材料力学课件：能量法及其应用

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能量法及其应用

固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。应用能量原理求解变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称为能量法。能量法是进一步研究变形体力学的重要基础，如广泛应用的有限单元法、近似计算法（瑞利-里兹法）等都与能量原理有关。2分析过程简单，应用范围广泛。包括--可以确定结构上任意点、沿任意方向的位移；--可以确定位移函数；既可以确定位移，又可以确定内力和应力；--既适用于线弹性问题，又适用于非线弹性问题；--可直接用于求解超静定问题。能量法的优点及应用范围3本章重点本章难点本章重点与难点杆件变形能计算互等定理单位荷载法图形互乘法能量法求解超静定问题虚功原理

单位荷载法能量法求解超静定问题4第11章能量法及其应用

§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法511.1应变能的计算弹性应变能

弹性体由于变形而储存在弹性体内部的能量，称之为弹性应变能或弹性变形能。记作Vε。功能原理弹性体在外力作用下发生变形，荷载在其相应的位移上做功（记为W）。忽略动能等其他能量损耗，外力功在数值上等于弹性体积蓄的变形能。--功能原理6回顾：线弹性体的应变能准静态加载，0缓慢

FP材料线弹性小变形荷载-位移曲线由功能原理应变能单位--J，1J=1NmFP-广义力；Δ-广义位移7基本变形形式下杆件的应变能轴向拉压变形杆件微段的应变能E=const,FN=const等直杆轴向拉压杆的应变能8扭转变形杆件微段的应变能G=const,T=const等直杆扭转杆的应变能基本变形形式下杆件的应变能（续）9平面弯曲变形梁微段的应变能平面弯曲梁的应变能杆件线弹性应变能的计算（续）计及剪切应变能k为截面修正系数-矩形截面k=6/5-圆截面k=10/9-工字截面k=A/A110例11-1图示圆截面拉杆，弹性模量为E，受力和尺寸如图，求杆的应变能。解：杆可分为两段轴力为常数的等直杆其中：11解：梁的弯矩方程为该平面弯曲梁的应变能为例11-2

如图所示悬臂梁，自由端作用一集中力FP和一力偶矩Me，EI为常数，求梁的应变能。12例11-3

如图所示桁架结构，求A点的竖向位移。各杆件的拉压刚度均为EA，长度a为已知。计算两杆中的轴力，如图b)，由节点A的平衡：则结构应变能为：外力功为：根据有：计算得A点的竖向位移为：解：13求结构各杆和梁的内力求结构的应变能和外力功梁：根据对称性只考虑半梁，弯矩方程为：杆：根据节点B的平衡：外力功：解：例11-4如图所示结构，求C点的竖向位移。梁的弯曲刚度为EI，两杆的拉压刚度均为EA，长度l和a为已知。14求C点的竖向位移例11-4解（续）：

结构应变能：根据有：15-线弹性体的应变能等于各广义力与其相应的广义位移乘积之半的总和。克拉比隆原理线弹性变形体准静态加载功能原理EmileClapeyron(1799-1864)-应变能与加载次序无关；-相互独立的力（广义力）引起的变形能方可相互叠加。16组合变形杆件的应变能细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。内力独立作用原理-横截面内力仅在自身产生的变形上做功，其应变能与其他内力引起的变形无关。组合变形杆件，受轴力、弯矩、扭矩、剪力。其微段受力情况如图，根据克拉比隆原理，其微段上的应变能：积分得到整个杆件的应变能：17以抗弯为主的杆件，忽略其他内力影响，其应变能应变能或外力功是外力（内力）或位移的二次函数

同种内力计算应变能不适用叠加原理。同种力引起的应变能不可简单叠加!内力方程：CD段：AB段：整体应变能：18解：例11-5如图所示圆截面折杆ABC，已知杆横截面的极惯性矩Ip对，中性轴的惯性矩IZ，材料弹性模量E和切变模量G。求折杆的应变能。刚架和曲杆在外力作用下通常发生组合变形：平面刚架和曲杆（图a、b）内力通常有轴力、剪力、弯矩；空间刚架和曲杆（图c、d）内力通常有轴力、剪力、弯矩、扭矩。刚架和曲杆应变能的计算常忽略轴力和剪力的影响。平面刚架和曲杆的应变能空间刚架和曲杆的应变能19刚架和曲杆的应变能计算20第11章能量法及其应用

§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法21先加再加则相应的应变能为：功的互等定理下标-前位后力11.2互等定理图示悬臂梁，分别按2种顺序加载先加再加则22应变能与加载顺序无关

功的互等定理--对线弹性体，第一组力系各力在由第二组力系引起的相应位移上做功之和，等于第二组力系各力在由第一组力系引起的相应位移上做功之和。23证明：考虑两种加载方式，先加FPi，再加FQj

，11.2互等定理

功的互等定理--对线弹性体，第一组力系各力在由第二组力系引起的相应位移上做功之和，等于第二组力系各力在由第一组力系引起的相应位移上做功之和。先加FQj，再加FPi，24--功互等定理25FPi

ij=FQj

ji

一对线弹性体，若第一个力与第二个力数值相等，则第一个力在第二个力作用处引起的位移，数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移。位移互等定理根据功互等定理若-位移互等定理26例11-6

图示简支梁，力FP作用在梁中点C时，B截面的转角，试求B截面作用力偶Me时C点的挠度。解：根据功互等定理

功互等定理是计算结构位移的有效方法之一。27例11-7

如图所示悬臂梁，长为l弯曲刚度EI已知。力F作用在梁端部B，试求中点C处的挠度ωC。解：根据位移互等定理，F作用在B点时引起ωC（图a）与F作用在C点时引起ωB（图b）相等。即：28第11章能量法及其应用

§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法2911.3卡氏定理卡氏第二定理--线弹性结构的应变能对其上任一广义力FPi的偏导数，等于FPi作用点沿其方向的广义位移。证明：第1组载荷FP1,FP2,…FPi，第2组载荷δFPi

，先加载荷2，再加载荷1，--卡氏第二定理考虑两种加载方式，先加载荷1，再加载荷2

，AlbertoCastigliano(1847-1884)30两种加载路径的应变能分别为：应变能与加载顺序无关，

--卡氏第二定理忽略高阶小量31①--整体结构在所有外载作用下的线弹性应变能；②

Fpi的是广义力（力或力偶），相应的位移

i

为广义位移（线位移或角位移）；③FPi视为变量，结构的约束力、内力和变形能等都必须表示为FPi

的函数;④

i为FPi作用点的沿FPi方向的位移;⑤

当结构上没有与

i对应的FPi时，先虚加一沿

i

方向的FPi

，求偏导后，再令其为零。应用卡氏定理的注意事项32桁架——轴力直梁——弯矩常见结构的卡氏第二定理33组合变形—拉（压）＋弯矩＋扭矩34平面曲杆

--忽略剪力、轴力对变形的影响其中，s—弧坐标。35例11-8如图所示正方形杆系结构，求A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同。解：①求各杆轴力

②计算杆系结构的应变能

③

A、C两点的相对位移36解：在B处添加一个与所求位移相应的虚设广义力F。弯矩方程：卡氏第二定理：例11-9如图所示变截面梁，弯曲刚度分段为常量，试用卡第二氏定理求在荷载FP作用下B截面的挠度ωB。37解：弯矩方程应变能B点垂直位移例11-10如图所示平面曲杆，EI常量。A端固定，B端自由，作用集中力FP，求B点的竖直位移。38例11-11悬臂梁BC如图所示，受均布荷载作用，q=12kN/m支承如图。已知CD杆截面面积A=100mm2，弹性模量E1=70GPa，长度a=7.5mm；BC梁截面惯性矩I=20×106mm4，弹性模量E2=200GPa，梁长l=3mm。求CD所受轴力。解：①一次超静定问题。解除D点约束，用位未知束力FCD代替，建立基本静定基如图b。39②用卡氏第二定理求D处位移CD杆轴力：BC梁弯矩：由卡氏第二定理有：解：③D处的位移协调条件为ΔD=0，则④代入数值，解得：40解：41第11章能量法及其应用

§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法4211.4单位荷载法单位荷载法的推导OttoMohr(1835-1918)单位荷载法又称莫尔积分法，也是计算线弹性结构位移的常用能量方法。如图所示简支梁，作用有广义力

FP1,FP2,…等，现求C点的铅垂位移∆。考虑两种方法加载：43第一种施加荷载弯矩应变能第一步在C点施加单位力FPC=1第二步将FP1，FP2，…等作用于梁上及C点处单位力做功1×∆总应变能44两种加载方法得到的应变能相等：化简等式，可以得到：第二种施加荷载弯矩应变能同时作用FP1，FP2，…等和C点单位力FPC=145推广得到单位荷载法计算组合变形杆件位移的一般表达式

--所求广义位移（m或rad）；

--所求位移点处作用单位荷载时截面上的轴力、弯矩、扭矩方程（N·m）。--实际所受外载作用下截面上的轴力、弯矩、扭矩方程（N·m）；46使用单位荷载法的注意事项：⑤

结果为正

位移与所设单位荷载同向；为负则相反。②

单位荷载是广义力，与之相应的位移为广义位移；③所加的广义单位荷载必须与所求广义位移相对应。①

材料处于线弹性范围，小变形情况；④

外力和单位荷载作用下的内力方程，应采用相同的坐标系和坐标原点，需分段时，每段杆的坐标可自由建立，分段积分再求和。线位移↔单位集中力；角位移↔单位集中力偶；两点相对位移↔两点间一对反向单位集中力；47单位荷载法计算变形杆件位移的简化形式桁架梁与刚架（忽略轴向及剪切变形）组合结构（拉/压+弯）48例11-12图中的圆截面折杆ABC。已知横截面的极惯性矩为Ip，对中性轴的惯性矩为Iz，材料的弹性模量和切变模量分别为E和G。试用单位荷载法求C截面的铅垂位移。解：在折杆截面C处施加垂直向下单位力FP=149CB段BA段在外力和单位力作用下的内力方程：计算截面C处的铅垂位移：50例11-13求图示刚架C点的水平位移和角位移，EI已知。C点水平位移：解：（1）在截面C处施加单位力FPC=1，如图b在外载和单位力作用下的弯矩方程分别为：BC段：

BA段：

51C点的角位移：（2）在截面C处施加单位力偶矩Me=1，如图c

在外载和单位力偶矩作用下的弯矩方程分别为：BC段：BA段：52例11-14如图所示的桁架结构，已知载荷F及尺寸a

，各杆的拉压刚度为EA，求结点A的竖向位移和水平位移。解：①求外载F作用下桁架各杆的轴力。如图a所示，各杆的轴力为：②求A点的竖向位移。在原结构的A点作用竖直方向的单位集中力，如图b所示，则各杆的轴力为：53由单位荷载法，A点的竖向位移为：③求A点的水平位移。在原结构的A点作用水平方向的单位集中力，如图c所示，则各杆的轴力为：由单位荷载法，A点的水平位移为：54第11章能量法及其应用

§11.1应变能的计算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4单位荷载法§11.5图形互乘法5511.5图形互乘法以弯曲问题为例，对等直梁或刚架结构的单位载荷法又，当内力方程至少有一个为线性函数时，比如可以通过图形互乘的方法简化单位荷载法中的莫尔积分计算。56图形互乘法的推导--图乘法公式57应用图乘法注意事项仅适用直杆或分段直杆结构，各段EI为常数。图和图中，至少有一个是为直线图形(其中

图必为直线图形)。当面积A与纵坐标

在基线同侧时，

乘积取正号，反之取负号；当单位荷载引起的

图的斜率变化时，图形互乘需分段进行，保证每一段内的斜率必须是相同的，这时变成

式中n——图的分段数。特别注意，荷载与单位力作

用下的分段及坐标系必须一致。58当M(x)图也为直线时，图乘法为：式中，为单位荷载弯矩图面积

为图形心处对应的图的内力值。结构上任意一点沿某个方向的广义位移

式中——各段载荷扭矩图的面积；——载荷扭矩图的形心所对应的单位载59

在图形互乘法应用过程中，常见到的内力图往往是矩形、三角形、抛物线形，或几