湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且倾斜角为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D.2.已知非零向量，，且、、不共面，若，则（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】因为，则存在，使得，即，则，解得，，所以.故选：B.3.已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.4.已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，则，解得：①，又∵点在圆的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故选：B．5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（）A B.C. D.【答案】C【解析】因为的顶点，，，可知的重心为点，即点，由题意，可知，所以的外心为斜边的中点，即点，所以的欧拉线方程为，即.故选：C.6.已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，则，两式相减得，即，∴.故选D.7.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.则设平面的法向量为，则，令，则,设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选：D.8.已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，可知：，，，，，可得，，即可得，解得：或因为，所以，所以舍去，故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18.分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.满足下列条件的直线与，其中的是（）A.的倾斜角为，的斜率为B.的斜率为，经过点，C.经过点，，经过点，D.的方向向量为，的方向向量为【答案】BCD【解析】对A，，，，所以A不正确；对B，，，故B正确；对C，，，，故C正确；对D，因为，所以两直线方向向量互相垂直，故，故D正确.故选：BCD10.长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（）A.点在曲线内B.直线与曲线没有公共点C.曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上D.曲线上有且仅有两个点到直线的距离为【答案】ABC【解析】设线段中点，则，，故，即，表示以原点为圆心，为半径的圆，故C选项正确；A选项，点满足在曲线内，A选项正确；B选项，直线，即，圆心到直线的距离，故直线与圆无公共点，B选项正确；D选项，圆心到直线的距离为，又，所得由三个点到直线的距离为，D选项错误；故选：ABC.11.在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直线到平面的距离是D.点到直线的距离是【答案】ABD【解析】A.如图所示：连接交于点E，连接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正确；B.因为，D是AC的中点，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正确；C.∵平面，∴到平面的距离等于点到平面的距离，C.以D点原点，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的一个法向量，则，即，不妨取，所求距离，故错误；D.如图所示：作，连接，因为平面ABC，所以，又，所以平面，则，又，所以，故正确；故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．【答案】【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：.13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为___________.【答案】900【解析】不妨设BB1=1，则AB=2，∴直线AB1与C1B所成角为90°.故答案为90°.14.已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为__________________【答案】【解析】圆：的圆心，半径，由点，点，直线斜率，线段的中垂线过点，且斜率为，方程为，即，直线的方程为，即，由，得，则所求圆的圆心，半径为，所以圆的标准方程为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共7分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，则有.（1）因为分别为的中点，所以.所以.所以.又因为平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.设平面的一个法向量为则，即.解得.令，则.设平面的一个法向量为，则，即.得.令，则，因为，所以.故平面平面16.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程，并求的值；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.解：（1）抛物线：y2=2pxp>0的准线方程为因为点在抛物线上，且，所以，解得，所以抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，.（2）由（1）可知抛物线的焦点F1,0显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，Mx1,y1由，消去整理得，所以，则，，所以，，又，所以，，因为，所以，即，即，解得，所以直线的方程为，即.17.设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．解：（1）设Mx,y，到定直线的距离为则，故，平方后化简可得，故点的轨迹的方程为：（2）由题意，,设直线的方程为，,，,，由，可得，所以，．则，，所以；当直线的斜率不存在时，，此时，综上，为定值．18.已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，（1）求证：；（2）是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；若存在，指出点的位置，否则，请说明理由.解：（1）取的中点，连接,因为，所以，又，所以是等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）为中点即可满足条件，理由如下：取的中点,连接，则，平面平面，平面，平面平面，所以平面，由为等边三角形，可得，在直角三角形中，，以为坐标原点，以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为．则，令，则，所以平面的一个法向量为，于是，解得或（舍去），所以点为中点时，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19.已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.（1）求椭圆C的方程（2）求证：直线恒过定点；（3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，