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第页第11讲导数中的恒成立与能成立问题考点1:恒成立问题1.,恒成立2.,恒成立3.,恒成立4.,恒成立5.,恒成立6.,恒成立7.,恒成立考点2:能成立问题1.,成立2.,成立3.,成立4.,成立5.,成立6.,成立考点3:恒成立与能成立综合问题1.,,成立2.,,成立3.,,成立题型目录:题型一:恒成立问题(单函数单变量)题型二:能成立问题(单函数单变量)题型三:恒成立问题(双函数单变量)题型四:能成立问题(双函数单变量)题型五:恒成立与能成立问题(单函数双变量)题型六:恒成立与能成立问题(双函数双变量不等式)题型一:恒成立问题(单函数单变量)【例1】已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)当时,恒成立,求的取值范围;【答案】(1);(2);【分析】(1)先求出,进而得到,,即可求解;(2)由时,恒成立,转化为对于恒成立,设,利用导数分析其单调性,即可求得,进而求解;【详解】(1)因为,所以,则,,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)由题意,当时,恒成立,即对于恒成立,设,则,令,则;令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,所以,即的取值范围为.【变式1】已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)由题意,求得,令,分类讨论,即可求得函数的单调区间;(2)由(1)根据函数的单调性,求得函数的最值,令,得到,即可求解.【详解】(1)定义域,,令,,当时,,,则在单调递增,当时,,,,,则在单调递增;,,,则在单调递减.综上述:当时,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减(2)由(1)可知,当时,在单调递增,又,不可能满足题意,舍去.当时,在单调递增,在单调递减.若恒成立,则,令,则,解得,即,故,综上述:.题型二:能成立问题(单函数单变量)【例2】已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在区间内至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据题意,求得,,利用导数的几何意义,即可写出切线方程;(2)对分离参数,构造函数,利用导数求得其单调性和最值,即可求得参数的范围.【详解】(1)当时,,,又,,故在点处的切线方程为:,即:.(2)因为,若,即,.令,则,当,,单调递减,故.若在区间内至少存在一个实数x,使得成立,故,则实数a的取值范围为.【变式2】已知函数,其中为实常数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)讨论的单调性;(3)若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)答案详见解析;(3)【分析】(1)利用切点和斜率求得切线方程.(2)求得,对进行分类讨论,由此求得的单调区间.(3)结合(2),对进行分类讨论,结合的单调区间、最值,求得的取值范围.【详解】(1),所以,所以切线方程为.(2)的定义域为,,当时,在区间递减;在区间递增.当时,,在上递减.当时,在区间递减;在区间递增.(3)由(2)知:当时,在上递减,,不符合题意.当时,在区间上,,依题意可知,解得.综上所述,的取值范围是.题型三:恒成立问题(双函数单变量)【例3】已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)【分析】(1)分类讨论,根据函数的导数分和求解;(2)分离参变量得到,讨论函数的单调性和最值求解.【详解】(1)函数的定义域为,,①当时,,所以在上为单调递减函数,②当时,令解得,令解得,所以在上为单调递减函数,在为单调递增函数.(2)由得,∴,令,,当时,时,,所以在单调递增,在单调递减,∴故.【变式3】设函数,,,已知曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求a的值;(2)求的单调区间;(3)若对成立,求b的取值范围.【答案】(1)2;(2)答案见解析;(3)【分析】(1)利用导数的几何意义可得关于a的方程,解方程即可得出答案;(2)对求导,分和讨论的正负,即可求出的单调性;(3)由恒成立,等价于,令,转化为求.【详解】(1)的定义域为,,由于直线的斜率为,.(2),,①当时,,在R上单调递增;②当时,令有,当时,,单调递减,当时,,单调递增.综上所述:,的单调递增区间为R,,的单调减区间为,的单调增区间为.(3)由恒成立,等价于,令(),,①若时,,所以在上单调递增,,即,满足,②若时,则,所以在上单调递增,当趋近于0时,趋近于,不成立,故不满足题意.③若时,令,,,,,单调递减,,单调递增,只需即可,,,令,,在上单调递增,,时,,,,所以在上单调递增,,即,综上:.题型四:能成立问题(双函数单变量)【例4】已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)当时,若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,在单调递减,当时,在单调递增;(Ⅱ).【解析】(I)先求得函数的定义域和导函数,对分成两种情况,讨论的单调区间.(II)构造函数,将问题转化为在上的最小值小于0来求解.利用导数讨论在区间上的单调性的最小值,由此求得的取值范围.【详解】(I)的定义域为所以,当时,,在上递减;当时,,所以,在上递增.(II)在上存在一点使成立,即函数在上的最小值小于0,.①当,即时,在上单调递减,所以在上的最小值为,由,得;②当,即时,,不合乎题意;③当,即时,的最小值为,故.此时不成立.综上所述,的取值范围是.【变式4】已知函数.(1)求函数在处的切线方程;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】(1)求导数,可得切线斜率,求出切点坐标,即可求函数在x=1处的切线方程;(2)构造函数,求导数,分类讨论,确定单调性,即可求实数的取值范围.【详解】(1)因为,所以故切线方程为,即(2)设令,解得,,对于方程,①若,即时,则,则在上单调递增又,即对,恒成立,不符舍去②若,即时,因为,所以可得在上单调递减,在上单调递增又,则要使存在,使得成立,必有即综上所述,a的取值范围为题型五:恒成立与能成立问题(单函数双变量)【例5】已知函数.(1)求函数的零点和极值;(2)若对任意,都有成立,求实数的最小值.【答案】(1)零点为1;极小值为,无极大值;(2)1【分析】(1)令,可得零点,由导数大于0,可得单调递增区间;导数小于0,可得单调递减区间,进而得到极小值无极大值;(2)对分进行讨论,讨论的最值或范围,即可得到的最小值为1.【详解】(1)依题意,因为,所以,令,解得,即零点为1;当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处,取得极小值,无极大值;(2)由(1)知为极小值也为最小值,当时,,当时,,若,令,,则,由于,所以,显然不符合题设要求;当时,,由,所以,当时,对任意,都有成立;综上可知,的最小值为1.【变式5】已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)存在,,使得,求的取值范围.【答案】(1)函数的单调递减区间为,递增区间为;(2).【分析】(1)对函数求导,求得、的解集即可得解;(2)转化条件为,对函数求导后可得函数在上单调递增,进而可得,令,结合导数求得即可得解.【详解】(1)当时,,则,令可得,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;所以函数的单调递减区间为,递增区间为;(2)因为存在,,使得,则当时,;因为,当,时,,所以;当,时,,所以;所以函数在上单调递增,所以,令,则,则,令,解得或(舍去),当时,,,函数单调递减;当时,,,函数单调递增;所以,所以满足题意的t的取值范围为.题型六:恒成立与能成立问题(双函数双变量不等式)【例6】设函数.(1)讨论的单调性;(2)设,当时,任意,存在使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2)【分析】(1)利用导数来研究函数的单调性,注意对参数进行讨论.(2)恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.【详解】(1)因为函数,所以函数定义域为:,且①当时,,令,令,所以当时,在上单调递减,在上单调递增;②当时,,因为,所以当时,,令,令或,所以当时,在,上单调递减,在上单调递增;当时,,所以当时,在上单调递减;当时,,令,令或,所以当时,在,上单调递减,在上单调递增;③当时,令,令,所以当时在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当时在上单调递减,在上单调递增;当时,在,上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减;当时,在,上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知当时,在上单调递增,所以,所以原问题,使得成立,使得成立.设,则,所以上单调递减,所以.所以即.【变式6】设函数.(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)函数,若对任意的,总存在使得,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【分析】(1)求导,根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可;(2)根据存在性和任意性的定义,结合导数的性质、(1)的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.(1),,①当时,恒成立,在上单调递增.②当时,恒成立,在上单调递减,③当时,,在单调递减,单调递增.综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,当时,在单调递减,单调递增.(2)由题意可知:在单调递减,单调递增由(1)可知:①当时,在单调递增,则恒成立②当时,在单调递减,则应(舍)③当时,,则应有令,则,且在单调递增,单调递减,又恒成立,则无解,综上,.导数中的恒成立与能成立问题课后练习1.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若对恒成立,求的取值范围;【答案】(1);(2)【分析】(1)对函数求导,利用导数的几何意义即可求解;(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数在的最小值问题,利用导数求解即可;【详解】(1)因,所以,所以所求切线方程为,即;(2)因为在上恒成立,而,令得所以①当,即时,,所以在上单调递增,则,满足题意;②当,即时,设,则的对称轴为,所以在上存在唯一零点,当时,,所以在上单调递减,故,不合题意.综上,k的取值范围为;2.已知函数(1)若,求的单调递增区间;(2)若存在正实数,使得,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,单调增区间为,当时,单调增区间为和,当时,单调增区间为和(2).【解析】(1)求,可以解得:,,讨论和的大小关系即可;(2)当,在上单调递减,所以存在;讨论当,,时的单调性,利用的最值即可判断.【详解】解:(1)令,解得:,,当,即时,,此时在R上单调递增;单调增区间为当,即时,令得:或,即或,此时单调增区间为和当,即时,令得:或,解得:或此时单调增区间为和(2),①当时,,在上单调递减,,又时,,,使得,②当时,若,即时,,在上单调递增,不满足,若,即时在是单减,在上单增令,,在上单增,且时,,此时,使得,当时,不满足题意.综上所述:3.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设函数,若对于任意,都有,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)求出函数定义域,利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解;(2)变形给定不等式,分离参数构造函数,求出在的最小值即可求解.【详解】(1)函数的定义域为,求导得,若,,函数在上单调递减;若,当时,,当时,,因此,函数在上单调递减,在上单调递增,综上:当时,函数在上单调递减;当时,函数的减区间为,增区间为.(2)令,于是恒成立,即恒成立,令,求导得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,因此,,则有,所以的取值范围是.4.已知函数,当时,的极小值为,当时,有极大值.(1)求函数;(2)存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)求导后,根据和,解得即可得解;(2)转化为,再利用导数求出函数在上的最大值,然后解不等式可得结果.【详解】(1)∵,由,得且,解得,,又,∴,∴;(2)存在,使得,等价于,∵,当时,,当时,,∴在上递减,在上递增,又,,∴在上的最大值为,∴,解得,所以的取值范围是.5.已知函数,.(1)若轴与曲线相切,求的值;(2)设函数,若对任意的,,求的最大值.【答案】(1);(2)【分析】(1)求函数的导数,设切点,利用导数的几何意义可得,且,解方程求得答案;(2)求出函数的导数,判断其正负确定函数的单调性,确定函数的最小值,比较函数在区间端点处的函数值,确定函数最大值,进而将对任意的,恒成立,转化为恒成立,从而求得答案.解析:(1)由题意得,,设x轴与曲线相切的切点为,则,且,即,显然,则,则,又,解得;(2)由题意得,则,由于,是单调增函数,,故当时,,递减,当时,,递增,故,又,则,令,则,由于,(当且仅当x=0时取等号),故,所以递增,则时,,故时,,即,即,即,故对任意的,恒成立,即恒成立,故,令,则,故单调递增,则即为,即,所以,故求a的最大值.6.设为实数,函数,.(1)若函数与轴有三个不同交点,求实数的取值范围;(2)对于,,都有,试求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】(1)先利用导数求得函数的单调区间和极值,再利用题给条件列出关于实数的不等式,解之即可求得实数的取值范围;(2)先求得在上的最小值,和在上的最小值,再依据题给条件列出关于实数的不等式,解之即可求得实数的取值范围(1),由,解得或;由解得,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,若函数与轴有三个不同交点,则,解得,所以若函数与轴有三个不同交点,实数的取值范围为;(2)对于,,都有,则,由(1)知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,,故当时,因为,且,则,故函数在上单调递减,故,由题意可得,故.所以实数的取值范围为.导数中的恒成立与能成立问题随堂检测1.已知函数(为常数).(1)讨论函数的单调性;(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在单调递增;(2)【分析】(1)求出导函数,分类讨论确定的正负得单调性;(2)分离参变量得在上恒成立,令,问题转化为求函数的最大值的问题,求解即可.【详解】(1)定义域为,,当时,在上恒成立,所以在上单调递增;当时,当时,;当时,,所以在上单调递减,在单调递增.(2)由题意知:在上恒成立,即:在上恒成立,令,则,由,得,当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,,只需,所以实数的取值范围是.2.已知函数.(1)若是的极值点,确定的值;(2)若存在,使得,求实数的取值范围.【答案】(1);
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