上海市民办某中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上海市闵行区上宝中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）如果无：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=§B.C.JL=XD.2^=1

y3y32y3y+14

2.（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得A、8两地间的图上距离为5c7",则A、8两地间的实际距离

为（）

A.10/71B.25mC.100机D.10000机

3.（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4,则它们的最长边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.无法确定

4.（4分）如图，已知抛物线y=/+b尤+c的对称轴为直线x=2,点A,8均在抛物线上，且与无轴平

5.（4分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

B.2娓C.D.近

5105

6.（4分）如图，在菱形4BCZ）中，AB^AC,点、E、下分别为边AB、BC上的点，且连接CE、

4斤交于点打，连接。打交AC于点。，则下列结论：①AAB餐ACAE；②NFHC=NB；③八AEHs

ADAH；®AE-AD=AH-AF；其中正确的结论个数是（）

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）cos30°=.

8.（4分）把长度为4c%的线段进行黄金分割，则较长线段的长是cm.

9.（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是.

10.（4分）如果抛物线y=Cm-1）j?+2mx+\的图象开口向下，那么机的取值范围是.

11.（4分）将二次函数y=-2/的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式

为.

12.（4分）二次函数y=a/+a+c中，函数y与自变量尤的部分对应值如表，则机的值为.

X-2-101234

y72-1-2m27

13.（4分）在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=a,AB=2,那么BC=.（结果用a的锐角

三角函数表示）

14.（4分）如图，点£＞、£、下分别是△ABC三边的中点，那么与而相等的向量是

15.（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=Vx2+bx+c与无轴交于点A（一%0）和点8,与

y轴交于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P

作PGL无轴，垂足为点G,PG与直线AC交于点H.如果PH=AH,则点P的坐标

是

16.（4分）如图，在回A8C。中，点尸在边A。上，AF=2FD,直线与对角线AC相交于点E,交CD

的延长线于点G,如果BE=2,那么EG的长是

17.（4分）如图，已知在四边形ABC。中，ZADC=90°,A8=A。，点E、P分别在线段8、AD±.如

>AELBF,型上，那么cot/ABZ）=

AE3

18.（4分）如图，已知在矩形ABC。中，连接AC,cot/ABD萼，将矩形ABC。绕点C旋转，使点2

4

恰好落在对角线AC上的点B处，点A、D分别落在点A'、D'处，边A'B'、A'C分别与边A。

交于点M、N,MN-AM=5,那么线段MN的长为

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（10分）计算：yj（l-cot300~r^-2sin450+（cos450+----4---7=--

tan60-V2

20.（10分）如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、相交于点O,BC=2AD,OD=1.

（1）求8。的长:

一.—•.—•—♦—♦.

(2)如果AB=a，BC=b，试用a、b表示向量0B.

21.(10分)如图所示，BA和CD表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，即

图中AC大于等于CD,小明想测量一下他家所著48楼与前面C。楼是否符合规定，于是他在AC间的

点M处架了测角仪，测得楼顶。的仰角为45°,已知AM=4米，测角仪距地面MN=L5米.

(1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；

(2)为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里(点P处)，用测角仪再次测得8楼顶。的仰角为a,

如果AP=7.5米，sina=0.6,请你来计算一下C。楼的高度.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-/+6x+c过点A(2,2)、点2(0,2),

顶点为点C,抛物线"的对称轴交x轴于点D

(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点尸在x轴上，当△AOP与△AC。相似时，求点P坐标.

午

1-

II____________III»

01x

23.(12分)已知：如图，在梯形A3CD中，AD//BC,ABLBC,点M在边3C上，S.ZMDB=ZADB,

BD1=AD'BC.

(1)求证：BM=CM；

(2)BELDM,垂足为点E,并交于点?求证：2AD・DM=DF・DC.

AD

24.(12分)已知，如图，抛物线y=」？+灰+。与％轴正半轴交于A、5两点，与y轴交于点C,直线y

4

=X-2经过A、C两点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)尸为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点。落在y轴上，求P点坐标；

(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x-弓，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点.

①求：MN的长度；

②结合(2)的条件，直接写出△QMN的周长的最小值.

备用图

25.(14分)如图，已知正方形ABC。，点”是边8C上的一个动点(不与点8、C重合)，点E在。H上,

满足延长BE交C。于点?

(2)点M、N分别是边48、的中点，已知点尸在线段MN上，连结AP、BP,此时NAPB=90°,

求：cotZABP；

(3)连结CE.如果△CE尸是以CE为腰的等腰三角形，求/FBC的正切值.

2024-2025学年上海市闵行区上宝中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）如果x：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=9B.C.工”D.更=3

y3y32y3y+14

【分析】根据比例的基本性质，可分别设出无和y,分别代入各选项进行计算即可得出结果.

【解答】解：设尤=2匕y=3日通过代入计算，

进行约分，A,B,C都正确；

。不能实现约分，故错误.

故选：D.

【点评】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几

个量用所设的未知数表示出来，实现约分.

2.（4分）在比例尺为1：2000的地图上测得A、2两地间的图上距离为5c〃z,则A、2两地间的实际距离

为（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

【分析】设A、8两地间的实际距离为X%,根据比例线段得二—=」—，然后解方程即可.

2000x-100

【解答】解：设A、8两地间的实际距离为xm,

根据题意得'

2000x-100

解得x=100.

所以A、B两地间的实际距离为100〃z.

故选：C.

【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段八6、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）

与另两条线段的比相等，如a：b=c：1（即ad=6c）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线

段.

3.（4分）若两个相似三角形的面积之比为1：4,则它们的最长边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.无法确定

【分析】根据相似三角形的性质求出答案即可.

【解答】解：：两个相似三角形的面积之比为1：4,

它们的最长边的比是1：2,

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解此题的关

键.

4.（4分）如图，已知抛物线y=/+6无+c的对称轴为直线x=2,点A,B均在抛物线上，且A8与x轴平

【分析】已知抛物线的对称轴为直线x=2,知道A的坐标为（0,3）,由函数的对称性知8点坐标.

【解答】解：由题意可知抛物线的y=/+6x+c的对称轴为直线尤=2,

:点A的坐标为（0,3）,且AB与x轴平行，

可知A、8两点为对称点，

.•.B点坐标为（4,3）

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的对称性.

5.（4分）如图所示，AABC的顶点是正方形网格的格点，则siivl的值为（）

B.2娓.C.D.遮

A-2

5105

【分析】直接连接。C,得出。LAB,再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案

【解答】解：连接。C,

由网格可得：CDLAB,

则DC=M，AC=JT5，

故sinA=匹_:=心•

ACV105

【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键.

6.（4分）如图，在菱形4BCZ）中，AB^AC,点、E、下分别为边AB、2C上的点，且连接CE、

AF交于点、H,连接。“交AC于点O,则下列结论：①②/FHC=/B；③△AE"s

△DAH；@AE'AD=AH-AF；其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由菱形A8CD中，AB=AC,易证得△ABC是等边三角形，则可得/B=NE4C=60°,由SAS

即可证得△AB尸也△CAE,可得/BAF=/ACE,EC=AF,由外角性质可得/FHC=N8,可判断①②，

由点A,H,C,D四点共圆，可得/AH£）=NAC£）=60°,/ACH=/ADH=NBAF,可证

△可判断③，通过证明S可得包且，可判断④，即可

DAH,△AE//ZXC£A,AE-AD^AH'AF,

ECAC

求解.

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

'：AB=AC,

：.AB=BC=AC,

即△ABC是等边三角形，

同理：△AOC是等边三角形

.•.NB=NEAC=60°,

在和△CAE中,

，BF=AE

，ZB=ZEAC>

AB=AC

AAABF^ACAE（SAS）；

ZBAF=AACE,EC=AF,

,：ZFHC=ZACE+ZFAC^ZBAF+ZFAC^ZBAC=60°,

ZFHC=ZB,

故①正确，②正确；

VZAHC+ZADC=120°+60°=180°,

...点A,H,C,。四点共圆，

ZAHD=ZACD=60°,ZACH=ZADH=ZBAF,

：./AHD=NFHC=NAHE=60°,

:.AAEHsADAH,故③正确；

NACE=ZBAF,NAEH=ZAEC,

：.AAEHsACEA,

•••-A-E~-A-H-,

ECAC

：.AE'AC=AH-EC,

：.AE'AD=AH'AF,

故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形

的判定与性质.此题难度较大，注意数形结合思想的应用.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）cos30°=.

—2—

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【解答】解：cos30。=返.

_2

故答案为：叵.

2

【点评】考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单.

8.（4分）把长度为4c的线段进行黄金分割，则较长线段的长是（275-2）cm.

【分析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=1二1义4,然后进行二次根式的运算即可.

2

【解答】解：较长线段的长=逅二1义4=（275-2）cm.

2

故答案为（K石-2）.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段A8分成两条线段AC和8c（AOBC）,且使AC是A8和

的比例中项（即AB：AC^AC：BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其

1

中AC=V^-AB^0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.

2

9.（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是1：4.

【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答.

【解答】解：•••两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,

那么它们的周长之比是1：4.

故答案为：1：4.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等

于相似比.

10.（4分）如果抛物线y=（加-1）/+2/nx+l的图象开口向下，那么加的取值范围是m<l.

【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数机-1<0,然后解一元一次不等

式即可求出机的取值范围.

【解答】解：•••抛物线丫=（m-I）/+2〃优+1的图象开口向下，

：・m-1V0,

解得：m<l.

故答案为：m<l.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解

题的基础.

11.（4分）将二次函数y=-2?的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y

=-2G--1）2-2.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论.

【解答】解：二次函数y=-2/的图象向右平移1个单位，再向下平移2单位后，所得二次函数的解

析式为y=-2（x-1）2-2.

故答案为：y=-2（x-1）2-2.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知”上加下减，左加右减”的法则是解答此题的

关键.

12.（4分）二次函数y=（1，+6尤+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则一的值为-1.

尤-2-101234

y72-1-2m27

【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解.

【解答】解：把点（-2,7）（-1,2）,（0,-1）代入y="+c,得：

a-b+c=2

<c=_l，

4a-2b+c=7

解得：<b=-2，

c=­l

二次函数的解析式为尸/-2厂1,

当x=2时，y—m—21-2X2-1=-1.

故答案为：-L

【点评】本题主要考查了求二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求

出二次函数的解析式的方法是解题的关键.

13.（4分）在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=a,AB=2,那么BC=2cosa.（结果用a的锐角三角

函数表示）

【分析】根据余弦的定义可得BC=AB-cosB=2cosa.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,NB=a,AB=2,

cosB=^-,

AB

.,.BC=AB*cosB=2cosa.

故答案为：2cosa.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键.

14.（4分）如图，点。、E、尸分别是AABC三边的中点，那么与布相等的向量是—而和近一

【分析】由点。、E、尸分别是aABC三边的中点，根据三角形中位线的性质，即可得。尸〃AC,DF=

CE=EA=1CA,从而可得与正相等的向量.

2

【解答】解：B分别是BC、BA的中点,

尸是△ABC的中位线，

：.DF//AC,DF=CE=EA=^CA,

2

故与正相等的向量是诬和通.

故答案为：诬和正.

【点评】本题考查了向量及三角形的中位线定理，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位

线的性质及向量相等的含义.

15.（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=Vx2+bx+c与x轴交于点&-%0）和点3,与

y轴交于点C（0,3）,抛物线的对称轴与无轴交于点D点尸是直线AC上方抛物线上一点，过点尸

作尸轴，垂足为点G,PG与直线AC交于点如果尸8=AH则点尸的坐标是（/，生）.

【分析】用待定系数法可得y=-^x2'x+3,由A（-4,0）,C（0,3）可得直线AC解析式为y/_x+3,

444

AcWoA^C^B,设P（m，4m2券毗3），可得PH=-^m2-3ir由△AHGSAAC。，可得

444

AH=^-m+5,故即可解得尸点坐标，

444

【解答】解：把A(-4,0),C(0,3)代入y=_^x2+bx+c得:

-12-4b+c=0

c=3

b=

解得4,

c=3

如图:

设直线AC解析式为y=px+q,由A(-4,0),C(0,3)可得:

f-4p+q=0

IQ=3，

解得(PR,

q=3

...直线AC解析式为y4x+3，

AC=VoA2-H3C2=5*

设P(m,-^m+3),则

444

,,PH=(-T-in2^7-m+3)-谆m+3)=~^-iu2-3n,HG^-m+3，

44444

,：ZHAG=ZCAO,ZAGH=9Q°=ZAOC,

：.AAHG^AACO,

•••A--Hz:---G-H,

AC0C

3c

-rm+3

即A胆U，一，

53

；•AH-rm+5'

4

'：PH=AH,

.32.5”

,,—rm-3m=vm+5,

44

解得m=R或机=-4(与A重合，舍去)，

3

・“514、

••P(工，

oo

故答案为：(至，生).

、337

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的综合应用，涉及待

定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理.

16.（4分）如图，在回ABC。中，点尸在边上，AF=2FD,直线8尸与对角线AC相交于点E,交CD

的延长线于点G,如果BE=2,那么EG的长是3.

G

【分析】由平行四边形的性质得AD//BC,AD=BC,再证求出EF的长，然后证△

GFDs^GBC,求出GF的长，即可解决问题.

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AF^2FD,

:.AF^2LAD=2.BC,Z)F=AAD=ABC,

3333

,JAD//BC,

•••E-F_-A-F_2,

EBBC3

:.EF=2LEB=二义2=生,

333

'：AD//BC,

:AGFDs^GBC,

•-•GF_DF_—1—,

GBCB3

解得：GP=§,

3

EG=EF+GF=9+5=3,

33

故答案为：3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和相

似三角形的性质，求出EF和GF的长是解题的关键.

17.（4分）如图，己知在四边形ABC。中，ZADC=90°,点£、尸分别在线段C£>、AD±.如

>AE±BF,型上，那么cot/AB£）=.

AE3-2一

【分析】过8作BG_LA。于G,交AE于点H,证明△BGps△人。£,即可得地图1上，设BG=2f,

ADAE3

则AB=AD=3t,由勾股定理可得AG=VAB2-BG2=而t，最后求出cot/ARD的值即可.

【解答】解：如图，过B作8GLAO于G,交AE于点8,

VBG±AD,AELBF,

：.ZBOA^ZBGA^90°,

,：ZBHO^ZAHG,

：.ZGBF=ZDAE,

又；NBGF=/ADE.

.•.△BGF^AADE.

•BGBF2

,•而加而，

设BG=2r,则AB=AD=3f,

AG=VAB2-BG2=7(3t)2-(2t)2=V5t，

，

•.DG=AD-AG=(3-V5)tJ

U：AB=AD.

：.ZABD=ZADB,

•・."ABD，cotNADB辟⑶然工3嗜.

DvNtN

故答案为：

2

【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关

键是作辅助线，构造相似三角形解决问题.

18.(4分)如图，已知在矩形A8C。中，连接AC,cot/ABD/，将矩形ABC。绕点C旋转，使点8

4

恰好落在对角线AC上的点次处，点4、。分别落在点A'、D'处，边A'B'、A'C分别与边

交于点M、N,MN-AM=5,那么线段MN的长为15

【分析】连接8。，作A'EL4D于E,设A8=CZ)=3x,AO=BC=4x,贝"AC=5x,由旋转的性质可

得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,ZA'B'C=ZABC=90°,证明△8'AM^/\DAC,得出

由勾股定理得出B，J(=—»推出£H=—＞证明△AA"'sME,求出A，g=—，

44x4x5X

得到DE」^，证明ENsACDN,得出EN《DE嗡x，求出MN卷x，结合MN-

AM=5得到关于x的方程，求出尤的值即可得解.

【解答】解：如图，连接BD,作A'£，4。于£,

:四边形ABC。为矩形,

AZBAD=ZADC=ZABC=90°,AB=CD,AD=BC,

・•・cot/ABD嗡4，

・••设AB=3x,AD=4x,

.'.AB=CD=3x,AD—BC=4x,

；•AC=VAB2+BC2=5X，

由旋转的性质可得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,ZA'B'C=/A2C=90°,

：.AB'=AC-B'C=x,ZAB'M=180°-NA'B'C=90°,

'：ZB'AM^ZDAC,

:.AB'AM^^XDAC,

-AM_AC_5x_5,

•'AB，=ADWT

•5

,,AM=vx,

4

•••B，M=VAM2-ABy2=TX)

4

.Q

••A，M=A/B，-Bz—x，

4

VA,E±AD,

：.ZA'EM=ZAB'M=90°,

VZAMB'=NA'ME,

：.AAMB's匕NME,

5_

.AM二AB，尸M尸=5

‘'A'M=A'E=ME=93'

7X

*E《x,ME喑

•■•DE=AD-AM-ME-^>

VZA7EN=ZCDN=90°,ZA'NE=ZCND,

.♦.△A'ENsMDN,

.CD=DN=3x=5

"A7E=EN"?-'3,

Tx

MN=ME+EN=777xxx'

9

：MN-AM=5f

•755

’.瓦x?=5r

...x=8,

MN-^-X8=15>

故答案为：15.

【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

题的关键.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（10分）计算：｛（l-cot30°~）^-2sin45°+（cos45°）。+1

tan60°-V2

【分析】先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可.

【解答】解：原式E-2x4+1+「二

2V3-V2

=(V3-D-V2+1W3W2

=^/3-l-V2+l+V3+V2

=0.

【点评】本题考查了实数的运算，零指数幕，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键.

20.（10分）如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、BD相交于点O,BC=2AD,OD=1.

（1）求8。的长:

一......_.

(2)如果AB=a，BC=b)试用a、b表示向量0B.

【分析】（1）由题意可得△AOOS2\COB,则毁誓虹即可得OB=2,根据BD=OB+OD

OBBC2AD2

可得答案.

（2）由题意得，AD=—则DB=AB-AD=；」［，由（1）知，进而可得答案.

223

【解答】解：（1）,：AD//BC,

J.ZDAO^ZBCO,ZADO^ZCBO,

：.△AODs/\cOB,

-0D=AD=AD=1

"OB=BC"2AD"2

OB=2,

；.BD=0B+0D=3.

(2)VBC=b-BC^2AD,

；.标=与，

2

DB=AB-AD=a，"b，

由(1)知，0B=—£)g,

3

•不=2尸2f1-*

•,Ub-w(a-^b)一百aFb・

o/oo

【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性

质是解答本题的关键.

21.（10分）如图所示，8A和CD表示前后两幢楼，按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度，即

图中AC大于等于CD小明想测量一下他家所著A8楼与前面C。楼是否符合规定，于是他在AC间的

点〃处架了测角仪，测得C。楼顶〃的仰角为45°,已知AM=4米，测角仪距地面MN=1.5米.

（1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；

（2）为了知道前面CD楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶。的仰角为a,

如果AP=7.5米，sina=0.6,请你来计算一下CD楼的高度.

【分析】（1）过点N作NGLDC于点G,在RtADNG中,由ZDNG=45°得到NG=DG,比较AM+NG

与DG+GC即可；

（2）延长。P,GN交于H,由sina=0.6,可得tana=旦，由正切函数可求得上",设NG=DG=x,则

4

HG—8+4+X—12+X,tana=Ui,列方程可求得结论.

HG

【解答】解：（1）过点N作NGLOC于点G,

在RtZvDNG中，YNDNG=45°

：.NG=DG,

'：AC=AM+NG,DC=DG+GC,AM^4m,MN=L5m,

AODC,

.♦.两楼的间距符合规定；

(2)延长。尸，GN交手H,

则N”=a,PJ=AP-MN=1.5m-1.5/7?=6m,

•sina=0.6,

••+•ta.n_ct—3—f

4

HJ———=8m,

tanCI

设NG=DG=x,则HG=8+4+x=12+x,

*.*tana=-5^-,

HG

•••3---_------x---,

412+x

解得+x=36,即DG=36m,

AZ）C=Z）G+GC=36+1.5=37.5（米），

••.CZ）楼的高度为37.5米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解答本题的关键是

根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-f+bx+c过点A(2,2)、点8(0,2),

顶点为点C,抛物线〃的对称轴交x轴于点D

(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点尸在无轴上，当△AO尸与△AC。相似时，求点P坐标.

1-

1——।——

0------1x

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)当时，则史❷，即史上且，即可求解；当△OAPs/^c/M时，同理可解.

CDCA3V2

【解答】解:(1)由题意得：

(c=2

1-4+2b+c=2

解得:(b=2,

Ic=2

...抛物线的表达式为＞=-/+2x+2,

-，+2x+2=-(x-1)2+3,

顶点C(1,3)；

(2)由(1)知，y=-/+2x+2=-(x-1)2+3,

又；抛物线M的对称轴交了轴于点。，如图，

点。(1,0),

VA(2,2)、B(0,2),C(1,3),D(1,0),

AC=V(2-l)2+(2-3)2=V2)CD=3,^=7(2-l)2+22=V5>0A=V22+22=2>/2)^AOD

=ZDCA=45°,

又AAOP与△AC。相似,

.,.点。与点C对应，

分两种情况讨论：

当△OAPS^CA。时，

则空旦L,即近_金@_,

CDCA3V2

解得：OP=6,

即点尸(6,0)；

当△OAPs/^cD4时，

则点p仔，0),

综上，点P的坐标为4，0)或(6,0).

3

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质,

相似三角形的判定性质等知识，熟练运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键.

23.(12分)已知：如图，在梯形ABC。中，AD//BC,A2_LBC,点M在边BC上，且/MDB=NADB,

BD1=AD'BC.

(1)求证：BM=CM；

(2)作垂足为点E,并交。于点尸.求证：2AD・DM=DF・DC.

【分析】(1)首先证明BM=DM,再根据已知条件证明△AOBS/VJBC,由相似的性质可得N3OC=

ZA=90°,进而证明。M=CM,所以

(2)由(1)可知M是BC的中点，所以。M是三角形BOC斜边上的中线，由直角三角形的性质可知

BC=2DM,证明RtZ\Z)EBsRtZ\£)2C可得毁所以尸。C,又因为所以

DFBD

B®=AD，BC=AD，(2DM)=2AD・DM.

【解答】证明：(1)'JAD//BC,AB±BC,/MDB=/ADB,

:.NADB=NDBC=NMDB,ZA=90°,

:.BM=DM,

5L'：BD-^AD'BC,即匹L=^_,

BDBC

AADB^/\DBC,

：.ZBDC=ZA=90°,

：.ZC=ZMDC=90°-ZDBC,

：.DM=CM,

:.BM=CM,

(2)VZMDC+ZDFB^90°,

：.ZDFB=ZDBC,

：.RtADFB^RtADBC,

•••BD二DC,，

DFBD

：.DF'DC=BD2

,:B0=AD*BC=AD。(2DM)=2AD・DM,

：.2AD'DM^DF'DC.

【点评】本题考查了梯形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的证明，题

目的综合性很强，难度不小.

24.(12分)己知，如图，抛物线y=一乎2+以+<:与x轴正半轴交于A、3两点，与y轴交于点C,直线y

=x-2经过A、C两点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)尸为抛物线上一点，若点P关于直线AC的对称点。落在y轴上，求P点坐标;

(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x-旦，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点.

4

①求：的长度；

②结合(2)的条件，直接写出△QMN的周长的最小值」后±2如

【分析】(1)求出A,C点的坐标，再将点坐标代入y=」f+bx+c,即可得解；

4

(2)先求出/。。4=45°,再由对称性可知尸C_Ly轴，即可求出点尸的纵坐标，最后利用二次函数的

解析式求出结果；

(3)①先求出平移后的抛物线，再利用工■(x-m)2+m-H-=x-2,得出xi+尤2=2”？-4,x\'xi=nr

44

-4m+3,最后利用两点间的距离公式求解即可；

②作KQLMN,连接MK,MP,先求出KM+M尸的最小值，即KP的长，最后根据△QMN的周长的最

小值，即KQ+KP,得解.

【解答】解：(1)在y=x-2中，令y=0,得冗=2,令兀=0,得y=-2,

・・・A(2,0),C(0,-2)；

抛物线y='/+法+c与x轴正半轴交于A、8两点，与y轴交于点C,将A,C点坐标代入得：

4

(1

《■X4+2b+c=0

<4，

c=-2

解得fb》=2l，

c=-2

抛物线的解析式为：y=」2+工一2；

42

(2)如图,

/.ZOCA=45°,

,/点尸关于AC的对称点。在y轴上，

：.ZOCA=ZPCA=45°,

轴，

.•.点尸的纵坐标为-2,

令，2+&-2=-2,

42

解得％=6或x=0(舍去)，

：.P(6,-2)；

(3)①设平移后的抛物线的顶点为(m,

4

••・平移后的抛物线的解析式为：j=-1(x-/«)2+m-11,

’44

令(x-5)2+»7,-AX=x-2,

44

整理得W+(4-2m)x+m2-4m+3=0,

设Af(xi,yi),N(x2f”)，

/.xi+x2=2m-4,-4m+3,

222

MN=J(X]-X.)2+一y.)2=^(X1-X2)+(X1-2-X2+2)=^2(x1-x2)-8x1x2=

2V2.

MN的长度为2如;

②如图，作KQ〃脑V,并令KQ=MN,连接MK,MP,由题可知，P(6,-2),。(0,4),KQ=MN

=2料，则只需要求QM+QV的最小值即可.

：.KM=QN即KM+MP的最小值，即KP的长，

：.K(-2,2),

；.KP=4后，

...△QWN的周长的最小值为4/5+2V2.

故答案为：475+272.

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求

函数解析式，掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键.

25.(14分)如图，已知正方形ABC。，点X是边2C上的一个动点(不与点2、C重合)，点E在。X上,

满足AE=A8,延长BE交C。于点尺

(2)点M、N分别是边AB、AD的中点，已知点尸在线段上，连结AP、BP,此时NAPB=90°,

求：cotAABP；

(3)连结CE.如果△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求NEBC的正切值.

【分析】(1)由正方形的性质得ZBAD^9Q°,AE^AD=AB,所以Z

A£r>=NADE,贝I]2/AEB