

【分析】根据导函数的图象，可判断原函数的单调性，进而可逐一求解.

【详解】/(x)在(_3，-2)单调递增，在(一2,3)单调递减，故/(x)在区间(-3,3)内至多有两

个零点，A错误；

在x=-1的左右两侧/<x)<0，故x=-l不是极值点，故B错误；

根据广⑴图像可知/(-2)=0,故歹=/(x)在点(-2)(-2))处的切线斜率等于零，C错误；

/'(x)<0在3T，1J恒成立，故/(X)在区间(-1,1)上是严格减函数，故D正确.

故选：D

-31

17.(1)或2；

17

(2)(----,—).

'八1010

【分析】(1)根据数量积的定义和坐标运算即可求得加；

(2)根据21@_为求得加=7,再根据投影向量的定义即可求得.

［详解］(1)因为万=(2，1)3=(-1,机)，则)石=优_2,问=石，W=Jl+7〃2,

若£与否的夹角为135。，则由方Z=问回cosl35。，

可得：二-2=6xJ1+*x(一耳(m<2)，解的："'二-3或用=；,

2

答案第81页，共22页

mi

则实数的取值为或(

(2)a-b=(3,l-m)'因为］则展①一均=2x3+l_，〃=0，

则机=7,可得：［(-1,7),限17-2=5,归卜历7=50,

ab17

则在方向上的投影向量为：甲而(一历'而).

3

18.(1)arctan-

(2)£H

11

【分析】(1)由线面角的定义可知/4加即为所求，在R〃42/中利用三角函数进行求解•

(2)在三棱锥4一/AD中，利用等体积法求点/到平面480的距离.

【详解】(1)由题意得，4台与底面N2C。所成角为4⑸，在"4A4中，

...AA,3...3

tanN4B4———，BA—arctan一,

1AB212

故4,与底面ABCD所成角为arctan^.

(2),••四棱柱ABCD-/画CQi为正四棱柱，

:.AB=AD=2，

227

A.B=AXD=A/2+3=413'BD=7F+2=272'

答案第91页，共22页

设点/到平面A'BD的距离为d,则？S△*D・N4=；•S，加M，

即12・2・3=1・2亚力13-2",解得：，

22”11

所以点N到平面吊助的距离为£11.

11

19.(1)9.

14

⑵4A/2+#)或4A/2—Vs

~99~

【分析】(1)利用余弦定理解得02的值，代入三角形面积公式即可的结果.

(2)由正弦定理得至IJsin8,sinC的关系，解出sinB,sinC的值，分类讨论角B是否为锐角,

利用和差角公式计算出n的值.

【详解】(1)cosA=b——=--

2bc2

•Y

*"7'

1

•*,SABC^—bcsmA=csin^4=—x=22/2.

“BC27214

(2)b=2c'由正弦定理可得sin8=2sinC

..2sin5-sinC=1..1.2

•,・・sinC=§,sin

•：b=2c，B可能为锐角可能为钝角，C为锐角，

答案第101页,共22页

cosC=^/1-sin2C=2走

3

当8为锐角，3於仆0=/

1V52A/224V2+V5

sinA=sin^sifir(C+^)]§in顺升5)eosfinB+CB=—X---1----X—=-----

33339

当“为钝角，cos5=-Vl-sm^=-^

C八"—

sin/=si坤sin-(C+5)]§in皆叶B)8sfinB+

33339

・・・sinZ=4亚+26或4H店

99

20.（1）证明见解析

（2）证明见解析

⑶3号

【分析】（1）利用中位线定理得到.//5C，利用线面平行的判定定理即可得证;

（2）由/B为圆0的直径，得到8c_L/C,再利用线面垂直得到2C_LP4从而2C_L平面

尸/C,结合（1）中斯/A8C,所以所_L平面尸/C,得到面面垂直.

（3）构建空间直角坐标系，根据空间向量求解二面角大小.

【详解】（1）因为£,尸分别为棱尸°pg的中点，所以E尸//BC，

因为跖（Z平面4BC,BCu平面/3C，

所以EF〃平面48C;

（2）因为为圆O的直径，所以8CL/C,

答案第111页，共22页

因为平面/8C,8Cu平面/8C,所以8C_LP4

又上4nze=4，尸4/Cu平面尸NC,所以BC_L平面尸/C,

由(1)知M/ABC,所以斯_L平面PNC,又£Fu平面EE4,

所以平面瓦加，平面上4c

(3)

以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系,

因为尸4=48=4'AC=2,

所以4(0,0,0),8(0,4,0),尸(o,o,",C(->/3,l,0)

℃中点石即为丁在12〕，

I2,2,)

设面及LB的法向量为)=(x/,z),

n.•AE=0—V3x+>+4z=0

则兀方=0'可得'

J二°

令x=4,则y=0,z=G,nx=(4,0,@,

答案第121页，共22页

又面48c的法向量可表示为元=(o,o,i)

（4,0,@.（0,0,1）_炳

〃，〃2=

COS1V19xl-19

__1工E—A.B—C,,_>,Js7

—^7面77T角的大小为arccos----,

19

2

21.⑴。

4

(2)(-00,--y]；

e~

23

(3)(-oo,—e]o{—e}-

【分析】(1)利用导数求解即可；

(2)由题意可知〃(x)=(x+l)eX-f20在R上恒成立，即+在R上恒成立，设

^(x)=(x+l)ex,xeR,利用导数求出函数R(x)的最小值即可；

(3)求导得g，3="Z勺誓二£2,XeS0,Sco®，分加一eV0恒成立，及

"?-e、=0有两实数根，分别求解即可•

【详解】⑴因为〃x)4(x>0)，所以/，(司=弟1，

所以当xe(0,2)时，/'fx®yO,/(x)单调递减；

当xe(2,+8)时，/ix®®0,〃x)单调递增，

答案第131页，共22页

—0行2

所以当r时，函数取得极小值为〃2)=:，

所以函数的极小值为

4

(2)因为函数〃口)=心一及为R上严格增函数，

所以〃'(％)=(x+l)e“T20在R上恒成立，

即ZW(x+l)ex在R上恒成立，

设夕(x)=(x+l)ex,xeR，

则(p'(x)=(x+2)ex，

当x£(-oo,-2)时，9曾xjOO,9宵xj单调递减;

当代(—2,+00)时，(p'M®0,9仙J单调递增;

所以8(X)min=8(一2)=-1，

e

所以14--y'