材料力学（第2版）课件：简单超静定问题

简单超静定问题StaticallyIndeterminateProblem简单超静定问题1StaticallyIndeterminateProblem11.1超静定问题的概念11.2拉压超静定和扭转超静定问题11.3装配应力和温度应力11.4简单超静定梁11.5用力法求解超静定问题*11.1超静定的概念11.1超静定的概念结构按静力学特性可以分成静定结构和超静定结构/静不定结构两类。如图所示，求固定端的约束反力平面任意力系，通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力。若在C处增加一个约束则无法仅通过静力学平衡方程求出全部的四个未知力。11.1超静定的概念

若结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，称为静定结构。

若结构的约束反力与内力不能仅仅根据静力平衡方程求出，称为超静定结构或静不定结构。11.1超静定的概念

比较上下两图，下面的图中是在上面的图中增加了一个约束。在静定结构上增加的约束，称为多余约束。相应的反力称为多余约束力。多余约束并不“多余”，通过增加多余约束，可提高安全度，减少变形。11.1超静定的概念超静定结构的类型外力超静定结构

仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力平衡方程求出。11.1超静定的概念超静定结构的类型内力超静定结构

仅在结构内部存在多余约束，即结构内力不能全由静力平衡方程求出。11.1超静定的概念超静定结构的类型混合超静定结构内、外超静定兼而有之的结构。11.1超静定的概念超静定结构的类型内力超静定结构外部有多余约束混合超静定结构11.1超静定的概念超静定结构的类型11.1超静定的概念超静定次数把超静定结构变成静定结构所需要解除的约束数目----多余约束数或超静定次数超静定次数＝未知力数目－平衡方程数11.1超静定的概念超静定次数1次超静定2次超静定11.1超静定的概念超静定次数3次超静定11.1超静定的概念超静定次数3次超静定11.1超静定的概念静定基和相当系统基本静定系（静定基）

解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称静定基）相当系统

在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为超静定问题的相当系统。11.1超静定的概念静定基和相当系统静定基相当系统11.1超静定的概念静定基和相当系统静定基相当系统原系统静定基相当系统静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同的静定基，也有相应不同的相当系统。11.2拉压超静定和扭转超静定11.2拉压超静定和扭转超静定

求解超静定问题，除了要利用平衡方程，还需要根据多余约束对位移或变形的协调限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系。几何方程

变形协调方程

同时还需要建立力与位移或变形之间的物理关系。物理方程

本构方程

上述两类方程联立得到求解超静定问题所需要的补充方程。11.2拉压超静定和扭转超静定如图所示，求三杆的轴力若对点A分析，可知三杆的轴力与外力F构成平面汇交力系。平面汇交力系的独立平衡方程数是:2未知力个数是3因此这个结构是次超静定。111.2拉压超静定和扭转超静定得到结果是如果有若干根杆，结构是n次超静定,则总可以找到n个补充条件，相应建立n个补充方程(变形协调方程)。11.2拉压超静定和扭转超静定EA：抗拉刚度思考：超静定结构中，抗拉刚度大的构件承受载荷是大还是小？老子《道德经》“过刚者易折,善柔者不败”另一种理解：能力越强，责任越大11.2拉压超静定和扭转超静定例题11.1

如图所示结构，设横梁AB的变形可以省略，1、2杆的横截面面积相同，材料相同，求1、2杆的内力。11.2拉压超静定和扭转超静定(1)建立静力平衡方程(2)建立变形协调方程11.2拉压超静定和扭转超静定(3)物理方程代入几何方程联立静力学方程，求得：11.2拉压超静定和扭转超静定一般拉压超静定问题的基本步骤1、根据静力学原理列出独立的平衡方程；2、根据变形与约束应互相协调的要求列出变形几何方程；3、列出物理关系，这通常是胡克定律；4、从2、3两项得到补充方程；5、联立求解平衡方程和补充方程，即得到问题的解答。11.2拉压超静定和扭转超静定例题11.2

如图所示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C和D处承受外力偶矩Me的作用，试绘出该轴的扭矩图。11.2拉压超静定和扭转超静定一次超静定问题(1)建立静力平衡方程设AC、CD、DB各段的扭矩分别为T1

、T2

、T311.2拉压超静定和扭转超静定(3)建立物理方程及补充方程(2)建立几何方程11.2拉压超静定和扭转超静定(5)画出扭矩图(4)联立静力学方程求解变形协调关系11.3装配应力和温度应力11.3温度应力和装配应力1预应力

超静定杆或杆系中，如果某些杆的长度存在微小加工误差，则必须采用某种强制方法才能进行装配

在未加外力时杆内部已经存在应力，称为预应力或初应力

在工程实际中，常利用预应力进行某些工件的装配，称为装配应力。11.3温度应力和装配应力2温度应力

温度的变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但是超静定结构的变形受到部分或全部约束，当温度变化时，往往会引起内力。

静定情况11.3温度应力和装配应力

超静定情况F力随着温度的升高逐渐变大11.3温度应力和装配应力

由于超静定约束的作用，产生内力。内力引起杆件内的应力，这种应力称为热应力或温度应力。

如下图所示的蒸汽锅炉和原动机之间的管道，与锅炉和原动机相比，管道刚度很小，故可把A、B两端简化为固定端。11.3温度应力和装配应力温度的变化造成两个固定端水平反力由对称性很容易得出以下关系:拆除右端约束，假设允许杆件自由变形：al是材料的线膨胀系数。然后在右端作用FRB,杆件由于该力缩短。实际上由于两端固定，杆件长度不能变化，必须有11.3温度应力和装配应力碳钢的al=12.5×10-6℃-1，E=200GPa

可见，温度变化较大时，温度应力的数值便非常可观。为了避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力11.3温度应力和装配应力例题11.3

吊桥链条的一节由三根长l的钢杆组成，简化为如图所示的超静定结构，若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆略短于名义长度，且加工误差为d=l/2000,求各杆的装配应力。11.3温度应力和装配应力当把较短的中间杆与两侧杆一同固定于两端的刚体时，中间杆将受到拉伸，两端杆将受到压缩，最后在红色虚线所示位置，两杆的变形相互协调。设两侧杆的轴向压力FN1,中间杆的轴向拉力为FN2静力平衡方程有11.3温度应力和装配应力由图中可知上式联立静力平衡方程可求得:11.4简单超静定梁11.4

简单超静定梁

工程中有许多约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁，这种梁称为超静定梁。求解超静定梁的方法:1、在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与超静定梁完全相同的静定系统；2、求解相当系统在多于约束处的变形，并将相当系统与超静定梁相比较，找到多余约束处的变形协调条件，列出求解超静定梁所需的补充方程；3、联立求解静力平衡方程和补充方程得到超静定梁的约束反力；4、进行内力、强度、刚度分析。11.4

简单超静定梁例题11.4

如图所示双跨简支梁受集中力F作用，求约束反力，并画出剪力图和弯矩图。11.4

简单超静定梁1、以支座B为多余约束。解除约束B，代之以多余未知力FB，得到相应的静定基和相当系统。静定基相当系统2、在F单独作用下，查表得到截面B的挠度为3、在FB单独作用下，查表得到截面B的挠度为4、根据B点的实际挠度为011.4

简单超静定梁5、由静力学平衡方程6、作剪力图和弯矩图11.4

简单超静定梁课堂思考与练习

求下面的超静定梁固定端的约束反力。（利用结构的对称关系）提示：

1、固定端反力包括力和力偶。

2、为了求固定端的反力偶，可先求跨中点位置的弯矩，弯矩可利用跨中点的转角为0的条件建立变形协调方程求解。11.5用力法求解超静定问题*11.5用力法求解超静定问题

在求拉压、扭转超静定问题和梁的超静定问题的方法有一个共同特点：

以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求解未知约束力。可以把这些方法总结归纳成为统一的标准形式。11.5用力法求解超静定问题如图所示的圆形曲杆:解除B端的约束，加上多余约束支座反力X1以及外载荷得到相当系统F单独作用下，B端在X1方向上的位移D1FX1单独作用下，B端在X1方向上的位移D1X1B端实际在X1方向上的位移为011.5用力法求解超静定问题在计算D1X1时,可在静定基上沿X1方向作用一个单位力，设B点沿X1方向由单位力引起的位移记为d11在线弹性范围内有联