江苏省南通市如皋市十四校联考2025届高三上学期教学质量调研数学试题（二）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市如皋市十四校联考2025届高三上学期教学质量调研数学试题（二）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.某运动员在一次训练中共射击次，射击成绩（单位：环）如下：，，，，，10．则下列说法正确的是（）A.成绩的极差为 B.成绩的第50百分位数等于成绩的平均数C.成绩的中位数为和 D.若增加一个成绩，则成绩的方差不变【答案】B【解析】A．，极差为，故错误，不符合题意；B．第50百分位数，平均数，故正确，符合题意；C．成绩的中位数为，故错误，不符合题意；D．若增加一个成绩，则成绩的方差会变小，故错误，不符合题意；故选：B．2.已知集合，若，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故选：A.3.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且不能作为基底，则，即，当时，；当时，；当时，；两次投掷得到点数的总可能性为种，所以所求的概率.故选：A．4.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选：C．5.已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，已知x，y为正实数，若，，则，故A错误；对于B，由可得：，令，，令，解得：，则Fx在0,1若，则，故B错误；对于C，已知x，y为正实数，若，取，则，故C错误；对于D，由，则，令，则，即在定义域上递增，故，反之也有成立，满足要求，故D正确.故选：D.6.位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（）．A.31500 B.30000 C.10500 D.10000【答案】C【解析】每个侧面面积，侧面的高，则侧棱长，正四棱台的高，故选：C．7.已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由题意知圆心与抛物线的焦点重合为F0,1，抛物线的准线为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，由，则为中点，故，，又圆的半径为，则可得，又，当三点共线时，取得最小值为，则可得，故选：D．8.已知函数的定义域为，对内的任意两个不相等的数，都有且．若实数m，n满足，则的最小值为（）A. B. C.20 D.19【答案】B【解析】，令，和原式比较，，都有在上单调递增，，.故选：B．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A选项，对于，由，得，所以在区间上单调递减函数，A选项正确.B选项，对于，由，得，不符合题意.C选项，由，得，且，所以在区间上单调递减的函数，C选项正确.D选项，对于，由，得，不符合题意.故选：AC10.随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（）A.事件与互斥 B.事件A与相互独立 C. D.【答案】ABC【解析】因为与一定互斥，所以A对；独立，B对．对．错，故选：ABC.11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接．现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（）A.当直线的倾斜角为时，B.当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为C.三棱锥的体积最大值为D.当折叠后的周长为时，直线的斜率为【答案】ABD【解析】对于A，当倾斜角为时，方程为此时位于椭圆短轴的一个端点，，又平面平面平面正确．对于B，当倾斜角为时，为等边三角形，边长为2，外接圆半径假设,则所以外接圆半径，三棱锥外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为B正确．对于C，设直线AB方程为,联立得，，所以，平面面，错．对于D，如图建系，翻折前原先，翻折后，，由①②，联立①②正确，故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）12.已知为虚数单位，复数满足，则______．【答案】【解析】由，得，即，则，所以.13.某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率______（精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为______．附：，【答案】0.20.36【解析】由，所以，优品满足，所以（第一空）；抽查次数不超过两次的概率为（第二空）.14.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的平行线OQ与的角平分线交于，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】设的角平分线交轴于点，延长OQ与交于，则为中点，，∵，∴，∵，∴，，即，又，在中，由余弦定理得，即，，即椭圆的离心率.四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，点在边上且，．（1）求证：；（2）若，求的最大值．解：（1）方法一：，，因为中，，所以上式，又因为，所以，由正弦定理：得，所以．方法二：因为，由正余弦定理可得，整理得，所以.（2）方法一：因为，即，又，所以，所以BD为的角平分线，设，则，所以，所以，所以，又在中，由余弦定理得，即，故，即，当且仅当时等号成立，故．方法二：设，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一.方法三：设，因为，所以，两边同时平方得，即，所以，所以，下同法一．16.为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得．（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度；（2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列．附：相关系数．解：（1），接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关．（2）考试成绩低于样本平均数的概率记为，则x01234p17.在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段AD，CD的中点，，平面平面．（1）求证：；（2）若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．（1）证明：取BD中点，连接，为正三角形，，为BD中点，，面，面面，面面平面，又面，，面，所以面，又面（2）解：方法一：由（1）可知面，以为原点，边上的高为轴，边所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，，设，则，记平面的一个法向量为，令，则，为平面的一个法向量，，与平面所成角余弦值为正弦值为．，或，又．设面的一个法向量为n1，取，则，∴为平面的一个法向量，设面的一个法向量为，，取，为平面的一个法向量，由图可知二面角的平面为锐角，二面角的余弦值为．方法二：由（1）面过作，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设所以，设平面的法向量为，令得，，所以为平面的一个法向量，与平面所成角余弦值为，与平面所成角正弦值为．，或又因为平面的法向量设平面的法向量为，令得，，∴为平面的一个法向量，，下同法一方法三：由（1）可知面，平面，，又，，平面，所以面，平面，面面，与平面所成角为，设，，又为AD的中点，在中，，或，又．过作交BD于，过作于，连接，为二面角的平面角．因为，所以．由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．18.已知函数的导函数为，且．（1）求函数在点处切线方程；（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．解：（1）求导得，令，则，，即：．（2）方法一，，①当时，左边右边，不等式显然成立．②当时，令当时，在上单调递减③当时，令，当时，单调递减；当时，单调递增．综上：的取值范围为．法二，令，，令，所以恒成立，在上递增．①若，即对在单调递减，，与矛盾，无解，舍去．②若，即，在上递增.故．③若即：时，使得，，即：即：，故综上．19.已知双曲线过点，其渐近线方程为．圆过点、，与轴交于、．记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为．（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：直线和直线的斜率之积为定值；（3）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．（1）解：由题意可得，所