安徽省A10联盟2025届高三上学期11月段考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2025届高三上学期11月段考数学试卷第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，则.故选：D2.若，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意得，，故复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故选：.3.已知空间向量，，若，则（）A. B. C.32 D.【答案】D【解析】由可得，解得，则.故选：.4.若，则（）A. B.1 C. D.或【答案】C【解析】由题意得，，则.故选:.5.“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：.6.在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）A. B.C D.【答案】B【解析】设的内角所对的边分别为，因为，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以顶点为费马点，故点到各顶点的距离之和为，故选：.7.已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】作出图像，令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，则，解得，故选：.8.已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆台的上、下底面圆半径分别为，由题意得，，，解得.如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为.设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，则到点所在的底面的距离为，由题意得，，解得，所以球的表面积为.故选:.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】对于A，，，所以或，而，故，故正确；对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；对于C，如图，长方体中，，则，故C错误；对于D，若α//β，，则，而，故，故正确.故选：AD.10.已知平面向量均为单位向量，且，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，则，故错误；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为，所以，所以，则，故C正确；对于D，因为，，所以在上的投影向量为，故正确.故选：BCD.11.已知函数有2个零点，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，令，，则，即为偶函数，当时，，且，即函数在上单调递增，所以关于x=1对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，所以，解得，故正确，故错误；由知，，故C错误；由知，，令，，即φx在上单调递减，所以，所以，故正确.故选：.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正数满足，则的最小值为________.【答案】20【解析】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立.故答案为：20.13.已知数列满足，，记数列的前项和为，则________.【答案】【解析】由题意得，，，，，所以为周期数列，所以.14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题意得，，因为，所以，则，所以，所以，解得，故.令，解得，解得，因为在区间上没有零点，所以（），解得，因为，所以，解得，由，得，所以，因为，所以或，当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.解：（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以.当时，，此时的定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，（2）由题意得，，由（1）知，，易得在上单调递增，故.，当时，，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.16.在△中，内角的对边分别是，且.（1）求证：；（2）若，且是边的中点，求的最小值.解：（1）设△内角，、、的对边分别是、、.∵，∴，整理得，由正弦定理得.（2）∵，且是边的中点，∴，由余弦定理得，，则.∵，∴，由，得（当且仅当时等号成立.），∴，∴，故的最小值为.17.已知四棱锥中，°，平面平面，.点分别在线段上，且四点共面，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：因为平面平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因为.所以为的中点.因为°，故//.因为平面，所以//平面.因为平面平面，所以//.所以//，所以为的中点.又，所以.（2）解：分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的向量为，则，即令，则，于是.因为平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量.则.故平面与平面所成角的余弦值为.18.已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且.（1）求数列的前项和；（2）在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由.解：（1）当时，，则；当时，；当时，，相减得，，整理得，即，累加可得，，即，故.综上所述，.由可知等比数列的公比不为1，则，解得，故，解得，则.由题意得，，故，，故，故（2）因为，所以，当时，因为，所以，当时，.综上所述，.19.定义：记函数的导函数为f'x，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f'x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.（1）求证：为区间上的凹函数；（2）若为区间的凸函数，求实数的取值范围；（3）求证：当时，.（1）证明：由题意得，，记f'x的导函数为f则，所以f'x在区间0,+所以为区间0,+∞上的凹函数.（2）解：由题意得，，则，令，则，故.令，则，故在上单调递增，故，则，故，故实数的取值范围为.（3）解：由题意得，.当时，，符合题意，当时，因为，则，则即证，即证，设，则，所以在0,1上单调递