湖南省娄底市名校联考2025届高三上学期11月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省娄底市名校联考2025届高三上学期11月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，对应点为在第一象限.故选：A2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，则，解得，所以，，所以，从而.故选：D.3.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设与的夹角为，在上的投影向量为所以，所以，所以钝角，且.故选：A4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如题图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为.故选：C.5.定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，故，将以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值随n的增大而增大，且，当时，，当时，，故n的最小值为8，故选：B6.已知函数，若满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数定义域为关于原点对称，且，所以是定义在上的偶函数，又，当时，，则，所以在单调递增，又，则，且，则不等式可化为，即，且是定义在上的偶函数，在单调递增，则，即，即，所以，即实数的取值范围是.故选：A7.在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，所以，故选：D.8.已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，因为此时的最小值为，所以，即.若，此时能取到最小值，即，代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，在上单调递减，所以存在唯一符合题意；所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为2C.若，则的最大值为2D.若，则【答案】AD【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故选：AD10.已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（）A.的周期 B.C.在上单调递增 D.是偶函数【答案】BC【解析】由于是奇函数，所以，则又，则，所以，所以的周期为8，A错误，，，故B正确，根据函数的性质结合，，作出函数图象为：由图象可知：在上单调递增，C正确，由于的图象不关于对称，所以不是偶函数，D错误故选：BC11.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A.存在点M使得B.四棱锥外接球的表面积为C.直线PC与直线AD所成角为D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是【答案】BCD【解析】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，则．又因为，所以，又，平面，所以平面PGC．因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】数列中，，，显然，则有，即，而，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．13.已知函数，若的最小值为，则________．【答案】【解析】，，所以，或，，所以．14.已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.【答案】【解析】当时，，，则，当时，，，则，因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，则，即，则，，，所以，，令，其中，则，当时，，此时函数在0,1上单调递减，当时，，此时函数在1,+∞上单调递增，所以，，因此，的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角、、的对边分别为、、，已知．（1）若，，求的面积；（2）求的最小值，并求出此时的大小．解：（1）由题意得，因为，所以，故，又，所以．因为、是的内角，所以为钝角，所以，所以，所以是等腰三角形，则，所以．（2）由（1）可知，中，，即为钝角，则，因为，，所以，设，则，由，故，当且仅当，即，结合钝角，即当时等号成立，所以的最小值是5，此时．16.如图，在正三棱锥中，有一半径为1半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．（1）用分别表示线段BC和PD长度；（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．解：（1）连接OP，由题意O为的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以为直角三角形．设半球与面PBC的切点为E，则且．在中，，所以．在中，．（2）由题知，，化简得，，令，则上述函数变形为，，所以，令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，三棱锥的侧面积S的最小值为．17.已知函数.（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.解：（1），，则，解得.（2），由题设可知有两个不同的零点，且在零点的附近的符号发生变化.令，则，若，则，则为0,+∞上为增函数，在0,+∞上至多有一个零点.当时，若，则，故在上为增函数，若，则，故在上为减函数，故，故.又且，故在上存在一个零点；下证当时，总有.令，则，当时，，故为上的减函数，故，故成立.令，则，故当时，有，取，则当时，有，故，故在上，存在实数，使得，由零点存在定理及的单调性可知可得在上存在一个零点.综上可知，实数的取值范围是.18.已知数列满足，记数列的前项和为．（1）求；（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．解：（1）①②②-①得，，得．当时，①式为，得，也满足上式．，数列an是等差数列，所以．（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，又，得，得．令，即，即．当时，经验证，（*）式满足要求．令，则，所以当时，，即当时，式不成立．使得成立的的取值范围是．19.牛顿法(Newton'smethod)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则L与x轴的交点的横坐标记为，称为r的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知.（1）若给定，求r的二阶近似值；（2）设①试探求函数h(x)的最小值m与r的关系；②证明：