材料力学（第2版）课件：应力状态分析

应力状态分析StressTransformations应力状态分析StressTransformations6.1应力状态的概念6.2二向应力状态分析的解析法6.3二向应力状态分析的图解法6.4三向应力状态与广义胡克定律6.5复杂应力状态下的变形能密度6.1应力状态的概念6.1应力状态的概念问题的提出低碳钢与铸铁的拉伸试验6.1应力状态的概念问题的提出低碳钢与铸铁的扭转试验6.1应力状态的概念应力的点的概念考虑中性层上的点A正应力等于0，切应力最大考虑梁边缘上的点B

同一面上不同点的应力各不相同应力的点的概念6.1应力状态的概念应力的面的概念

即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。6.1应力状态的概念应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。6.1应力状态的概念单元体

为了分析受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点截取各边长均为无穷小的正六面体，称为单元体。微元单元体(1)在它的每个面上，应力都是均匀的(2)单元体相互平行的截面上，应力都是相同的，且都等于通过所研究的点的平行面上的应力。因此，单元体的应力状态就可以代表一点的应力状态。6.1应力状态的概念主单元体、主应力与主平面

主单元体各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面切应力为零的截面。

主应力主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小6.1应力状态的概念主单元体、主应力与主平面主应力排列规定：按代数值大小，若6.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力中仅有一个主应力不为零

单向应力状态6.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力中仅有一个主应力为零

二向（平面）应力状态纯剪切应力状态6.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力均不为零

三向（空间）应力状态6.1应力状态的概念空间应力状态正应力只有一个下标，表示正应力的方向，例如sx表示是作用在垂直于x的面上，沿着x

方向作用的正应力。切应力有两个下标，第一个下标表示作用面垂直于哪个坐标轴，第二个下标表示作用方向沿着哪个坐标轴。

例如txy是垂直于x

轴的面上而沿着y轴方向作用的切应力。6.2二向应力状态分析的解析法6.2二向应力状态分析的解析法关于应力的正负约定材料力学约定：(1)正应力以拉应力为正，压应力为负；(2)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转向为正，反之为负。6.2二向应力状态分析的解析法任意斜截面上的应力通过截面外法线的方位定义截面的位置6.2二向应力状态分析的解析法任意斜截面上的应力通过截面外法线的方位定义截面的位置6.2二向应力状态分析的解析法任意斜截面上的应力根据切应力互等,txy和tyx在数值上相等，化简得6.2二向应力状态分析的解析法主平面的方位及极值正应力上式对a

求导若a

=a0时，导数为0

通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是极大正应力所在的平面，另一个是极小正应力所在平面。6.2二向应力状态分析的解析法主平面的方位及极值正应力结论:1)切应力为

0

的平面上，正应力为极大或极小值；2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是极大或者极小的正应力。6.2二向应力状态分析的解析法主平面的方位及极值正应力将a0代入sa的计算公式，计算得到极大和极小正应力6.2二向应力状态分析的解析法极值切应力采用同样的方法对ta式求导若a

=a1时，则a1确定的斜截面上的切应力是极值。代入计算公式，得到:6.2二向应力状态分析的解析法极值切应力极值正应力所在的平面:极值切应力所在的平面:6.2二向应力状态分析的解析法例题6.1求如图所示单元体斜截面上的正应力和切应力(应力单位MPa)6.2二向应力状态分析的解析法6.2二向应力状态分析的解析法求如图所示单元体主应力的大小和方向以及最大切应力

(应力单位MPa)例题6.26.2二向应力状态分析的解析法6.2二向应力状态分析的解析法由此确定主应力主单元体方位如图最大切应力6.3二向应力状态分析的图解法6.3二向应力状态分析的图解法ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德国北海岸的Wesselburen，16岁入Hannover技术学院学习。他是19世纪欧洲最杰出的土木工程师之一。与此同时，Mohr也一直在进行力学和材料强度方面的理论研究工作。

Mohr出版过一本教科书并发表了大量的结构及强度材料理论方面的研究论文，其中相当一部分是关于用图解法求解一些特定问题的。他提出了用应力圆表示一点应力的方法（所以应力圆也被成为Mohr圆），并将其扩展到三维问题。Mohr对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移等。6.3二向应力状态分析的图解法两式取平方和若以sa，ta

为变量，则为圆方程圆心:半径:

圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称应力圆，或摩尔圆。6.3二向应力状态分析的图解法应力圆的画法1.确定点D(sx,txy)2.确定点D'(sy,tyx)tyx=－txy3.连接DD‘与s

轴交于点C4.以C为圆心，CD（CD'）为半径画圆。6.3二向应力状态分析的图解法圆心:半径:6.3二向应力状态分析的图解法确定角a斜截面上的正应力和切应力D点代表的是以x轴为斜面外法线的面上的应力（2倍角关系）6.3二向应力状态分析的图解法求主单元体（主应力大小及方位）注意A1,A2两点这两点的切应力为0

主应力6.3二向应力状态分析的图解法求主单元体（主应力大小及方位）主应力是按照代数值排序的，而不是按照绝对值排序。6.3二向应力状态分析的图解法求主单元体（主应力大小及方位）6.3二向应力状态分析的图解法求最大切应力注意G1,G2两点这两点的切应力为极值在二向应力状态平面内的单元体的切应力最大值切应力极值所在的方位和主应力所在的方位成45°角6.3二向应力状态分析的图解法特殊应力圆单向应力状态下的应力圆:6.3二向应力状态分析的图解法特殊应力圆纯剪切应力状态的应力圆:6.3二向应力状态分析的图解法特殊应力圆二向等拉（压）应力状态下的应力圆6.3二向应力状态分析的图解法例题6.3用图解法求如图所示单元体斜截面上的正应力和切应力(应力单位MPa)6.3二向应力状态分析的图解法确定比例尺按比例尺量得6.3二向应力状态分析的图解法例题6.4用图解法求如图所示单元体主应力的大小和方向以及最大切应力

(应力单位MPa)6.3二向应力状态分析的图解法比例尺6.3二向应力状态分析的图解法例题6.5

圆轴扭转如图所示，用解析法和应力圆法计算截面周边点A的主应力大小和方向。6.3二向应力状态分析的图解法解析法横截面边缘切应力:单元体如图3个主应力按照代数排序6.3二向应力状态分析的图解法图解法纯剪切状态，其应力圆6.3二向应力状态分析的图解法

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。6.3二向应力状态分析的图解法6.4三向应力状态与广义胡克定律6.4三向应力状态和广义胡克定律三组特殊截面的应力状态平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面6.4三向应力状态和广义胡克定律三向状态的应力圆及应力极值(1)三组特殊截面上的应力都落在相应的应力圆圆周上。(2)对于不平行于任一主应力的任意截面，其截面上的应力都落在三个应力圆之间的部分(图示绿色区域)6.4三向应力状态和广义胡克定律最大切应力对于平行于主应力s1的截面对于平行于主应力s3的截面可见，最大切应力tmax作用面与s2平行对于平行于主应力s2的截面6.4三向应力状态和广义胡克定律例题6.6

用图解法求图示单元体的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）,并作三向应力圆。易知，单元体z平面为主平面。－30MPa应为三个主应力之一。在s－

t坐标系中可得到其点C。考虑x-y平面D(120,-30)D'(40,30)画出应力圆得到三个主应力和最大切应力6.4三向应力状态和广义胡克定律广义胡克定律GeneralizedHooke'sLaw一般应力状态下的线应变和切应变单向拉压,线弹性范围内的应力应变关系同时引起的横向应变:纯剪切,线弹性情况下:6.4三向应力状态和广义胡克定律广义胡克定律GeneralizedHooke'sLaw最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:根据切应力互等定理数值上相等独立的应力分量只有六个6.4三向应力状态和广义胡克定律对于各向同性材料:

小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。

利用叠加法可求得各方向上的线应变。6.4三向应力状态和广义胡克定律=++++广义胡克定律GeneralizedHooke'sLaw6.4三向应力状态和广义胡克定律广义胡克定律GeneralizedHooke'sLaw

利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，

与正应力无关，因此:以上被称为一般应力状态下的广义胡克定律。6.4三向应力状态和广义胡克定律广义胡克定律GeneralizedHooke'sLaw主应力状态下的线应变

对于单元体的面皆为主平面的应力状态，三个主应力方向上的线应变为：e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。6.4三向应力状态和广义胡克定律例题6.7

用电阻应变仪测得图示受扭的圆轴表面上任意两个成45°角方向的应变值:e‘=3.25×10-4，e’‘=-5.63×10-4。已知E=200GPa,n

=0.3,d=10cm,求外力矩M。6.4三向应力状态和广义胡克定律纯剪切问题，画出其应力圆:取一个任意角度的单元体:由图可得:根据广义胡克定律:6.4三向应力状态和广义胡克定律根据题意：在应力圆上标出:6.5复杂应力状态下的应变能密度6.5复杂应力状态下的应变能密度

物体在外力作用下发生弹性变形，外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。

这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为弹性变形能。

若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形能的大小。6.5复杂应力状态下的应变能密度

外力F作用是缓慢加载，F-DL关系符合胡克定律，呈线性关系当加载至F，变形为DL时，外力作功为图示的阴影部分面积。外力作功:变形能:将上式除以杆的体积Alv

应变能密度（StrainEnergyDensity）6.5复杂应力状态下的应变能密度三向应力状态下：代入广义胡克定律:6.5复杂应力状态下的应变能密度物体的变形可以分成两个部分:1、体积改变2、形状改变。将三向应力状态的主单元体分为两组:=+6.5复杂应力状态下的应变能密度

第一组应力sm为体积应力，在它的作用下单元体沿各方向均匀变形，无形状变化。由此引起的变形能密度，称为体积改变变形能密度。

由广义胡克定律解出em

代入变形能密度公式，并简化得6.5复杂应力状态下的应变能密度

第二组应力下单元体体积的改变量为0（自行验证），而各边的变形不同，故只有形状改变。第二组应力引起的变形能密度称为形状改变变形能密度。

根据已经求得的vv和v，

形状改变变形能密度和体积改变变形能密度的和是总的变形能密度。一篇趣文正应力与剪应力凄美爱情故事https:///a/198489453_354905

在大部分时候，正应力和剪应力是在一起。主应力在前，剪应力默默跟着。在摩尔圆上行走。剪应力很早就知道，有一个地方，剪应力会变为零，你千万不要去；但是正应力从小的理想，就是为了到一个地方，成为主应力。但是，有件事剪应力一