江苏省2023-2024学年高一上学期期末考试全真模拟数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省2023-2024学年高一上学期期末考试全真模拟数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为角终边过点，所以，，，所以.故选：D.2．已知，，则“”是“”成立的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”，则“”必成立；但是“”，未必有“”，例如，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.3．设，则的值为（）A.9 B.11 C.28 D.14【答案】B【解析】.故选：B.4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选：C.5．函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数定义域为，，故为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C和D；又函数在时，函数，可以排除B.故选：A．6．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数为幂函数，所以，得，所以，，因为，，，，且在上为增函数，所以在上有唯一零点.故选：C.7．中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形（如图2）.记圆面面积为，扇形的面积为，把满足且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧的长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，即，即，所以，则，设圆心角，圆的半径为，则，，所以，因为，所以，即，解得，所以弧的长为.故选：D.8．定义：正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】由已知可得，即，因为，所以，则

，当且仅当时等号成立，故.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一个元素，则C.关于的不等式的解集，则不等式的解集为D.“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.故选：CD.10．若，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值是C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故正确；对于B，因为，所以所以，当且仅当即时取等号，故等号不取，，当且仅当即时取等号，故等号不取，所以，故错误；对于C，因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号，故正确；对于D，，当且仅当即时，取等号，故正确.故选：ACD.11．已知函数，下列选项正确的有（）A.的最小正周期为B.函数的单调递增区间为C.在区间上只有一个零点D.函数在区间的值域为【答案】AC【解析】由可得的最小正周期为，故A正确；因为，，故B不正确；由，得，，得，，由，，得，，所以，此时，即在区间上只有一个零点，故C正确；由，得，得，即函数在区间的值域为，故D不正确.故选：AC.12．已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（）A.若满足性质，且，则B.若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质C.若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质D.若函数满足性质，则函数必存在零点【答案】ABD【解析】对选项A：，，，则，正确；对选项B：，即，即，根据图像知方程有唯一正数解，正确；对选项C：，即，取得到，取得到，方程组无解，故等式不恒成立，错误；对选项D：若，则1即为的零点；若，则，，可得，，，故当趋近正无穷时，趋近正无穷，所以存在零点；若，则由，可得，由，可得，，，当趋近正无穷时，趋近负无穷，所以存在零点，综上所述：存在零点，正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．给定3个条件：①定义域为R，值域为；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【答案】（答案不唯一，满足题意即可）【解析】对于函数的定义域为R，，即的值域为，符合①；函数的最小正周期，符合②；，即是奇函数，符合③；综上所述：符合题意.故答案为：（答案不唯一，满足题意即可）.14.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.【答案】【解析】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案为：.15.已知，且，则的最小值为__________.【答案】6【解析】因为，，所以，，令，则，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，此时，.故答案为：6.16．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】至少存在两个不相等的实数，使得，当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；当，即时，，，；当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且.（1）若点A的横坐标为，求的值；（2）求的值.解：（1）由题意可知点A的横坐标为，则A点坐标为，∴，，又，故，则，∴.（2）∵，∴，，∴.18．设全集，集合，其中．（1）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；（2）若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．解：（1），得，解得：，即，因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以，则，解得：.（2）由条件可知，，或，所以或，解得：，所以的取值范围是.19．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，求函数在上的单调减区间．解：（1）由图可得函数的最小正周期为，所以，，，则，∵即，则，，则，所以.（2）由题意可得，令，，得，，记，则，因此，函数在上的减区间是.20．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；（2）设备占地面积为多少时，的值最小？解：（1）由题意得，要满足题意，则，即，解得：，即设备占地面积的取值范围为.（2），当且仅当时等号成立，所以设备占地面积为时，的值最小.21．我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数.该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数.已知函数.（为自然对数的底数，约为2.718）（1）求函数的函数值为0的的值；（2）探求函数图象的对称中心；（3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集.解：（1）令，得，所以.（2）设的对称中心为，则是奇函数，即，，即，①由上式恒成立可知是常数，所以，则，代入①中，得，所以，的对称中心为.（3），该函数的定义域为，反比例函数的单调递增区间为，，所以的增区间为，，由（2）可知，即，，因为，，在递增，即，解得，原不等式的解集.22．已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）（1）求实数k的值；（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实