人教版高中数学选择性必修第一册知识点

高中数学选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

一、知识要点

1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不变性

2、空间向量的运算

定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

0B—0A+AB=a+bBA=OA—OB=a—b;OP=Ad(AeR)

运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a(2)加法结合律：m+B)+e=M+(B+C)

(3)数乘分配律：>l(a+b)-Aa+Ab

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3、共线向量

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫

做共线向量或平行向量，。平行于记作。//B。

(2)共线向量定理：空间任意两个向量五、b(彼壬0),五〃征存在实数九使五

=Xbo

(3)三点共线：A、B、C三点共线<=>M=X就

-<=>OC=xOA.+yOB(其中x+y=l)

一±A

(4)与。共线的单位向量为-|；|

4、共面向量

(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果两个向量a力不共线，”与向量a力共面的条件是存

在实数x,y使。=xa+yb。

(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>Q=xI^+y/

<=>

OP=xOA+yOB+zOC(其中%+y+z=1)

5、空间向量基本定理：如果三个向量〃力"不共面，那么对空间任一向量P，

存在一个唯一的有序实数组X,y,Z,使〃=元4+仍+2(?。

数学一选择性必修第一册1

若三向量a,b,c不共面，我们把｛a涉,c｝叫做空间的一个基底，a,6,c叫做基向

量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点尸，都存在唯一的三

个有序实数x，y，z,(9P-xOA+yOB+zOC0

6、空间向量的直角坐标系：

(1)空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系。-芝yz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(X,y,z),

使后=三+工+五，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系。-孙z中的

坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

注：①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为

(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在

y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基

底，用｛，,，上｝表示。空间中任一■向量a=xi+y/+z^=(x,y,z)

(3)空间向量的直角坐标运算律：

①若a=(q,a2,4)，6=(4也,4)，

贝！Ja+b=(q+4，«2+%%+Z?3),a-b=(q-bx,a2-b2,a3-Z?3)>Aa=(Afi,,Aa2,/la3)(2eR),

a-b=alb1+a2b2+a3b3>

a//b<^-ax=Ab1,a2=建,/=Ab3(AeR)，aJ-bo她+44=。

②若A(X],%,Z]),B(x2,y2,z2),

则AB=(x2-%；,y2-y1,z2-z1)

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减

去起点的坐标。

③定比分点公式：若B(x2,y2,z2),AP=APB,则点P坐标为

(*+Ax?,”十,Z|十应)。推导：设P(x,y,z)则(x-xly-yl,z-zl)=/l(x2-x,y2-y,z^-z),

1+A1+21+A

显然，当P为AB中点时，尸产+%%+%4+z

2'2'2

®/\ABC^,A(x1,y1,z1?,B(x2,y2,z2),C(^,y3,z3),三角形重心P坐标为

x+x+xM+%+%4+Z2+Z3、

<A323'2'2)

数学一选择性必修第一册2

⑤AABC的五心：

内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。&〃垂+昱)(单位向量)

.同

外心p：外接圆的圆心，中垂线的交点。£=品=Sc

垂心P：高的交点：PAPB^PAPC=PBPC(移项，内积为0,则垂直)

重心P：中线的交点，三等分点(中位线比)AP^^AB+AQ

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模长公式：若.=(6,％,%),石=0[也也),

则Ia|=da•a=_+a：+a?~,|b|=db,b=4b；+伪~+b；

(5)夹角公式：cos(a»=^—=i姐+她+地。

飞a：+a)+a；,b；+b；+b；

AA3C中①Q•正>0<=>A为锐角②Q•正<0<=>A为钝角，钝角A

(6)两点间的距离公式：若A(XI，M，ZJ,B(x2,y2,z2),

则|AB-石)2+(%-Ml+仁2-z1)2,或

dA.B=J(%2-Xi。+(%-%3+a2—Z])一

7、空间向量的数量积。

(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量4力，在空间任取一点。，作

OA=a,OB=b,则NAOB叫做向量a与万的夹角，记作<&力>；且规定

_.*,77".,.

0<<a,b><TI,显然有<a,。>=<>；若<a,b〉=—,则称a与6互相垂直，记

2

作：a_1_6。

(2)向量的模：设0A=a,则有向线段0A的长度叫做向量a的长度或模，记作：

|a|o

(3)向量的数量积:已知向量a,b,则)1・⑸・cos<Z,方>叫做第6的数量积,

记作即a,》=⑷,⑸-cos<a力〉

(4)空间向量数量积的性质：

①=|a|cos<a,e>②a_LZ?=a-Z?=0③

(5)空间向量数量积运算律：

@(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab)o®a-b=b-a(交换律)。③a《b+c)=a+a-c(分

配律)。

数学一选择性必修第一册3

④不满足乘法结合律：（a.b）cwa（b-c）

二、空间向量与立体几何

1、线线平行。两线的方向向量平行

线面平行O线的方向向量与面的法向量垂直

面面平行O两面的法向量平行

2、线线垂直（共面与异面）o两线的方向向量垂直

线面垂直O线与面的法向量平行

面面垂直O两面的法向量垂直

3、线线夹角。（共面与异面）［0°,90°］o两线的方向向量［r的夹角或夹角的

补角，cos。=cos<n1,n2>

线面夹角。［0。,90。］：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量而与面的法向

量［的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面

的夹角.sin。=cos<AP,n>

面面夹角（二面角）^［0°,180°］：若两面的法向量一进一出，则二面角等于

两法向量耳，晟的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

cos6=±cos<珥,〃2>

4、点面距离/z：求点。（为,为）到平面a的距离：在平面a上去一点。（龙,丁）,

得向量PQ.;计算平面a的法向量九;.〃=|

1-1

线面距离（线面平行）：转化为点面距离

面面距离（面面平行）：转化为点面距离

数学一选择性必修第一册4

第二章直线和圆的方程

一、直线方程

1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与r轴正方向所成的最小正角叫做这条直

线的倾斜角，其中直线与％轴平行或重合时，其倾斜角为0,故直线倾斜角的范

围是Y180°（04eY万）.

注：①当£=90。或X2=X］时，直线/垂直于X轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与X轴垂直的直线不存在斜率外，其余每

一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点30）,（0,力，即直线在X轴，y轴上的截距分别为

wO）时，直线方程是:—+—=1.

ab

注：若y=-2是一直线的方程，则这条直线的方程是y=-2,但若

y=-gx-2（xN0）则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程丫=履+人当太6均为确定的数值时，它

表示一条确定的直线，如果匕b变化时，对应的直线也会变化.①当6为定植，发变

化时，它们表示过定点（0,6）的直线束.②当Z为定值，〃变化时，它们表示一

组平行直线.

3、（1）两条直线平行：

如42两条直线平行的条件是：①乙和％是两条不重合的直线.②在0和

%的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前

提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线0右，它们在y轴上的纵截距是々,为，则0〃

120kl=k2，且打幼2或的斜率均不存在，即AIB2=8IA2是平行的必要不充分条

件，且。力。2）

推论：如果两条直线/卜Z的倾斜角为。1，。2则.〃11=^2-

（2）两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线0和％的斜率分别为和和的，则有

的62=-1这里的前提是O,%的斜率都存在•②/1口20曷=。，且晨的斜率不存

在或购=0,且0的斜率不存在.（即AIB2+A2%=。是垂直的充要条件）

4、直线的交角：

（1）直线到人的角（方向角）；直线乙到%的角，是指直线"绕交点依逆时针

方向旋转到与I,重合时所转动的角0,它的范围是（0,万），当夕二90。时tanJ=&”.

1+左1左2

（2）两条相交直线/1与％的夹角：两条相交直线.与，2的夹角，是指由与，2相

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交所成的四个角中最小的正角e,又称为乙和％所成的角，它的取值范围是[。，三

当心90。，则有tang

1+—

5、过两直线[丁丁+丫+丁、的交点的直线系方程

[l2:A2x+B2y+C2=0

Alx+Bly+Cl+A(A2x+B2y+C2)=0(.A^J^^,4x+WV+C2=。不包括在内)

6、点到直线的距离：

(1)点到直线的距离公式：设点尸(而,凡)，直线/:Ac+3+C=0,尸到/的距离为d,

则有〃」"+瓯+土

7A2+B2

注：

①两点Pl(xi,yi)、P2(X2,y2)的距离公式：1881=5。2-为)2+(力—月产•

特例：点P(x,y)到原点。的距离：IOP|=y/x2+y2

②定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段而所成的比为酬JP.R,其中

Pi(xi,yi),P2(X2,y2).贝1x=/,、=%+?2

1+A1+A

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

③直线的倾斜角(0°<«<180°)^斜率:k=tana

④过两点6(孙力),2(盯,为)的直线的斜率公式：左=①二”.&WM)

x2_%]

当为i=X2，%/y2(即直线和X轴垂直)时，直线的倾斜角a=90。，没有

斜率

(2)两条平行线间的距离公式：设两条平行直线

I。—cI

ll:Ax+By+Cl=0,l2:Ax+Bv+C2=0(Cl^C2),它们之间的距离为1,则有~.

7A2+B2

注：直线系方程

①与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(meR,C^m).

②与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(meR)

③过定点(xi,yi)的直线系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0(A,B不全为0)

④过直线人、/2交点的直线系方程：(Aix+Biy+Ci)+MA4+B2y+C2)=0QeR)注:

该直线系不含12.

7、关于点对称和关于某直线对称：

(1)关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

(2)关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，

且两直线到对称直线距离相等.

数学一选择性必修第一册6

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角

的角平分线.

(3)点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方

程①)，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求

对称点.

注：①曲线、直线关于一直线(y=+x+b)对称的解法：y换x,x换y例：

曲线段j)=0关于直线y=x-2对称曲线方程是舟+2X-2)=0.

②曲线C:外,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是五a-x,2b->)=0.

二、圆的方程

1、(1)曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程

/(x,y)=。的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形).

(2)曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y~)其坐标与方程/(x,y)=0的

一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反过来，满足方程/(x,y)=0

的解所对应的点是曲线上的点.

注:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点Po(xo,y)线C上的充要条件是f(xo,yo)=O

2、圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，厂为半径的圆的标准方程是

(x-a)2+(y-b)~=r~.

特例：圆心在坐标原点，半径为厂的圆的方程是：，+/=户.

注：特殊圆的方程：①与I轴相切的圆方程(X-a)2+(y±b)2斗2

[r=网，圆心(a,力或(a,-b)]

②与y轴相切的圆方程(x+a)2+(y-b)2=a2

[r=|«|,圆心(a,6)或(-a,b)]

③与i轴y轴都相切的圆方程(x+a)2+(y+a)2=a2

[厂=同,圆心(士。,±。)]

3、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

当。2+石27尸>0时，方程表示一个圆，其中圆心《一2,一,半径「=4》+.一4尸.

<22J2

当炉+产7尸句时，方程表示一个点「名,_9).

当£>2+E2-4FYO时，方程无图形(称虚圆).

注：①圆的参数方程：+(o为参数).

[y=rsm"

22

②方程AX+BXy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且

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A=C片0且D-+E--4AF>0.

③圆的直径或方程：已知401，月)8(叼,》2)n(x-Xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=。

(用向量可征).

4、点和圆的位置关系：给定点M(xo，y°)及圆。y-。)2+。-》2=户.

①〃在圆C内oIxo-aV+Uo-b/Y/②M在圆C上o(而-.)2+(囚-6)2=产

③“在圆C外O(刈-。)2+(yo-ZO2A户

5、直线和圆的位置关系：

设圆圆C:(x-fl)2+(y-fe)2=r2(r>0)；直线/:Ax+By+C=Q(A2+B2^0)；

圆心c(%»到直线/的距离d=叫y+Q

7A2+B2

①d=r时，/与C相切；

附：若两圆相切，则尸土+5+当>此=°=相减为公切线方程.

x+y+Z)2龙+石2,+/2=0

②dYT时，/与C相交；

12

Cx-.x+y+Dix+Exy+Fr0(Di-D2)x+(Ei-E2)y+(Fi-F2)=0

附：公共弦方程：设C2：X\y\D2X+E2y+F2=0有两个交点，则其公共弦方程为

③di时，/与C相离.

附：若两圆相离，则卜2+/+%+£严正0n相减为圆心劣02的连线的中与线方程.

22

yx+y+D2x+E2y+F2=0

由代数特征判断：方程组卜一"+(尸砂=户用代入法，得关于X(或y)的一元

[Ax+Bx+C=0

二次方程，其判别式为A,则：A=0o/与C相切；A”0o/与C相交；AYOO/

与C相离.

注：若两圆为同心圆则无2+厂+5尤+£\卜+/1=0,++尸2=。相减，不表

示直线.

6、圆的切线方程：圆/+/丁2的斜率为左的切线方程是了=丘±加淳/过圆

22X++

x+y+Dx+Ey+F=0~■点P(.X0,y0)的切线方程为：xox+yoy+D^°+^°+F=0.

①一般方程若点(xo,yo)在圆上，则(x-a)(xo-a)+(y-b)(yo-b)=R2.特别地，过圆

222

x+y=r上一点P(x0,y0)的切线方程为XoX+yoy=户.

yi-y0=k(x1-x0)

②若点(xo,yo)不在圆上，圆心为(a,b)则，吟,-入-左((2/)|,联立求出左n切线方

^+1

程.

7、求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：

ABCD四类共圆.已知09的方程无2+/+m+4+尸=。…①又以ABCD为圆为方

数学一选择性必修第一册8

2

程为(X-XA)(X-«)+(J-JA)(X-Z?)=k…②

MJ'"：。—…③,所以Re的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1、曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程五x,y)=O的实数解建立了

如下的关系：

①曲线C上的点的坐标都是方程五x,y)=O的解(纯粹性)；

②方程式关,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。则称方程五x,y)=O为曲

线C的方程，曲线C叫做方程五x,y)=O的曲线。

2、求曲线方程的方法：.

①直接法：建系设点，列式表标，简化检验;②参数法;③定义法，④待定系数法.

数学一选择性必修第一册9

第三章圆锥曲线方程

一、椭圆方程

1、椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点Fi,F2的距离的和等于定长(定长

通常等于2a,且2a>FiF2)的点的轨迹叫椭圆。

|尸尸1|+〔尸尸2〔=2。>|尸1尸21方程为椭圆,

|PFj|+忸川=2aY―码无轨迹,

|PF1|+|PF2|=2a=忸i%|以后歹2为端点的线段

(1)①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在X轴上：=+二=1("20)・

a2b2

中心在原点，焦点在y轴上：Z+==13>bA0)・

a2b2

注：以上方程中的大小a>3>0,其中及=Y—02；

2222

在与+2=1和为+==1两个方程中都有的条件，要分清焦点

a-b~ab

的位置，只要看V和丁的分母的大小。

②一般方程：Ax2+By2=l(A>O,B^O).

③椭圆的标准方程：4+==1的参数方程为卜=：侬:(一象限°应是属于

a2b2[y=bsmO

OY*工).

2

(2)椭圆的性质

①顶点:(±a,0)(0,士»或(0,土a)(±6,0).

②轴：对称轴：X轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b.

③焦点:(―c,0)(c,0)或(0,—c)(0,c).

22

④焦距：|F1F2|=2c,c=7a-^.

22

⑤准线：x=±J或y=±j.

CC

⑥离心率：e=£(0YeYl).

a

[,.*a>c>0,.,.0<e<l,且e越接近1,c就越接近a,从而Z?就越小，对应的

椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆

越接近于圆。当且仅当。=匕时，c=0,两焦点重合，图形变为圆，方程为

一+/=/。】

⑦焦(点)半径：

22

设Pa。,九)为椭圆■+==1(°>6>0)上的一点，尸卜尸2为左、右焦点，则

ab

|PFj=a+exG,\PF2\=a-exG^

数学一选择性必修第一册10

22

设尸(xo，yo)为椭圆a+-=l(a»b>0)上的一点，为上、下焦点，则

\PF^=a+ey0\PF^\=a-eyQ^>

由椭圆第二定义可知：

〃2〃2

e

\pF^=e(xQ-1---)=a+ex0(%oY0),\pF^\~(----%)-ex^-a^x^0)

归结起来为“左加右减

注意：椭圆参数方程的推导：得N(〃cose,Z?sin6)f方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于X轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：4=丝(_孰弦)和(c,3

aaa

22

⑨焦点三角形的面积:若P是椭圆：彳+一=1上的点.尸为焦点，若//p/=e,

则APB%的面积为庐tang(用余弦定理与归%|+|尸&|=2a可得)。若是双曲线，

则面积为b，cot2

2。

22

(3)共离心率的椭圆系的方程：椭圆彳+==1(°”"0)的离心率是

/b2

_______22

e=—(c=yla2-b2),方程三+4=r(f是大于0的参数，ax。”。)的离心率也是e=£

aaba

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

2、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L(F不在L上)

的距离的比为常数e(0<e<l)的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦

点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。

二、双曲线方程

1、双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1,F2的差的绝对值等于定长(定长

通常等于2a,且2a<FiF2)的点的轨迹叫做双曲线。(||PK|-1%||=2a)。

忸力|-|PF2b2aY忖岛|方程为双曲线

仍尸卜附2卜2八忸1%］无轨迹

伊尸1-附2|=2。=巴&|以八，%的一个端点的一条射线

2222

(1)①双曲线标准方程：—7-^5-=l(a,b>-0),^--^—=l(a,b>-0).

a2b2a2b2

一般方程：Ax2+Cy2=KAC^0).

(2)①焦点在x轴上：

2

顶点：3,0),(-a,0)焦点：(c,0),(-c,0)准线方程尤=±J渐近线方程：土土；=0或

cab

焦点在y轴上:

数学一选择性必修第一册11

2

顶点：(0,-tz),(0,a).焦点：(0,c),(0,-c).准线方程：y=±—.渐近线方程：—±y=0

cab

22fx=asec0或「=btane

或5一%»参数方程:

[y=btan0\y=asec0

②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2。，焦距2c.

④准线距即i

③离心率e，.(两准线的距离)；通径

aC

2b2

a

⑤参数关系。2=/+>,⑥焦(点)半径公式：对于双曲线方程

22

/_匕=1

/b2

(%,%分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

长加短减”原则：(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不

带符号）

|MFj=ex0+a

构成满足阿卜阿21=2”

\MF2\=ex0-a

|A/jp111——ex。—a

|AfF2|=—exQ+a

\MFi\=ey。—a

/21=ey0+a

\M'Fy\=—eyo+a

\M'F2\=—eyo—a

(3)等轴双曲线：双曲线--尸=±-称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,

离心率e=7L

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a=8；

等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：y=±x；②渐近线互相垂直。

注意到等轴双曲线的特征a=匕，则等轴双曲线可以设为：

x2-y2=2(20),当2>0时交点在x轴，当2<0时焦点在y轴上。

(4)共辗双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已

2222

知双曲线的共辗双曲线.彳-与二-互为共辗双曲线，它们具有共

abab

22

同的渐近线：.-2=。.

a2b2

2222

(5)共渐近线的双曲线系方程：三一一的渐近线方程为彳一二=0如

a2b2a2b2

数学一选择性必修第一册12

22

果双曲线的渐近线为二±2=0时，它的双曲线方程可设为三-==〃4=0）.

aba2b2

例如：若双曲线一条渐近线为y=gx且过p（3,-f,求双曲线的方程？

222

解：令双曲线的方程为：2（2^0）,代入⑶」1）得二-匕=1.

4282

2、双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L

上）的距离的比为常数e（e>l）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点F为双曲线

的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。

三、抛物线方程

（1）抛物线的概念：平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹

叫做抛物线（定点F不在定直线/上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线/叫做

抛物线的准线。

方程俨=2内。〉0）叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（R,0）,它的

2

准线方程是x=-K；

2

（2）抛物线的性质

设。>0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

y

图形X.

TK-、7T\

隹占

八、、八、、

吗，。）尸(-go)尸（0,争F(0苦)

准线方程

x=一pYp

X=-22y=l

范围x>0,y^Rx<0,y^Rxey>0xe7?,y<0

对称轴x轴y轴

顶点(0,0)

离心率e=l

焦半径-M附q+M

通径2p2p2p2p

焦点弦Xl+X2+pXl+X2+pyi+y2+pyi+y2+p

注：①通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p,这是过焦点的所有弦中最

短的.

数学一选择性必修第一册13

⑨产2Px（或尤2=2/）的参数方程为卜=2"（或厂=20（/为参数）.

闿[y=2pt[y=2p产

四、圆锥曲线的统一定义

1、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线/的距离之比为常数e的点的

轨迹.

当0YCY1时，轨迹为椭圆；当e=l时，轨迹为抛物线；当”1时，轨迹为双曲线；

当e=0时，轨迹为圆（e=—,当c=O,a=b时）.【弦长公式

|=Jl+k~—Xj|=J（1+1一）[（无]+巧）2—4X]X21]

2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆双曲线抛物线

1、到两定点F1,F2的距离之和1、到两定点F1,F2的距离之差的

为定值2a（2a>|FiF2|）的点的轨绝对值为定值2a（0<2a<|FiF2|）的

与定点和直线的距离

定义迹点的轨迹

相等的点的轨迹.

2、与定点和直线的距离之比为2、与定点和直线的距离之比为

定值e的点的轨迹.（0<e<l）定值e的点的轨迹.（e>l）

轨迹条点集：({MI1MFi+1MF21点集：{M|1MFi|-IMF21.点集｛M11MF1=

件=2a,1F1F21<2a}.=±2a,1F2F21>2a}.点M到直线1的距离｝.

y，

B,M

图形1.

B,7r

标准2222

「+4=1(。>〃>0)-7Y-1(a>0,b>0)y2=2px

方方程a2b2ab

。

参数\x-acos(x=asecOX翁（t为参数）

程\y=bsinO[y=btanS

方程（参数防离心角）(参数以离心角)

范围-a<x<a,-b<y<b