江苏省南通市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的面积为（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】扇形面积为.故选：B.2.已知全集，集合，或，则（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】因为,或，所以，所以.故选：D．3.函数，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数，的最小值为.故选：B.4.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由角的终边经过点，故，，故

故选：C.5.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于函数为定义域内的单调递增函数，且，，故由零点存在定理可得零点位于区间.故选：C.6.设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则，可得，①，可得，②联立①②可得，所以，，因此，.故选：D.8.已知函数，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，又因为，故函数为偶函数，因为函数在上为增函数，函数在上为增函数，故函数在上为增函数，因为，，因为，所以，，则，则，所以，，所以，，，，，故故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式中，计算结果为的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：AC.10.若，，则（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对A：取，，，，则，，故A错误；对B：由，，则，则有，故B正确；对C：由，，则，且等价于，等价于，等价于，即C正确；对D：由，，则，，即等价于，由，即等价于，等价于，即，故D正确.故选：BCD.11.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A选项，，故在上单调递减，A错误；B选项，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，，在上单调递增，B正确；C选项，定义域为，，故为偶函数，又在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，C正确；D选项，定义域为R，，故为奇函数，D错误.故选：BC.12.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（）A.小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时B.小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为C.小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为D.小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是【答案】BC【解析】由题意可知，，则，对于A选项，函数的最小正周期为，所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错；对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对；对于C选项，因为当时，，由可得或，解得或，易知，，则的可能取值有：、、、、、、，小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对；对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次，所以，，因为，则，所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，若、是的方程的两个实根，则角_________________.【答案】【解析】对于方程，则，解得或，因为、是的方程的两个实根，由韦达定理可得，，所以，，因为，则，故.14.已知函数在上单调递增，则的取值范围是_________________.【答案】【解析】因为函数在上单调递增，易知函数在上单调递增，函数在上单调递增，则，且有，解得，所以，，即实数的取值范围是.15.已知，，则的一个取值为_________________.【答案】（或）【解析】因为，，且，所以，，故.16.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间.函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________.【答案】且，【解析】设函数的2次方膨胀区间为，由于函数为上单调递增函数，所以且，由于，解得，故的2次方膨胀区间为，由于为开口向上的二次函数，且对称轴为，设存在4次方膨胀区为，若，则为上的单调递减函数，所以且，相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去，若，则为上的单调递增函数，所以且，因此是方程的两个不相等非负实数根，令，则有两个不相等非负实数根，记，所以，解得且.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1），则，，，则或，解得或，故实数的取值范围为或.（2）当时，则，且集合A不为空，则，解得，所以若时，则实数的取值范围为或.18.已知，，，.（1）求；（2）求.解：（1）因为，则，，由可得，所以，.（2）因为，，则，所以，所以，因此.19.已知函数.（1）求的定义域；（2）判断并证明的奇偶性；（3）讨论的单调性.解：（1）对于函数，有，解得，所以函数的定义域为.（2）函数为偶函数，证明如下：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，故函数为偶函数.（3）因为，令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，外层函数为上的增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及单调减区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意、，，求实数的最小值.解：（1）由图可得，函数的最小正周期为，则，所以，因为，可得，因为，则，所以，所以，因此，由解得，所以，函数的单调递减区间为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则，当时，，则，则，对任意的、，，则，故实数的最小值为.21.如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·（1）若，求梯形的高；（2）求四边形面积的最大值.解：（1）连接，过点作于点，交于点，由，，扇形半径为4，分别为的中点，故，，，，则，故为等边三角形，则，,故梯形的高为.（2）设，则，且此时，四边形面积为：，∴时，取最大值22.已知函数（且），点在其图象上.（1）若函数有最小值，求实数的取值范围；（2）设函数，若存在非零实数，使得，求实数的取值范围.解：（1）由题意可知，，且且，则，则，所以，，令，则，当时，函数在上无最小值，不合乎题意，当时，要使得函数在上有最小值，则，解得，因此，实数的取值范围是.（2）已知函数，若存在非零实数，使得，①当时，由可得，可得，不妨设，，则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调