2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了(

)A.三点确定一个平面 B.不在同一直线上的三点确定一个平面

C.两条相交直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面2.若(3+2x)n(n∈N∗)的展开式中第5A.7 B.8 C.9 D.103.已知无穷等比数列{an}，若i=1+∞aiA.{3} B.[3,+∞) C.(0,3] D.(0,+∞)4.设Sn为数列{an}的前n项和，k为常数且k∈N，k≥2，有以下两个命题：

①若{an}是公差不为零的等差数列，则a1⋅a2⋅…⋅aA.①是真命题，②是假命题 B.①、②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题 D.①、②都是假命题二、填空题：本题共12小题，共42分。5.空间中，直线与平面所成角的范围为______．6.表面积为16π的球的半径为______．7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为______．8.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为______．9.满足等式C16x2−x=10.(2x2−1x)611.已知数列{an}的通项公式为an=n212.设x，y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−4,2)且a13.将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种.14.将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______．15.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C16.从1、2、3、…、10这10个数中任取4个不同的数a1、a2、a3、a4，则存在1≤i<j≤4且i，j∈N，使得|a三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

如图所示，已知点P∈平面α，且直线AB∩直线CD=P，点A，D与点B，C分别在平面α的两侧，直线AC∩α=Q，直线BD∩α=R.求证：P，Q，R三点共线．18.(本小题8分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点E，F分别为棱AB，A1B1的中点．

(1)求异面直线C19.(本小题10分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1．

(1)若数列{an}为等差数列，S10=100，求数列{an}20.(本小题10分)

如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P−ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA=1，OC=2，E在PB上．

(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一尼绳，使得PB=3PE，求证：直线PD/​/平面AEC；

(2)实验表明，当tan∠PAC=2时，风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值．21.(本小题12分)

如图，已知四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)求证：AC⊥CD；

(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度；

(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3.试比较概率P1、P

参考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.[0,π6.2

7.平行、相交、异面

8.2π

9.{1,3}

10.−160

11.(−∞,3)

12.3

13.36

14.18a15.11816.175

17.证明：直线AB与CD相交，可以唯一确定一个平面，设两直线确定的平面为β，

又由P∈平面α且P∈平面β，所以，点P∈两平面交线l，

同理，点Q，R∈l，所以三点共线．

18.解：(1)以A为原点建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,0,0)，F(1,0,2)，

所以C1E=(1,−2,−2)，AF=(1,0,2)，

设直线C1E与直线AF的夹角为θ，则cosθ=|cos<C1E，AF>|=|C1E⋅AF||C1E|⋅|AF|=|1−4|3×5=55，

故直线C1E与直线AF的夹角为19.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

又由a1=1，S10=100，

则S10=10a1+10×92d=100，

又a1=1，则10+10×92d=100，解得d=2，

所以an=2n−1；

(2)根据题意，设{an}的公比为q，

a1=1，a4=18，

则q3=a420.(1)证明：四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，∴OD=1，OB=2，

连接EO，∴PEPB=DODB=13，∴EO//PD，

∵EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，

∴PD/​/平面AEC．

(2)解：∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，

∵tan∠PAC=2，∴OPOA=2，∴OP=2，

∵OB⊥OC，

∴以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，

∴O(0,0,0)，P(0,0,2)，A(0,−1,0)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，

∴PA=(0,−1,−2),PC=(0,2,−2),PB=(2,0,−2)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，

∴n⋅PC=2y−2z=0n⋅PB=2x−2z=0，

21.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD，

又BC⊥CD，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，

所以CD⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CD；

(2)将面ABC与面ACD沿AC展开成如图所示的平面图形，连接BD，

由(1)知：∠ACD=90°，

因为AB⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，

所以AB⊥BC，

因为AB=BC=CD=1，

所以∠ACB=45°，

故展开后∠BCD=34π，

所以彩带的最小长度为此平面图中BD长，

由余弦定理得：BD=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=12+12−2cos34π