（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第02讲 解三角形（教师版）

第第页第02讲解三角形一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形边化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化边：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面积公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．三．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盘点易错易混1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的选用1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面积问题1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一常见的边角互换模型【例1-1】在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（

）A．B．1C．D．【答案】B【解析】由可得，再由余弦定理可得：，故，因为，所以则.故选：B.【例1-2】已知的内角的对边分别为，设，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，显然，则，，所以.故选：C【一隅三反】1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，因为，所以由余弦定理得，因为，所以.故选：B2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（

）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】因为，根据正弦定理得，移项得，即，即，则根据正弦定理有．故选：D.3．（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，故A正确，B错误；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.考法二三角形的周长与面积【例2-1】在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.【答案】【解析】因为，所以由正弦定理可得所以，因为所以因为，则，则，所以为等边三角形，故的面积故答案为：【例2-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）∵，所以，，则，整理得，又，∴，而，∴；（2），由余弦定理得，，是中点，则，在中由余弦定理得，，在中由余弦定理得，，，，∴，解得，所以的周长为．【一隅三反】1．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】（1）依题意，有，由正弦定理，得，则.，，C为钝角，（舍去），，即，因为C为钝角，所以B为锐角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面积，解得，，由正弦定理，得，，的周长为.考法三三角形的中线与角平分线【例3-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由正弦定理得，.因为，所以，所以，即.又，则，所以.（2）选择条件①：因为，所以，，.选择条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以，则，解得.【例3-2】已知为的内角所对的边，向量,，且．(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以．由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因为，所以.（2），解得，因为，则，所以，.【一隅三反】1.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.(1)求角C的大小；(2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知可得，,整理得，，因为，所以，所以，即，因为，所以.（2）由题意得，,即，所以.法一：在中，，所以.在中，，所以，即，将代入整理得，解得或.若，则，，,，所以在中，得,同理可得,即和都为钝角，不符合题意，排除.所以，，.法二：因为，所以，所以.因为，所以，所以.2.设的内角所对的边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若，边上的中线，求的面积．【答案】(1)(2)6【解析】（1）由题意利用正弦定理可得．．，，即．（2）．由中线，得，．考法四三角形中的取值范围【例4-1】在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以由正弦定理得，即，因为，，所以，所以，即，因为，即，解得.故选：A.【例4-2】在中，，则的最小值（

）A．-4B．C．2D．【答案】A【解析】在中，，所以，，所以，因为，所以，所以，，则的最小值为.故选：A【例4-3】已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．(1)求；(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）若选，因为，所以，可得，又因为，所以．若选，因为，所以，整理可得，解得或，又因为，可得，所以,所以．若选，因为，所以由正弦定理可得，又因为为三角形内角，，所以，可得，又因为，，所以，可得．（2）因为，所以，因为是的中点，所以，平方得，所以因为，所以时，，可得，所以，可得，故线段长的取值范田为【一隅三反】1.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为____.【答案】/【解析】因为，的平分线交于，且，由，即，整理可得，所以，，因此，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.2.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大小；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得：，代入，∴，又，∴，而0<C<，则，∴，故.（2）由正弦定理得：，，因为为锐角三角形，所以，，由内角和为，则，所以，则，周长为，故的取值范围为.3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由正弦边角关系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，则.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面积法可得，则，∵，∴，故，则，所以，故.考法五三角形解的个数【例5】由下列条件解，其中有两解的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】对于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解，所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解；对于C，因为，由正弦定理得，即，所以，所以角有两个解，即有两个解；对于D，因为，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一个解，即只有唯一解.故选：C【一隅三反】1.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．2.在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（

）①；②；③；④.A．①②B．②③C．②④D．②③④【答案】B【解析】对于①，因为，所以或，故①错误；对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定，故②正确；对于③，因为，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一确定，故③正确；对于④，因为，所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误.故选：B.考法六正余弦定理在几何中应用【例6-1】如图，在中，，点在边上，．(1)求的长；(2)若的面积为，求的长．【答案】(1)6(2)6【解析】（1），，且，根据正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．【例6-2】如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；(2)求的值及的长度.【答案】(1)(2)，【解析】（1）∵，，，，;（2），，，则.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，.【一隅三反】1．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）问，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面积.2.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．【答案】(1)为定值，定值为1；(2)14【解析】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以当长度变化时，为定值，定值为1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化简得，即，所以当长度变化时，为定值，定值为1；（2），令，所以，所以，即时，有最大值为14．平面向量与解三角形章节测试一、单选题1．在中，若，则一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D【分析】由余弦定理化简计算即可.【详解】由及余弦定理得：，即.故选：D2．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【详解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正确，D错误.又，所以，则三角形为等边三角形，所以，则，故A错误.故选：C.3．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（

）A．B．C．2D．4【答案】A【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，，则，

设，则，且，在中，，则，在中，，则，又，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以，则，即，又，故当，时，.故选：A4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：，化简得：，又，则.又，则，.因，则，，则在MAC中，，解之：.则，则MAC中，边对应高，则MAC面积．二、多选题5．在△ABC中，已知a＝2b，且，则（

）A．a，c，b成等比数列B．C．若a＝4，则D．A，B，C成等差数列【答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得，再结合条件，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为，所以，即，即.对选项A，因为，所以、、成等比数列，故A正确；对选项B，因为，，即，所以，即，故B正确；对选项C，若，则，，则，因为，所以.故，故C正确.对选项D，若、、成等差数列，则.又因为，则.因为，设，，，，则，故D错误.故选：ABC6．在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（

）A．B．2C．D．【答案】ACD【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：，即有，而，则，又，由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，由正弦定理有：，即，，又是锐角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，结合选项，的可能取值为，，.故选：ACD三、填空题7．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为.【答案】【分析】将用表示，再平方可求得，再由结合二次函数得性质即可得解.【详解】由，得，则，所以，则，当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.8．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得，其中，结合范围，由于有最大值，可求，进而求解的取值范围.【详解】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.当，即时，，没有最大值，所以，则，其中，要使有最大值，则要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：四、解答题9．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的最大值.【详解】（1）解：因为，所以，，且，由正弦定理可得，即，因为，则，则，又因为，故.（2）解：由余弦定理，可得.当且仅当时取得等号，所以.所以，面积，所以，面积的最大值为．10．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，再结合同角的三角函数关系求得，即得答案；选②，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式化简可得，即得答案;（2）由正弦定理分别求得的表达式，结合两角差的正弦公式化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案.【详解】（1）选①，由正弦定理可得，即，因为，故，又，故.选②，由正弦定理得，即，即，即，而,故，又，故.（2）因为，故，在中，，得,在中，,得,故，而，所以，由题意知，故，即的取值范围为.11．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；（2）先求得的面积为，再设，，根据余弦定理与基本不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，又，所以.（2）因为，，所以的面积为所以的面积为.设，，所以，即，由余弦定理知，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解；（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，又，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故，又，所以，因为，所以．（2）由（1）得，所以由余弦定理得，记，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即，故，则，所以，即．解三角形随堂检测1．中，是角的对边，，则此三角形有（

）A．一个解B．2个解C．无解D．解的个数不确定【答案】B【解析】】∵中，，∴根据正弦定理，得，∵B为三角形的内角，，则有或，∴三角形的解有两个．故选：B．2.在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.3.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（

）A． B． C．