材料力学（第2版）课件：杆件的变形分析A

杆件的变形分析(A)DeformationPARTA杆件的变形分析（A）Deformation（PARTA）4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形4.2圆截面轴扭转时的变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形杆件承受轴向载荷，轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形或纵向变形；垂直于轴线方向的变形称为横向变形。纵向变形纵向应变当杆横截面上的应力不超过比例极限时EA：拉(压)刚度4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形横向变形横向应变

通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系泊松比各向同性材料：4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形只适用于杆件均匀变形只适用弹性范围只适用等直杆

若杆件横截面沿轴线缓慢变化，轴力沿轴线变化，作用线仍与轴线重合。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形直杆系一般杆件4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形西蒙•泊松Simeon-DenisPoisson法国数学家、几何学家和物理学家无神论者在固体力学中，泊松以材料的横向变形系数，即泊松比而知名。他在1829年发表的《弹性体平衡和运动研究报告》一文中，用分子间相互作用的理论导出弹性体的运动方程，发现在弹性介质中可以传播纵波和横波，并且从理论上推演出各向同性弹性杆在受到纵向拉伸时，横向收缩应变与纵向伸长应变之比是一常数，其值为四分之一。但这一数值和实验有差距，如1848年G.维尔泰姆根据实验就认为这个值应是三分之一。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形负泊松比材料通常认为,几乎所有的材料泊松比值都为正,约为1/3,橡胶类材料为1/2,金属铝为0.33,铜为0.27,典型的聚合物泡沫为0.11～0.14等,即这些材料在拉伸时材料的横向发生收缩。而负泊松比NegativePoisson’sRatio)效应,是指受拉伸时,材料在弹性范围内横向发生膨胀;而受压缩时,材料的横向反而发生收缩。

1987年,PoderickLakes把110×38×38mm的普通聚氨酯泡沫放入75×25×25mm的铝制模具中,进行三维压缩后再对其进行加热、冷却和松弛处理,得到的泡孔单元呈内凹(re-entrant)结构，首次通过对普通聚合物泡沫的处理得到具有特殊微观结构的负泊松比材料,并测得其泊松比值为-0.17。自此,这一领域内的研究开始蓬勃发展起来。文献检索:负泊松比材料的应用前景和价值？4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形例题4.1阶梯形直杆受力如图所示，杆各段的横截面面积分别A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，杆各段的长度如图，弹性模量E=200GPa。求杆的总伸长量。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形总伸长：4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形例题4.2

如图所示杆系结构，已知杆BD为圆截面钢杆，直径d=20mm，长度l=1m，E=200GPa；杆BC为方截面木杆，边长a=100mm，E=12GPa。载荷F=50kN。求点B的位移。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形

通过节点B的受力分析可以判断AB杆受拉而BC杆受压，AB杆将伸长，而BC杆将缩短。

因此，节点B变形后将位于B0点

由于材料力学中的小变形假设，可以近似用B1和B2处的圆弧的切线来代替圆弧，得到交点B3

故点B的位移近似等于BB3的距离。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形(1)计算轴力(2)计算变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形(2)计算点B的位移点B的位移4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形【讨论】(1)杆件变形是杆件在载荷作用下其形状和尺寸的变化，结构节点的位移指结构在载荷作用下某个节点空间位置的改变。(2)图解法求结构位移，“以切线代弧线”是以小变形假设为前提的。(3)求解结构位移的步骤:受力分析，求轴力；应用胡克定律求各杆变形；用“以切线代弧线”方法找出节点变形后的位置。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形【课堂讨论】试计算以下刚性梁AB的B处位移。其它杆件为弹性杆，刚度EA。（讨论计算思路）4.2圆截面轴扭转时的变形4.2圆截面轴扭转时的变形圆轴扭转变形计算公式相距l

的两截面之间的扭转角适用于等截面轴

相对扭转角若在长l的两横截面之间T为常量，则对于截面变化不大的圆锥截面轴同种材料阶梯轴扭转时:4.2圆截面轴扭转时的变形取单位长度扭转角

用来表示扭转变形的大小单位长度扭转角的单位:rad/m抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小转换为(°/m)4.2圆截面轴扭转时的变形例题4.3如图所示受扭圆轴，已知：Me1=1400N·m，Me2=600N·m，Me3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。4.2圆截面轴扭转时的变形1）根据题意，首先画出扭矩图2）AB段单位长度扭转角：3）BC段单位长度扭转角：综合两段，最大单位扭转角应在BC段为0.03978rad/m4.2圆截面轴扭转时的变形例题4.4

如图所示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭力矩m的作用。已知使其转动的外力偶矩Me