外接球问题学案-2025届高三数学一轮复习

一轮复习学案之外接球PAGEPAGE26外接球问题第一类：与长方体有关的外接球问题1.长方体的外接球①球心:体对角线的交点;②半径：(分别为长方体的长、宽、高).2.正方体的外接球①球心:正方体的中心②半径：（为正方体的棱长）可以补形为长方体或正方体：3.正四面体的外接球①球心:正四面体的中心②半径：（为正四面体的棱长）例1：已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A．eq\f(\r(6),8)πB．eq\f(\r(6),4)πC．eq\f(\r(3),8)πD．eq\f(\r(3),4)π解析：如图将棱长为1的正四面体B1­ACD1放入正方体ABCD­A1B1C1D1中，且正方体的棱长为所以正方体的体对角线AC1＝正方体外接球的直径2R＝所以正方体外接球的体积为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为4.存在三条棱两两垂直的三棱锥外接球[例2](2024·四川成都模拟)已知三棱锥P­ABC中，若△ABC是正三角形且PA＝PB＝PC＝a，PA⊥平面PBC，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为()A．4eq\r(3)a3B．3πa2C．eq\f(\r(3),2)πa3D．12a2将三棱锥P­ABC补成正方体PBFC­AMNE，如图所示，所以三棱锥P­ABC的外接球直径即为正方体PBFC­AMNE的体对角线长5.对棱相等的三棱锥补成长方体或正方体[例3](2024·江西南昌模拟)在三棱锥P­ABC中，已知PA＝BC＝2eq\r(13)，AC＝BP＝eq\r(41)，CP＝AB＝eq\r(61)，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为()A．77πB．64πC．108πD．72π解析：.因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线，设长方体的同一顶点三条棱长分别为a，b，c，且长方体的面对角线长为2eq\r(13)，eq\r(41)，eq\r(61)，则eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(13)，eq\r(c2＋b2)＝eq\r(41)，eq\r(a2＋c2)＝eq\r(61).长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径，2R＝d＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝它外接球半径等于，所以球的表面积为4πR2＝第二类：与截面圆有关的外接球问题截面圆圆心与球心距离截面圆半径球半径则6.正棱柱、正棱台、圆柱、圆台的外接球①球心:上下底面中心连线的中点；②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高）例4：（24-25高二上·广东河源·期中）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【提示】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为．上下底面中心连线的中点就是球心，如图，为三棱柱上底面的中心，为球心，正棱台的外接球[例5](2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π解析：正棱台外接球的球心必在过正棱台上、下底面中心的连线所在直线上．圆柱的外接球例6：已知某圆柱的侧面积为，当此圆柱的外接球体积最小时，它的高为.圆台的外接球例7：（23-24高三上·湖南·开学考试）已知圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为6，圆台的体积为，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则（

）．A．3 B．4 C．15 D．17【分析】由已知根据圆台的体积公式，求出圆台的高，再利用球的内接圆台构造直角三角形利用勾股定理，建立方程，求出的长，从而求出的值.7.直三棱柱的外接球：①球心:上、下底面三角形外心连线的中点；②半径：（为底面圆的半径，为棱柱的高）③三棱柱底面圆的半径常常借助正弦定理求解8.直棱锥的外接球有一条侧棱与底面垂直的棱锥补成直棱柱求解．例8：(2024·湘豫名校第一次联考)已知三棱锥P­ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为__________．解析：由题意，将三棱锥P­ABC补成直三棱柱TPS­ABC，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P­ABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．设△ABC外接圆的半径为r，三棱锥P­ABC外接球的半径为R，因为PB⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，由正弦定理得，2r＝，所以r＝，R2＝所以三棱锥P­ABC外接球的表面积为S＝9.正棱锥的外接球①球心:在其高上，具体位置由计算可得；例9：（24-25高三上·湖南·期中）已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为，则正四棱锥的体积为（

）A．B．C．D．【详解】因为棱锥的高和球的半径均为，所以底面正方形的外接圆圆心即为球心，外接圆半径即为球的半径，所以正四棱锥的底面边长故四棱锥的体积为例10、已知“高为1，底面边长为4eq\r(3)的正三棱锥”，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____．解析：由题意可知，正三棱锥外接球的球心位于高VM所在直线上，设为O.10.圆锥的外接球例11．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】如图所示，易知圆锥的外接球