2024-2025学年四川省成都市教育科学研究院附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都市教育科学研究院附中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为k：3：5，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为(

)A.750 B.300 C.450 D.1502.某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高(单位：cm)数据按从小到大排序如下：

162 162 163 165 165 165 165 167 167 167

168 168 170 170 171 173 175 175 178 178

则这20名队员身高的第75百分位数为(

)A.171 B.172 C.173 D.1743.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是(

)A.23 B.12 C.134.到直线l：x+2y−1=0的距离为5的点的坐标是(

)A.(−1,0) B.(−1,3) C.(4,1) D.(6,−2)5.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1A.12a+12b+c

B.6.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为(

)A.若A，B是对立事件，则P(AB)=1

B.若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A+B)=16

C.若D.若P(A−)=13,P(B7.若向量a=(1,λ,1)，b=(2,−1,−2),且a与b的夹角余弦为26，则λA.−2 B.2 C.−28.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是A.1825 B.725 C.6475二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间直角坐标系O−xyz中，已知A(1,2,−1)，B(0,1,1)，下列结论正确的有(

)A.|AB|=4

B.OA⋅OB=1

C.若n=(4,2,t)，且n⊥AB，则t=310.已知直线l1：ax+y−3a=0，直线l2：2x+(a−1)y−6=0，则(

)A.当a=3时，l1与l2的交点为(3,0) B.直线l1恒过点(3,0)

C.若l1⊥l2，则11.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙(数量均为1)，进行标号为1～6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为a1，第二次为a2，设A=[a1a2]，其中A.P(a1+a2=5)=14 B.事件a1=6与A=0互斥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是9，10，9，8，9，则该组数据的方差______．13.已知空间向量a=(2,2,2)，b=(2,−1,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是______．14.空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，过点P(x0,y0,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：

(1)点数之和是7的概率；

(2)点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．16.(本小题15分)

△ABC的三个顶点分别是A(4,0)，B(0,2)，C(3,1)．

(1)求边AB上的中线所在直线的方程；

(2)求△ABC的外接圆G(G为圆心)的标准方程．17.(本小题15分)

2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；

(2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x1−，s12；n，x2−，s218.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1．

(1)求证：DM//平面PAB；

(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；

(3)求点C到平面PDE的距离．19.(本小题17分)

球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设O0表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆O3，O2的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C−OA−B，A−OB−C，B−OC−A分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为S球面△ABC=(α+β+γ−π)R2．

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；

(2)若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ3，

①求证：cosθ1+cosθ2−cosθ3=1；

②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为π4,π参考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.B

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABC

11.BCD

12.2513.(414.(1,−1,1)

215.解：(1)列表可得：1234561╳╳╳╳╳√2╳╳╳╳√╳3╳╳╳√╳╳4╳╳√╳╳╳5╳√╳╳╳╳6√╳╳╳╳╳设样本空间为Ω，则n(Ω)=36，

记“点数之和是7”为事件A，可知n(A)=6，

所以P(A)=n(A)n(Ω)=6361234561╳√╳√╳√2√╳√╳√╳3╳√╳√╳√4√╳√╳√╳5╳√╳√╳√6√╳√╳√╳记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件B，可知n(B)=18，

所以P(A)=n(A)n(Ω)16.解：(1)设线段AB的中点为D，又A(4,0)，B(0,2)，

由中点坐标公式，可得AB的中点D(2,1)，

又因为C(3,1)，

所以AB边上的中线所在的直线方程为y=1；

(2)法(i)设圆G的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，r>0，

因为A(4,0)，B(0,2)，C(3,1)三点都在圆上，

所以(4−a)2+(0−b)2=r2(0−a)2+(2−b)2=r2(3−a)2+(1−b)2=r2，解得a=0，b=−3，r2=25，

所以即x2+(y+3)2=25．17.解：(1)由频率分布直方图可知，(0.005+a+0.045+0.02+0.005)×10=1，

解得a=0.025，

所以估计这100名候选者面试成绩的平均数为x−=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5；

(2)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为x1−=62,x2−=80，s12=40,s2218.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，

又因为AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，

以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

依题意可得，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(2,1,0)，M(1,2,1)，

则DM=(1,0,1)，

不妨取AD=(0,2,0)是面PAB的一个法向量，

因为DM⋅AD=1×0+0×2+1×0=0，所以DM⊥AD，

又因为DM⊄平面PAB，所以DM/​/平面PAB；

(2)解：PB=(2,0,−2)，PD=(0,2,−2)，DE=(2,−1,0)，

设平面PDE的一个法向量n=(x,y,z)，则由n⊥PD，n⊥DE，

可得n⋅PD=0n⋅DE=0，即2y−2z=02x−y=0，取x=1，则y=z=2，

所以平面PDE的一个法向量n=(1,2,2)，

设直线PB与平面PDE所成角为θ，

则sinθ=|cos〈PB,n〉|=19.解：(1)若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有α=β=γ=π2，

所以球面三角形ABC面积为S球面△ABC=(α+β+γ−π)R2=π2R2．

(2)①证明：由余弦定理有：AC2=R2+R2−2R2cosθ1BC2=R2+R2−2R2cosθ2AB2=R2+R2−2R2cosθ3，且AC2+BC2=AB2，

消掉R2，可得cosθ1+cosθ2−cosθ3=1；

②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD，

且AC⊥BC，CD∩BC=C，CD，BC⊂平面BCD，

所以