（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第03讲 数列求和方法（原卷版）

第第页第03讲数列求和方法一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．1.等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂项相消法1.通项特征（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘（2）根式：利用平方差公式进行有理化2.解题思路三．错位相减法1.通项特征或2.解题思路四．分组转化求和法1.通项特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，))且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2.解题思路五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和1.通项特征形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．2.解题思路五．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解1．并项求和时不能准确分组；2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．考法一裂项相消求和【例1-1】已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项．(1)分别求数列、的通项公式；(2)求数列的前项之和．【例1-2】已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.【一隅三反】1．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；(2)若，求的前n项和，并证明：．2．已知数列满足．(1)证明为等差数列，并的通项公式；(2)设，求数列的前项和．3.设为数列的前项和，已知，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求取值范围．考法二错位相减求和【例2】已知数列满足，（）.记(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【一隅三反】1．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2.记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．考法三分组转化求和【例3-1】已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【一隅三反】1．设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.考法四并项求和【例4-1】在数列中，，当时，(1)求证：数列是等差数列；(2)设，数列的前n项和为，求【例4-2】已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【一隅三反】1．已知数列的前项和，其中，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.2．记为数列的前项和，已知，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.考法五倒序相加求和【例5】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【一隅三反】1．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20202．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．数列章节检测一、单选题1．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．722．设是公差大于零的等差数列，为数列的前项和，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在等比数列中，公比，且，则（

）A．3 B．12 C．18 D．244．已知数列各项为正数，满足，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列5．已知正项数列的前n项和为，且，，则（

）A．B．C．D．6．已知函数，数列满足，，，则（

）A．0 B．1 C．675 D．2023二、多选题7．对于数列，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．8．已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（

）A．取最大值时， B．当取最小值时，C．当取最大值时， D．的最大值为三、填空题9.已知数列满足，数列的前项和为，则.10．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是.四、解答题11．在①为等差数列，；②；③是等差数列，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知数列的前项和为，__________.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.12．已知为数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：．13．已知数列中，，，（），，，，成等差数列．(1)求k的值和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．数列求和随堂检测1.已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．2.在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前n项和，则（

）A．B．C．数列为递减数列D．3.已知数列满足，，则数列的通项公式为．4.已知数列是等差数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．5.已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．5.已知数列的前项和为，且，，．(1)