重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（）A．我 B．爱 C．中 D．国2．下列式子中，是分式的是（）A．1x B．12x C．−3．下列计算正确的是（）A．(a−b)2=aC．(−a3)⋅4．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（）A．∠A=∠D，∠B=∠DEF B．BC=EF，AC=DFC．AB⊥AC，DE⊥DF D．BE=CF，∠B=∠DEF5．已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣56．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．117．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2−bC．(a−b)2=a8．已知a+b=5，ab=−2，则a2A．30 B．31 C．32 D．339．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处 B．AD的中点处C．A点处 D．D点处10．阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到(a−1a)2=1，再根据完全平方公式计算得：a2A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题11．要使分式m3m−2有意义，则m12．若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为．13．因式分解a2+a−6的结果是14．若等腰三角形的一个角为80∘，则它的另外两个角的度数分别为15．如图，△ABC≅△A'BC'，∠ABC=66°，∠C=40°，此时点A恰好在线段A16．如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'的位置，AB'与CD交于点E．若AB=8，AD=317．若关于x的一元一次不等式组x+52≥5x3−1x+a<8的解集为x≤3，且关于y的分式方程18．对于一个四位数M，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数M为“等合数”．例如：数3465，∵3+6=4+5，∴3465是“等合数”，数2364，∵2+6=8，3+4=7，∴2+6≠3+4，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为；若“等合数”M各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M'，若F(M)=|M−M'|三、解答题19．（1）分解因式：x3（2）化简：(y+2)(y−2)−(y−1)20．学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果∠C=90∘，∠B=30∘，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同．小山认为可以先作∠A的平分线交BC于点D，然后再过点D作（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN交BC于点D，垂足为点E．（只保留作图痕迹）（2）已知：如图，△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，边AB的垂直平分线MN交BC于点D，垂足为点求证：S△ADC证明：∵∠C=90∴∠CAB=▲，由作图可知AE=BE，DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=∠C=90∴△EDA≌△EDB(SAS)，∵DE垂直平分AB，∴DA=▲，∴∠DAE=▲，∴∠DAC=∠CAB−∠DAE=60∴∠DAC=▲，∴△EDA≌△CDA(AAS)，∴△EDA≌△EDB≌△CDA．∴S21．先化简，再求值：(x+2x222．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C．第一步又OA=OA，OB=OC，∴△ABO≌△ACO第二步∴∠1=∠2第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．23．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？24．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=30∘，（1）求从海岛B到灯塔C的距离；（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？25．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴x轴上，且∠ACB=90∘，（1）如图1，A(0，−2)，C(1，0)，当点（2）如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，请猜测线段AE与线段BD之间存在怎样的数量关系？并写出证明过程；（3）如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断①OC+BDOA与②OC−BDOA中是定值（只填序号），定值为26．在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，点D为AB的中点，点（1）如图1，当点E在线段BD上时，若BC=33，BE=3，求线段（2）如图2，当点E在线段AD上时，以CE为边作等边△CEF，点G是BC上一点，EC=EG．求证：AE=CG．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A，B、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.故答案为：C.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．2．【答案】A【解析】【解答】解：1x是分式，所以A符合；12x是单项式，它是整式，不是分式，所以B不符合；−故答案为：A.

【分析】根据分式的意义，对四个项中的式子逐一分析，再作出判断.3．【答案】D【解析】【解答】解：(a−b)2=a2−2ab+b2，所以A错误；

a故答案为：D.

【分析】对各个式子分别计算，再作出判断.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEF，B、∵BC=EFAB=DEAC=DF，C、由AB⊥AC，DE⊥DF可得∠A=∠D，这样只有一对角和一对边相等，无法判定两个三角形全等，故符合题意；D、由BE=CF可得BC=EF，∵AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，故答案为：C．【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．5．【答案】A【解析】【解答】解：点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），

∴a=3，b=2，

∴a＋b=5，

故答案为：A.

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到a、b的值，进而得到答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故答案为：A．【分析】由多边形的外角和是360°，一个多边形的内角和是外角和的3倍，可求得多边形内角和；由多边形内角和公式180°•（n-2）构造方程即可求出n的值。7．【答案】D【解析】【解答】解：图1可表示为a2−b2，图2可表示为故答案为：D.

【分析】根据图1，图2，分别得出可表示的式子，再作判断.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵a+b=5，ab=−2，∴a2−ab+b故答案为：B.【分析】根据完全平方式的变形可得a29．【答案】A【解析】【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，当B、P、E在一条直线上时，△PCE的周长最小，∵BE、AD都为中线，∴点P为△ABC的重心.故答案为：A.【分析】连接BP，根据等边三角形的性质可得AD是BC的垂直平分线，则PB=PC，进而将△PCE的周长转化为EC+EP+BP，故当B、P、E在一条直线上时，△PCE的周长最小，据此解答.10．【答案】B【解析】【解答】解：x2−2x−1=0，两边同时除以x，得x−2−1x=0，移项，得x−1x故答案为：B.

【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.11．【答案】≠【解析】【解答】解：要使分式m3m−2有意义，只需3m-2≠0，解得m≠故答案为：≠2

【分析】根据使分式有意义的条件，列出不等式求解.12．【答案】800°/800度【解析】【解答】解：由题意得

∵七边形的内角中有一个角为100°，

∴其余六个内角之和为（7-2）×180°-100°=800°，

故答案为：800°/800度

【分析】根据n边形的内角和等于（n-2）×180°即可求出总和，再减去已知的角即可求解。13．【答案】(【解析】【解答】解：-6=3×(-2)，a2+a−6=故答案为：(a+3

【分析】将常数项分解为和为一次项系数即可.14．【答案】50°，50°或20°，80°．【解析】【解答】解：当等腰三角形的顶角为80∘时，两个底角都为12180∘-80故答案为：50°，50°或20°，80°.

【分析】分“等腰三角形的顶角为80∘与等腰三角形的底角为15．【答案】32°【解析】【解答】解：∵∠ABC=66°，∠C=40°，

∴∠BAC=180°-66°-40°=74°，

∵△ABC≌△A'BC'，

∴∠A'=∠BAC=74°，AB=A'B，

∴∠A'=∠BAA'=74°，

∴∠ABA'=180°-74°×2=32°．故答案为：32°.

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再利用全等三角形的性质求得∠A'和AB=A'B，接着利用等腰三角形的性质得出∠A'=∠BAA'=74°，最后利用三角形内角和定理求出∠ABA'.16．【答案】22【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴B'C=BC=AD，∠B'=∠B=∠D=90°

∵∠B'EC=∠DEA，

在△AED和△CEB'中，

∠B'ED＝∠DEA∠B'＝∠DB'C＝AD

∴△AED≌△CEB'（AAS），

∴EA=EC，AE=CE，DE=EB'，

∴点E在线段AC的垂直平分线上，

∵将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B'的位置，

∴CB'=BC=AD，

∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB'+B'C+EC，

=AD+DE+EC+EA+EB'+B'C，

=AD+DC+AB'+B'故答案为：22.

【分析】先利用AAS证明△AED≌△CEB'，再说是点E在线段AC的垂直平分线上，结合折叠的性质求出阴影部分的周长.17．【答案】7【解析】【解答】解：x+52≥5x3−1①x+a<8②

由①得：

3（x+5）≥10x-6，

3x+15≥10x-6，

3x-10x≥-15-6，

-7x≥-21，

x≤3，

由②得：x＜8-a，

∵关于x的一元一次不等式组x+52≥5x3−1x+a<8的解集为x≤3，

∴8-a＞3，

解得：a＜5，

方程a2−y+yy−2=−1两边同时乘y-2得：

-a+y=-（y-2），

解得y=2+a2.

∵关于y的分式方程a故答案为：7.

【分析】先根据不等式组的解求得a的范围，再根据分式方程解为正数，进一步求得a的范围，综合得出a的范围后求出整数a的值，再求求.18．【答案】9999；1265【解析】【解答】解：由“等合数”的定义可得最大的“等合数”为9999；

设“等合数”M为abcd，

∴a+c=b+d，即a-d=b-c，

F(M)=|M−M'|9=|1000a+100b+10c+d−1000d−100c−10d−a|9=|999a+90b−90c−999d|9=121|a-d|，

∵F(M)=|M−M'|9为完全平方数，

∴a-d=b-c=±1或±4，

∵19．【答案】（1）解：x=x=x(x+3)(x−3)；（2）解：(y+2)(y−2)−===2y−5【解析】【分析】(1)先求出公因式，再利用平方差公式分解因式；

（2）先利用平方差公式与完全平方公式展开，再去括号后合并同类项.20．【答案】（1）解：如图所示，（2）证明：∵∠C=90∴∠CAB=60°，由作图可知AE=BE，DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=∠C=90∴△EDA≌△EDB(SAS)，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAE=∠B，∴∠DAC=∠CAB−∠DAE=60∴∠DAC=∠DAE，∴△EDA≌△CDA(AAS)，∴△EDA≌△EDB≌△CDA．∴S【解析】【分析】(1)分别以A、D为圆心，大于AB的一半为半径作圆弧，再将两个弧的交点用直线连结即可；

（2）根据作法，结合垂直平分线性质与全等三角形的判定填空.21．【答案】解：(=(=x−4=1(x−2)当x=12时，原式=【解析】【分析】先将小括号内的分式化简，再作除法，化简后，将x代入求值.22．【答案】（1）二（2）证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°，在△DOB和△EOC中，∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOC∴△DOB≅△EOC(AAS)，∴OD=OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=OAOD=OE∴Rt△ADO≅Rt△AEO(HL)，∴∠1=∠2．【解析】【解答】解：（1）∵SSA不能证明两三角形全等，

∴小虎同学的证明过程中，第二步出现错误.

故答案为：二.

【分析】（1）由证明过程可知SSA不能证明两三角形全等，即可作出判断.

（2）利用邻补角的定义可知∠BDC=∠CEB，利用AAS证明△DOB≌△EOC，利用全等三角形的对应边相等可证得OD=OE，再利用HL证明△ADO≌△AEO，利用全等三角形的性质可证得结论.23．【答案】（1）解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170−x)份，由题意知，15x+20×(170−x)=3000，解得，x=80，∴170−x=90，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；（2）解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.由题意知，12601解得a=60，经检验，a=60是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170−x)份，根据“该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元”即可列出方程，进而即可求解；

（2）设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，根据“该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多24．【答案】（1）解：由题意得：AB=15×(10−8)=30（海里），∵∠NAC=30∘，∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=30°，∴∠ACB=∠NAC，∴AB=BC=30（海里），∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC=90°，∵∠NBC=60°，∴∠PCB=180°−∠BPC−∠CBP=30°，∴在Rt△CBP中，PB=1∵15÷15=1，10+1=11．∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB=60°-30°=30°，

根据等腰三角形的性质得到结论；

（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．25．【答案】（1）解：过点B作BD⊥OD于D，∵A(0，−2)，∴OA=2，OC=1，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠OAC，在△AOC和△CDB中，∠COA=∠BDC=90°∠OAC=∠BCD∴△AOC≌△CDB(AAS)，∴CD=OA=2，BD=OC=1，∴点B坐标为(3，（2）解：BD=2AE，理由如下：延长BC，AE交于点F，∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=22.5°，在△ACF和△BCD中，∠DAE=∠CBDBC=