数字信号处理-课件 陈天华 第1-4章 数字信号处理概述 - DFT离散傅里叶变换

2024/12/2218:16课程：数字信号处理

第1章数字信号处理概述

课程基本信息

课程性质：必修课课程地位：电子信息类和IT类专业的重要专业课各重点大学硕士、博士考试课程之一总学时：48

授课：36

上机：12课程：数字信号处理

教材：数字信号处理，陈天华，清华大学出版社2024/12/2218:16绪论课讲什么？2024/12/2218:161）信号处理学科的内容发展概貌2）数字信号处理课程的基础概念1-1数字信号处理的基本概念第1章数字信号处理概述（绪论）1.信号及系统

信号——带有信息的随时间和空间变化的物理量或物理现象。信号是信息的物理表现形式，或者说是传递信息的函数，而信息则是信号的具体内容。2024/12/2218:161）信号的分类根据不同应用目的，对信号有各种不同的分类方法，同一信号，从不同角度分类，可以归于不同的类别。常用的信号分类方法有以下几种：（1）按变量个数分类可以分为一维信号、二维信号和多维信号。信号的变量可以是时间、频率、空间或其它物理量（2）按周期性分类可以分为周期信号和非周期信号。（3）根据信号概率特征分类可以分为确定信号和随机信号。若信号在任意时刻具有确定的取值，则称为确定信号；若信号在任意时刻的取值不能确定，则称为随机信号。（4）根据能量特性分类可以分为能量信号和功率信号两类。若信号的能量E为有限值，则称为能量信号；若信号的功率P有限值，则称为功率信号。

（5）按载体分类可以分为电信号、磁信号、声信号、光信号、热信号、机械信号。（6）根据变量的连续性分类可以分为模拟信号、连续时间信号、离散时间信号和数字信号。变量和函数的取值均有连续与离散两种，因此，信号可以分为以下四种情况：模拟信号：时间和幅值均是连续的信号。连续时间信号：自变量时间是连续的信号。离散时间信号（或称序列）：自变量时间是离散的信号。数字信号：时间离散、幅值量化的信号。一般情况下，连续时间信号和模拟信号不加严格区分，经常通用；2024/12/2218:16但通常情况下：（2）离散时间信号和数字信号也不加严格区分，经常通用；虽然根据定义，连续时间信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号是不同的（1）连续时间信号和模拟信号不加严格区分，经常通用；2024/12/2218:162）信号的描述

信号需要加以描述才可以进行研究和掌握其规律，进而为人类所认识和利用。

信号的描述方法多种多样，常用的方法主要包括数学描述、图像（波形）描述两种。

数学描述：指将信号表示为一个或若干个自变量的函数、数列或表格的形式。

图像描述：指根据信号随自变量变化的函数关系，将信号的波形绘出。2024/12/2218:162.信号处理

数字信号处理是指根据需要用专用或通用计算机，以数字计算的方式对信号进行处理与变换，如信号的滤波、变换、检测、谱分析、估计、压缩、识别等一系列的运算和分析，以获取应用所需要的信号，从而达到便于提取信息或便于利用。DSP(DigitalSignalProcessing)是近几十年发展起来的一门新兴学科。DSP另一种含义：DigitalSignalProcessor指DSP处理器。1.2数字信号处理系统

2024/12/2218:161.DSP系统的组成

（1）数字信号处理系统的一般组成框图如下所示：

（2）各单元的作用2024/12/2218:16

前置预滤波器：滤除高于某一频率的信号，防混迭失真。

A/D变换器：完成抽样和量化，实现数字化。如下图所示：2024/12/2218:16抽样量化信号处理数字信号处理器的作用：

2024/12/2218:16D/A变换器：模拟滤波器：0y(t)2024/12/2218:162024/12/2218:162.数字信号处理的实现2）硬件实现：①专用DSP芯片实现②通用DSP芯片实现③其它硬件方式实现数字信号处理器的实现既可以采用硬件芯片实现，也可以采用软件算法实现。1）软件实现：

指采用通用的计算机或微机等设备，通过软件代码实现对输入信号进行运算和处理，实现预定的数字信号处理功能1)专用DSP芯片：专门应用设计，用途单一3）DSP常用芯片2)通用DSP芯片：用途较广泛，价格便宜如：TMS320C2000系列TMS320C5000系列TMS320C6000系列ADSP21系列2024/12/2218:16附注：DSP芯片的主要特点

1）采用哈佛体系结构：程序与数据的存储空间分开，各有各的地址总线和数据总线

2）一个指令周期内可以完成一次乘法和加法运算

3）片内具有快速RAM，通常可通过独立的数据总线同时访问两快芯片4）快速的中断处理和硬件I/O支持5）可以并行执行多个操作6）具有在单周期内操作的硬件地址产生器7）具有低开销和零开销循环及跳转的意见支持8）支持流水线操作，指令、译码和执行等都可以流水执行2024/12/2218:161-3

数字信号处理学科概貌（研究内容）2024/12/2218:16

1.研究内容

1）信号的采集

实现信号的数字化，包括取样、量化。2）信号的分析

信号描述与运算，各种变换，时域、频域分析。3）系统分析线性系统与非线性系统，时变系统与非时变系统，线性时（移）不变系统，因果系统与非因果系统，线性时（移）不变因果系统。4）快速算法

FFT,WFT，快速卷积、相关算法。5）数字滤波技术(1)IIR数字滤波器的分析与设计；(2)FIR数字滤波器的分析与设计。6）信号的频谱分析与估值确定信号：谱分析；随机信号：相关计算、谱估计。7）特殊算法反卷积，信号重构。8）数字信号处理的实现(1)在通用微机上，用软件实现;(2)用单片机实现;(3)专用数字信号处理芯片DSP。2024/12/2218:162.数字信号处理的特点2024/12/2218:16

1）精度高模拟系统：由元器件确定（10-3）；数字系统：由字长确定。如14位字长即可以达到10-4的精度。2）灵活性高数字系统的性能主要由乘法器的系数决定。3）可靠性高只有“0”和“1”两个电平，受温度噪声影响小。4）容易集成规范性高，电路参数要求不高。5）时分复用：利用数字信号处理器同时处理几个通道的信号。2024/12/2218:166.可获得高性能指标如频谱分析：模拟方法低端只能达到10Hz;数字方法可做10-3Hz的谱分析.7.便于二维与多维处理用存储一祯或数祯图象信号，实现二、多维处理。8.速度高体积小数字信号处理器不仅运算速度高，而且体积小。2024/12/2218:16

1-4应用领域与发展方向2024/12/2218:16

1.应用领域

航空航天（神州五号、勇气号、机遇号等）

通信领域（手机、局端设备、ADSL、3G等）

地理信息系统（GPS等）

图形图象处理（几乎全部数字图象处理）

滤波与变换（生物信号的滤波、ECG信号分析）

医疗器械（如：B超、CT、核磁共振）

仪器仪表及工业控制领域（电力控制2812系列）

军事科学（扩频通信、卫星通信等）

语音分析与处理（语音信号的分析与模拟）2024/12/2218:162.发展方向

1-4应用领域与发展方向

物联网和设备个性化是当前信息化和数字化的特征，目前，硬件在朝更小面积、更低功耗和更高性能的高集成度解决方案上发展，DSP芯片业开始从纯粹的DSP芯片供应商向广义的DSP解决方案供应商转变。（1）智慧信息处理。即信号处理、通信和智能算法融合，其核心是数字信号处理技术，它将智能技术、通信技术、数字多媒体技术紧密结合在一起，并将用于各类消费电子产品的设计与生产之中。（2）网络融合。将卫星网、物联网、公用电信网及各种专用网络更好地结合在一起，并与家用信息设施相匹配。（3）个人信息终端。将个人通信系统与个人数字助理自然地结合在一起，以实现无时不有、无处不在的通信功能。（4）DSP内核结构提升。DSP的结构主要是针对应用，并根据应用优化DSP设计以极大改进产品的性能。2024/12/2218:16

（5）超高速和超微尺寸。在硬件方面，由于电子设备的个人化趋势，DSP追求更高更快的运算速度是硬件技术的方向与趋势。DSP体系结构的优点是尺寸小、功耗低、性能高。（6）DSP和微处理器的融合。微处理器是低成本的，主要执行智能定向控制任务的通用处理器能很好执行智能控制任务，而信号处理能力较弱，DSP的功能与之相反。未来趋势是应用中均需要同时具有智能控制和数字信号处理两种功能。（7）定点DSP技术。虽然浮点DSP的运算精度更高、动态范围更大，但定点DSP器件的成本较低，对存储器的要求也较低，而且耗电更省。（8）DSP与可编程器件融合。FPGA和DSP集成在一块芯片上，可实现宽带信号处理，大大提高信号处理速度。本课程的特点2024/12/2218:161.数学工具多涉及数学分析，概率论，数理统计，随机过程，高等代数，数值分析，积分变换，复变函数等。

2.要求基础好网络理论、信号与系统是本课程的理论基础。

3.与其它学科密切相连既与最优控制、通信理论、故障诊断、计算机、微电子技术密不可分，又是人工智能、模式识别、神经网络等新兴学科的理论基础之一。数字信号处理涉及的主要基础理论：DSP涉及基础理论数学工具

专业基础数学分析概率论数理统计随机过程高等代数数值分析积分变换复变函数网络理论信号与系统2024/12/2218:16推荐参考书

经典的：1.A.V.Oppenheim，“DigitalSignalProcessing”,1975.中译本有多种2.W.D.Stanley,“DigitalSignalProcessing”,1975.中译本常迥译1979.2024/12/2218:16

3.吴镇扬，数字信号的原理与实现，东南大学.4.陈后金，数字信号处理，高等教育出版社，

2021.

5.丁玉美等，数字信号处理，西安电子科大，（第3版），2021.

6.赵尔沅等，数字信号处理实用教程，人民邮电出版社7.A.V.奥本海姆，R.W.谢弗著，黄建国等译，离散时间信号处理，科学出版社.2024/12/2218:16

研究生用：1.胡广书，数字信号处理--理论算法与实现清华大学出版社.2.张贸达，现代信号处理，清华大学.2024/12/2218:16英文原版：

S.J.Orfanidis,Introductiontosignalprocessing,Copyright1996byPrenticeHellComp.S.K.Mitra,Digitalsignalprocessing–acomputer-basedapproach,secondedition,Copyright2001byMcGraw-HillComp.2024/12/2218:16作业1、数字信号处理器有几种实现方法？2、数字系统欲达到0.0001的精度，需要多少位字长？作业要求：整洁的作业用纸或作业本；注明日期和题号；解题过程；抄写题目；2024/12/2218:162024/12/2218:16第2章离散时间信号与系统2024/12/2218:16

概述

2.1离散时间信号-序列1.信号及其分类(1)信号信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数.如，f(x);f(t);f(x,y)等.(2)连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号；幅值为连续的信号称为模拟信号；2024/12/2218:16

(2)连续时间信号与模拟信号（续）

连续时间信号

要点：要求时间连续，对幅值没有要求；

模拟信号：

要点：要求时间连续，同时要求幅值连续；

因此，连续时间信号和模拟信号是不同的概念。

但通常，连续时间信号与模拟信号常常通用。2024/12/2218:16

(3)离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号.nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10122024/12/2218:162.序列的基本概念

离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的抽样间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示序列在nT时刻的值.可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值.这样x(n)就形成了一个序列,即序列﹛x(n)﹜。为方便，常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜2024/12/2218:16

3.序列的表示序列有几种方法表示?1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

(1)序列的集合表示法

x(n)

={1,2,3,4,5,4,3,2,1}

(2)序列的公式表示法

(3)序列的图形表示法

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2.1.1几种典型序列1-2-101mnMatlab实现x=zeros（1，N）；x(1)=1；1.单位抽样序列(单位冲激)δ(n)

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2.单位阶跃序列u(n)Matlab实现x=ones（1，N）；2024/12/2218:16

3.矩形序RN(n)Matlab实现x=[ones（1，N）zero(N1-N)]；N表示矩形的宽度，N1表示序列的长度2024/12/2218:16

4.实指数序列anu(n)实指数序列（0<a<1）Matlab实现

n=0：N-1；

x=a.^n；

%a需先给定或赋值

a为实数，当2024/12/2218:16

5.正弦型序列Matlab实现

n=0：N-1；

x=sin（ωn）；%ω需先给定或赋值其中，ω0为数字频率。2024/12/2218:16

6.复指数序列Matlab实现

n=0：N-1；x=exp(σ+jω*n）；%σ、ω需先给定或赋值ω0是复正弦的数字域频率。2024/12/2218:16

2.1.2

序列的基本运算

在数字信号处理中，序列的基本运算包括：相加、相乘、移位、翻转、累加、差分、尺度变换、卷积和、序列的能量和功率等。卷积和又称为线性卷积，由于该运算比较重要，单独列出。2024/12/2218:16

1.和两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。2024/12/2218:16

x(n)11/21/41/8n-2-1012…y(n)1231/21/4-2-1012n

例12024/12/2218:16

-2-10121/43/23/29/425/8z(n).……2024/12/2218:16

2024/12/2218:16

2.乘积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。以上例序列为例:2024/12/2218:16

3.移位

当m为正时，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。当m为负时，则相反。序列x(n)及其左移位1位的波形如下图所示：2024/12/2218:16

-1012x(n)11/21/41/8...-2n例22024/12/2218:16

1/21/41/81x(n+1)n0-1-212024/12/2218:16

4.翻褶(折迭)

如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。（a）序列x(n)的波形（b）序列x(-n)的波形序列x(n)及其翻转序列x(-n)2024/12/2218:16

...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n例32024/12/2218:165.累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列

y(n)定义为

即表示n以前的所有x(n)的和。Matlab实现：

s=sun(x(n1:n2)；%序列x，求和区间n1、n2需先给定或赋值2024/12/2218:16

6.差分前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减）：2024/12/2218:16

7.尺度变换（1）抽取：x(n)x(mn),m为正整数。例如，

m=2，

x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n2024/12/2218:16

（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，

m=2，

x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）个值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。2024/12/2218:16

8.序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定义为该序列所有抽样值之平方和，即信号的功率定义如下Matlab实现：

E=sum(abs(x).^2)；%序列x需先给定或赋值

P=sum(abs(x).^2)/length(x(n))；%序列x需先给定或赋值2024/12/2218:16

2.1.3线性卷积有限长序列线性卷积的计算方法很多，包括公式法、图表法、列表法。其中公式法计算线性卷积一般分为四步：翻褶(翻转)、移位、相乘、相加。1.定义

设序列x(n),h(n),它们的线性卷积(卷积和)y(n)定义为:2024/12/2218:16

求：例42.线性卷积的计算实例2024/12/2218:16

解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折迭h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘、相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘、相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

2024/12/2218:16

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)2024/12/2218:16

01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得

y(0)得

y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘、相加2024/12/2218:16

以此类推可得2024/12/2218:16

-1012345y(n)n1/23/235/23/2

3.列表法计算线性卷积有限长序列的线性卷积计算，也可以采用表格法进行计算，将序列x(n)和h(n)分别列为下所示的表格：

，

，，

然后按序号分别相乘，各对角线上方的数值就是卷积计算结果：

4.线性卷积计算的简单方法

虽然有限长序列的线性卷积计算方法很多，但任何一种计算方法，数学原理相同，都来源于卷积计算的公式。已知序列x(n)=[1,2,3,4]，h(n)=[1,1,1,1]，1,2,3,411,1,1,1h(n)翻褶3610974因此，y(n)=[1,3,6,10,9,7,4]计算y(n)=x(n)*h(n)解：默认序列序号n从0开始右移相乘相加例52024/12/2218:16

5.用单位抽样序列表示任意序列

(1)任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.2024/12/2218:16

例6

用单位抽样序列的位移加权和表示如下序列.解：序列x(n)可表示为单位抽样序列的移位加权和，即2024/12/2218:166.线性移不变系统的性质(1)交换律

(2)结合律2024/12/2218:16(3)对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)2024/12/2218:16

2.1.4序列的周期性如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期性序列,N为周期。2024/12/2218:16

周期信号（如正弦信号）经抽样以后一定是周期序列吗？2.1.4序列的周期性2024/12/2218:16

2.2离散线性时不变系统2.1.1线性系统x(n)离散时间系统

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即系统实际上表示对输入信号的一种运算;

2024/12/2218:16

设系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。2024/12/2218:16陈天华·北京工商大学计算机计算机与人工智能学院

课堂作业（先做后讲解）

解：设输入x1(n)=2,x2(n)=3

则y1(n)=20；y2(n)=26y1(n)+y2(n)=46而系统对x3(n)=x1(n)+x2(n)=5的输出是：y3(n)=38

y3(n)=y1(n)+y2(n)?

设有如下系统：

y(n)=6x(n)+8

试判断该系统是否线性系统？2024/12/2218:16

2.2.2时不变（移不变）系统

如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),满足这样性质的系统称作时不变（移不变）系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。

*时（移）不变2024/12/2218:16

分析y(n)=3x(n)+4是否时不变系统？解：因为T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是时不变系统.

*系统操作=函数操作例72024/12/2218:16

y(n)=nx(n)解：因为T[x(n)]=y(n)=nx(n)

所以

T[x(n-m)]=nx(n-m)

又

y(n-m)=(n-m)x(n-m)

所以

T[x(n-m)]≠y(n-m)

因此，y(n)=nx(n)不是时不变系统.

例82024/12/2218:16

2.2.3因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；

2024/12/2218:16

因果系统举例及判据

y(n)=x(-n)非因果系统因n<0的输出决定n>0时的输入;

y(n)=x(n)sin(n+2).因果系统因果系统判据:线性移不变因果系统的充要条件为

h(n)=0，n<0。例9例102024/12/2218:16

2.2.4稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件是

设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。2024/12/2218:16

例112024/12/2218:16

习题(先练习后讲解)

以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。答案

:（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定例12求下列信号的周期2024/12/2218:16

例13非周期信号2024/12/2218:16

2.3线性系统输入输出关系♦应用卷积求系统输出

♦应用卷积求系统输出

离散线性系统的输入输出关系一般可以用如下两种方法进行描述：2024/12/2218:16

(1)单位抽样响应h(n)T[δ(n)]2.3.1应用卷积求系统输出

δ(n)h(n)

当线性时不变系统的输入为δ(n)，

其输出h(n)称为单位抽样响应，即

h(n)=T[δ(n)]2024/12/2218:16

（2）应用线性卷积求系统输出

线性移不变系统[LSI]h(n)x(n)y(n)y(n)=x(n)*h(n)试证明卷积和公式例14y(n)=x(n)*h(n)2024/12/2218:16

证:2024/12/2218:16

已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n)

时，求输出。h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)例15解:?2024/12/2218:16

2.3.2线性系统输入输出关系离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m)线性叠加而构成的方程.离散线性移不变系统（LSI）x(n)y(n)1.表示法与求解法

(1)表示法

2024/12/2218:16

常系数：

a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常数（不含n）.

阶数：y(n)变量的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项(2)求解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.2024/12/2218:16

2.用迭代法求解差分方程(1)“松弛”系统初始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是

因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以，必须知道h(n)的求法.2024/12/2218:16

(2)迭代法（以求h(n)为例）已知常系数线性差分方程为

y(n)-ay(n-1)=x(n)试求单位抽样响应h(n).

解：因果系统有h(n)=0,n<0;方程可写作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)例162024/12/2218:16

2024/12/2218:16

2024/12/2218:16

设差分方程如下，求输出序列y(n)。

非因果系统例172024/12/2218:16

(1)一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。(2)教材讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：2024/12/2218:16(1)指系统输入/输出的运算关系的表述方法。(2)由差分方程可直接得到系统结构。3.系统结构y(n)=b

x(n)-ay(n-1),根据差分方程绘出系统结构图例18解:

用⊕表示相加器；用

表示乘法器；

用z-1

表示一位延时单元。2024/12/2218:16

因此差分方程y(n)=bx(n)-ay(n-1)表示的系统结构为：2024/12/2218:16

例192024/12/2218:16

例20

将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。2024/12/2218:16

例21设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}2024/12/2218:16

例22若用单位序列及其移位加权和表示x(n)=____________________。解答:2024/12/2218:16

2.4连续时间信号的抽样2.4.1信号的采样P(t)T抽样物理模型1.信号抽样的物理模型

p(t)为脉冲序列实际抽样2.理想抽样（a）模拟信号xa(t)理想抽样过程可视为一个脉冲调幅过程，xa(t)为调制信号，被调制的调脉冲载波是周期为T、宽度为τ的周期脉冲串。当脉冲宽度τ持续时间很小时，就是实际抽样。当脉冲宽度τ→0时，则得到理想抽样，此时抽样脉冲序列p(t)则为理想的冲激函数序列δT(t)，而各冲激函数准时出现在抽样点上，冲激函数积分面积为1，信号经理想抽样后，输出值等于输入信号xa(t)在抽样时刻的幅值。

理想抽样：p(t)为脉冲序列2024/12/2218:16

2.4.2抽样定理t10定义:1.预备知识（1）冲激信号及其抽样特性2024/12/2218:16

取样特性：2024/12/2218:16

(2)抽样信号(SamplingSignal)

性质：①②③④⑤偶函数2024/12/2218:16

(3)频域卷积定理若抽样数学模型2024/12/2218:16

抽样信号及其傅里叶变换2024/12/2218:16

(4)冲激函数序列的傅氏变换......0Tt冲激函数序列的波形如下：

?傅立叶变换的性质冲激函数序列的傅里叶变换：2024/12/2218:16

0……冲激序列的傅里叶变换仍为冲激序列。结论

2.抽样信号的频谱抽样信号的数学表达式：

(取样特性)抽样信号的傅里叶变换：2024/12/2218:16

抽样信号频谱之结果公式需理解、记忆！2024/12/2218:16

Ωh为最高频率分量…………原信号频谱抽样信号频谱K=0K=1K=-1K=21/T2024/12/2218:16

结论:抽样以后的信号其频谱为周期信号，其周期为：2024/12/2218:16

0,

如果xa(t)的最高频率Ωh不超过Ωs/2,即满足以下条件:那么,原信号的频谱和各次延拓分量的频谱彼此不重叠这时,如果采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器就可以得到不失真的原信号,即还原出原连续信号.2024/12/2218:16

3.采样定理（奈奎斯特采样定理）

由上图可知，用一截止频率为的低通滤器对滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即这就是奈奎斯特抽样定理。2024/12/2218:16

…………

…………Ωh为最高频率分量原信号频谱抽样信号频谱如何恢复原信号频谱?1.信号的频域恢复2.4.3信号的重建

2024/12/2218:16

信号频域重建之结论抽样信号或通过一

理想低通滤波器就可恢复信号或。2024/12/2218:16

(1)低通滤波器的冲激响应h(t)

h(t)H(j)2.信号时域重建2024/12/2218:16

T,0,T02024/12/2218:16

2024/12/2218:16

(2)低通滤波器的输出*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。2024/12/2218:16

(3)内插函数的特性：在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。2024/12/2218:16

（1）在抽样点上，信号值不变；（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。2024/12/2218:16

T2T3T2024/12/2218:16

本章复习基本概念:

2.基本公式:

3.基本原理:

基本概念:典型序列(6种)序列的运算(8种)序列的周期性

离散时间线性系统线性移不变系统

稳定系统因果系统

抽样定理与混叠失真2024/12/2218:16

本章复习2.基本公式:

2024/12/2218:16

y(n)=x(n)*h(n)本章复习三.基本定理系统稳定性判据因果特性判据抽样定理2024/12/2218:16

本章复习2024/12/2218:16

特别提醒:按要求完成本章作业本章复习2024/12/2218:16

146第3章Z变换及序列的傅里叶变换§3-1引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。1.时域分析法

1）连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。

2）离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。2024/12/2218:16

1472024/12/2218:16

1482.变换域分析法

1）连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。

2）离散时间信号与系统：

Z变换，DFT(FFT)。

Z变换可将差分方程转化为代数方程。2024/12/2218:16

149§3.2Z变换的定义与收敛域概述：Z变换产生

Z变换的基本思想来自拉普拉斯。1947年由W.Hurewicz重新引入作为解决线性常系数差分方程求解的简便方法.1952年，哥伦比亚大学Ragazzini和Zadeh冠以“thez-transform”用于采样分析等.

2024/12/2218:16

150§3.2Z变换的定义及收敛域3.2.1z变换的定义与收敛域*将x(n)展为z-1的幂级数。1.z变换的定义序列Z变换定义如下：2024/12/2218:16

1512.Z变换的收敛域(2)收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

(1)收敛域的定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2024/12/2218:16

152那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。

如果级数，在

收敛;

3.2.2常见序列的收敛域阿贝尔定理2024/12/2218:16

153同样,对于级数，满足的z，

级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。|z_|2024/12/2218:16

1540n2n1n(n)...1.有限长序列2024/12/2218:16

1552024/12/2218:16

156x(n)n0n1..1...2.右边序列*第一项为有限长序列*第二项为z的负幂级数2024/12/2218:16

157收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0≤|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为

Rx-<|z|;两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;

Rx-为最小收敛半径。因果序列2024/12/2218:16

158它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：2024/12/2218:16

1593.左边序列x(n)0n

n22024/12/2218:16

160

第二项为有限长序列,其收敛域;

第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

2024/12/2218:161614.双边序列0nx2024/12/2218:16

162第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-<Rx+时，其收敛域为环形2024/12/2218:16

163其收敛域应包括即 充满整个Z平面。求序列

的Z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，例12024/12/2218:16

164当 时，这是无穷递缩等比级数。求序列

的Z变换及收敛域。解:例22024/12/2218:16

165*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域：求序列

变换及收敛域2024/12/2218:16

166同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。解:例3§3-3Z逆变换2024/12/2218:16

167z逆变换的定义已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z逆变换。z变换是由已知序列求z变换解析表达式并确定收敛域，而z逆变换与z变换在过程上正好是相逆的，即已知序列z变换的解析表达式X(z)及定义域，求解其序列x(n)，称为z逆变换或z反变换。

168z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c接下来介绍Z反变换的求法169由留数定理可知：

为c内的第k个极点，Res[]表示极点处的留数3.3.1围线积分法(留数法)

为c外的第m个极点注意上述表达式包括两个围线；围线积分的计算比较麻烦；怎么突破？？采用留数定理转繁为简；难度降低到直接使用代数式进行计算；2024/12/2218:16170

在复分析中，留数定理是计算解析函数沿封闭曲线路径积分的一个有力工具，在z逆变换的计算中，围线积分法是求z逆变换的基本方法。2024/12/2218:16

1712、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：

1、当Zr为一阶极点时的留数：已知2024/12/2218:16

172，求z反变换。1）当n≥-1时, 无极点，这时C内只有一个一阶极点 因此例42）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1产生|n+1|阶极点.因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:2024/12/2218:16

1733.3.2

部分分式展开法

有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子.

有理分式：含字符的式子与分母的有理式，或两个

多项式的商。

分子的次数低于分母时称为真分式.

175部分分式展开在求X(z)的逆变换时，一般X(z)的分子与分母均为含有z的有理多项式，可表示为：A(z)，B(z)都是z的实系数多项式，且为既约分式，因此，可将X(z)分解为如下部分分式的形式：各部分分式Xi(z)均为一阶或二级分式，可以根据教材表3-1所示的常用序列的z变换表求每一个部分分式Xi(z)的z逆变换，然后将各项相加，即：

其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：2024/12/2218:16

176因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：2024/12/2218:16

177的z反变换。用部分分式法，求解：

分别求出各部分分式的z反变换（可查表3-1），然后相加即得X(z)的z反变换。例52024/12/2218:16

1782024/12/2218:16179Matlab实现部分分式展开法Matlab提供了可用于部分分式展开的函数residuez，该函数的调用格式如下：[r,p,k]=residuez(b,a)b,a分别是X(z)的分子、分母系数向量，r、p、k用于存储输出数据，其中，r表示X(z)各部分分式项的留数，p表示X(z)的部分分式各对应项的极点，k表示常数项和整式。Matlab部分分式求z逆变换示例。已知X(z)的解析式如下：试采用部分分式法求X(z)的逆变换解：用Matlab进行部分分式展开的Matlab代码如下：例6clc;clearall;closeall;b=[10.8,1.16,-4,0.6];a=[1,-0.8,0.12];[r,p,k]=residuez(b,a)程序计算结果如下：r=6.60004.2000p=0.60000.2000k=0.00005.0000根据程序输出结果，可得X(z)的部分分式如下：逆变换如下3.3.3长除法(幂级数展开法)182

在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成

Z的正幂级数。因为x(n)的Z变换为Z-1

的幂级数，即试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)2024/12/2218:16

183*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。例72024/12/2218:16

1842024/12/2218:16

1852024/12/2218:16

186

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...2024/12/2218:16

187

Z-—)

Z141+—z+—z+—z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...Z的幂级数排列2024/12/2218:16

188189Matlab实现长除法

Matlab提供了多项式除法的函数deconv，该函数的调用格式如下：xn=deconv(b,a)b,a分别是X(z)的分子分母系数向量，xn表示的X(z)分子除以分母的系数向量，向量从常数项开始，按z-1的幂级数依次排列。Matlab实现长除法的示例如下：例8用Matlab长除法求z逆变换（右边序列）示例已知X(z)的解析表达式及收敛域如下：求X(z)的逆变换。解：根据收敛域|z|>2可知，x(n)是因果序列。本题既可以直接用长除法解题，也可以用程序实现Matlab实现的代码如下所示：2024/12/2218:16clc;clearall;closeall;b=[0,2];a=[1,-4,4];k=6;%输出z-1的系数的长度，本例输出6项系数m=length(a);n=length(b);b=[b,zeros(1,m-n-1+k)]%根据输出系数的长度对b末端补零xn=deconv(b,a)程序运行结果如下：xn=0282464160总结规律可得：2024/12/2218:16

192

§3-4Z变换的性质和定理1.线性特性3.

共轭序列6.序列线性加权4.翻转序列7.初值定理2.序列的移位8.终值定理12.有限项累加9.时域卷积定理10.序列乘积11.Parseval定理5.Z域尺度变换2024/12/2218:16

193

§3-4Z变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性特性

如果 则有：2024/12/2218:16

194已知,求其z变换。解：?例92024/12/2218:16

1952.序列的移位如果 则有：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。例103.共轭序列2024/12/2218:16

196如果，则试证明Z变换的共轭对称性：证：例112024/12/2218:16

1974.翻褶序列如果，则证明：2024/12/2218:16

1985.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：2024/12/2218:16

1996.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则2024/12/2218:16200

已知，证明:证：例122024/12/2218:16

2017.初值定理证：试证明初值定理.例132024/12/2218:16

2028.终值定理证明：2024/12/2218:16

203又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.序列的卷积和(时域卷积定理)

2024/12/2218:16

2042024/12/2218:16

205证明时域卷积定理

例14

即：时域卷积

等于频域乘积2024/12/2218:16

206证明：例142024/12/2218:16

207解：例1510.序列相乘(Z域卷积定理)2024/12/2218:16

208其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。2024/12/2218:16

209解：例162024/12/2218:16

210

11.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。2024/12/2218:16

211如果则有:2024/12/2218:16

212*几点说明：2024/12/2218:16

21312.有限项累加特性证：例172024/12/2218:16

2142024/12/2218:16

215已知：X(z)=Z[x(n)]求

：Z[∑m=0nx(m)]

分析：已知条件少、信息量太少；[背景]相对抽象，不知道如何解题；目的：考查综合运用基本概念、理论、公式的能力

Z[∑m=0nx(m)]

=

Z

[∑m=0nx(m)•1]=

Z

[∑m=0nx(m)u(n-m)]自己构造条件=Z

[∑m=-∞∞x(m)u(n-m)]利用卷积公式