三角恒等变换（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第18讲三角恒等变换

（4类核心考点精讲精练）

m.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形

2024年天津卷，第14题,5分

余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分

【备考策略】L理解、掌握三角函数的两角和差公式，能够根据知识点灵活选择公式

2.能掌握凑角求值的解题技巧

3.具备数形结合的思想意识，会借助正弦型函数的图像，解决三角函数的求值与化简问题

4.会解三角函数的含参问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给与正余弦定理结合，在解三角形中灵活运用两角

和差。

1飞•考点梳理•

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

2.二倍角公式

三角恒等变换知识点.两角和与差二倍角公式《3.辅助角公式

4.三角函数公式的关系

5.升幕与降幕公式

知识讲解

知识点.两角和与差二倍角公式

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(a—£)=cosacos£+sinasincos(a+£)=cos□cos£—sinasinP

sin(4—£)=sinacos—cosasinPsin(a+£)=sinacos£+cosasin£

/c、tana—tan8/,c、tana+tan£

tan(a—£)-----------tan(0+£)=--------------T-

1+tanatanB1—tanatanB

2.二倍角公式

22tana

sin2。=2sinacosa；cos2a=cos2a—sin2a=2cosa—1=1—2sin2a-tan2a=~—'—2-.

1—tana

3.辅助角公式:

asinx+Acosx=yja+!Jsin(x+(i)),其中tan0=(

4.三角函数公式的关系

令8=Q以-0代8「

C2a■*-------------------------C(a+6)----------------------------M«-3)

利用cos俣土q利用cos住士q利用cosA

J以一。代。

c令B=a

32a<)(a-6)

两式相除两式相除两式相除

令以T代T：一）

TL2a---------0----=----0--!-------T(a+R)

5.升幕与降暴公式

1+cos2a21—cos2Q

（1）降暴公式：cos2^sinQ=---------

2

（2）升幕公式：1+cos2Q=2COS2。，1—cos2a=2sin2a.

（3）公式的常用变形：tana±tan£=tan(。±£)(1干tanatan£),

1+sin2a—(sina+cos4,

1—sin2a=(sina—cos。）2,

sina±cosa=也sin(a±-^.

考点一、两角和与差的正余弦、正切与二倍角公式

典例引领

1.（2024,黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知sinasin（a+?）=coscrsin一仇），则tan（2a+：）=（）

A.2—V3B.—2—V3C.2+V3D.—2+V3

【答案】B

【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=g,进一步结合两角和的正切公式即可得解.

【详解】由题意-^sin2a+|sinacos(z=-^cos2a—jsinacosa,即-^cos2a=]sin2a,

即tan2a=W,所以tan(2a+-)=比竺鹫=空=包=一2-倔

\47l-tan2atany1-V3-2

4

故选：B.

2.(2024•浙江•三模)若sin(a-S)+cos(cr—/?)=2V2sin(a—十)sin/?,贝(j()

A.tan(a—S)=-1B.tan(a-3)=1

C.tan(a+£)=-1D.tan(a+/?)=1

【答案】C

【分析】利用和差角公式展开，即可得到sinacosS+coscrcos^=sinasin/?—cosasin/?,再两边同除cosacos3,

最后结合两角和的正切公式计算可得.

【详解】因为sin(a—0)+cos(a—/?)=2&sin(a—sin£,

所以sinacos/?—cosctsin/?+cosacos/3+sinasin/3=2&(sinacos：—cosasin?)sin/?,

即sinacosS—cosasin/3+cosacoSjS+sinasin£=2sin(zsin/?—2cosasin-,

即sinacos/?+cosacos/3=sinasin/?—cosasin/?,

两边同除cosacos/?可得tana+1=tanatan/?—tan/3,

所以tan(a+S)=tana+tan/?

l-tanatan)?

故选：c

即叫性测I

1.（2023•全国•高考真题）已知a为锐角，cosa=匕直，贝!|sin^=（）.

42

—

3—V5口—1+V5r3—\/5门l+VS

L-----------D.----------L.---------U.----------

8844

【答案】D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【详解】因为cosa=l—2sin2£=tl,而a为锐角，

2.（2024•青海海西•模拟预测）已知cosa=-f,则cos2a的值为（)

A.-1B.7-C.-i1D.-i1

3353

【答案】D

【分析】根据题意，结合余弦的倍角公式，准确计算，即可求解.

2

【详解】根据二倍角的余弦公式可得cos2a=2cos2a—1=2x（—g）=

故选：D.

3.（2024,全国•高考真题）已知cos（a+夕）=m,tanatan/?=2,则cos（a—£）=（）

A.-3TMB.——C.—D.3??i

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求cosacosp,sinasinS的关系，结合tanatanS的值可求前者，故可求cos（a-/?）

的值.

【详解】因为cos（a+/?）=m,所以cosacosS—sincrsin/?=m,

而tanatan^=2,所以sinasin/?=2cosacos/3,

故cosacos/?—2cosacos/3=mBPcosacos/?=—m,

从而sinasinp=-2m,故cos（a—4）=—3m,

故选:A.

4.（2024•江西九江•三模）若2sin（a+《）=cos（"3贝Itan（a—看）=（）

A.-4—V3B.-4+A/3C.4—V3D.4+V3

【答案】C

【分析】设£=则原等式可化为2sin（£+；）=cos（"：）,化简后求出tan£即可.

【详解】令6=仇一：，则a=F+E，

所以由2sin（仇+；）=cos（仇一

得2sin（/?+5）=cos

即2cos夕=曰cosS+|sinjff,

即sin/?=（4—V3）cosjg,得tan/?=4—V3,

所以tan（a-2）=tan3=4—V3,

故选：C.

考点二、化简求值

典例引领

2cos65°cosl50

1.（2024•安徽六安,模拟预测）/勺值为（）

tanl5°cosl0°+sinl0

2+V312-V3八3

A.B.-C.-------D.—

2222

【答案】A

【分析】根据同角的商数关系、两角和的正弦公式、二倍角公式和诱导公式计算化简即可求解.

2cos65°cosl502COS65°COS215°_sin25°(l+cos30°)_2+V3

【详解】

tanl5°cosl0°+sinl0°sinl5°cosl0o+sinl0ocosl5°sin25°2'

故选：A

2.(2024•陕西安康•模拟预测)若sin(a-20。)=则sin(2a+500)=()

1177

A.--C.--D.-

8888

【答案】D

【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得sin(a-20。)=-;，再利用诱导公式和二倍角公式求值.

【详解】根据题意，sin(a-20。)=^2°\=「会s2。：

、Jtan20°-V3sin20-V3cos20

sm20°cos20°_sin20°cos20°_sin20°cos20°_2sin4°_1

一2俘山20°呼cos200)-2sin(-40°)--2sin40°--2sin40°-4，

而sin(2a+50°)=sin(2a-40°+90°)=cos2(a-20°)

=1-2sin2(a-20°)=1-2x((

故选：D

即时检测

1.(2024•全国•模拟预测)江吧嘿叱―豆啧=()

sin2502tan25°

.苧V2

ABcD.

-T-T2

【答案】A

【分析】切化弦后通分,根据两角和差的正余弦公式求解即可.

sin800+cos50°V6_sin(6004-20o)4-cos(30o+20°)V^cos25。

【详解】

sin25°2tan25°-sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin200+cos30°cos20°—sin30°sin20°V6cos25°

sin2502sin25°

_bcos200+sin20°+bcos20°-sin20。_V^cos25°_V^cos20°_乃cos25°

2sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V3cos(45°-25°)V6COS25°_V3(cos45ocos250+sin45osin25°)V6cos25°

sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V^cos25°+V^sin25°_V^cos25°_V6

2sin25°2sin25°-2'

故选：A.

2.(2024•山东泰安•模拟预测)若=anW,贝kin2e的值为()

—tan2

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【分析】根据两角和的正切公式化简可得tan。，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解.

［详解］由ta吟+tan(6/)1

IM"，得

1-tan(0--)Il-ta吟tan(8-亍)2

1

所以tan(:+8-%即tan。

2

匚.rc2sin0cos02tan04

所以sm28=砧许

l+tan205

故选：D.

3.(2024•广东•二模)tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=()

A.—2B.-4C.-2A/3D.-4v5

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.

sin7.5°sin82.5°

【详解】tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=+2tanl5°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°sin27.5°—cos27.5°

——=-z7——.)…+2tanl5°=-----.----——-----F2tanl5°

cos7.5sin7.5sin7.5rncos7.5

cosl5°2sinl5°_2(sin2150-cos215°)_-4cos30°

=—45/3.

+cosl5°sinl5°cosl5°sin30°

故选：D

sin%sinx

4.（2024•河北承德•二模）已知tanx=则

cos3xcos2xcos2xcosx

【答案】//埼

sinxsinx

【分析】利用三角恒等变换化简算式得=tan3x-tanx,已知tanx=由正切的倍角

cos3xcos2xcos2xcosx

公式求出tan3x即可求得结果.

sinxsin(3x—2x)sin3xcos2x-cos3xsin2x,-,csinxsin(2x-x)

【详解】------------=---------------------------=tan3x—tanzx

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2xcos2xcosxcos2xcosx

sin2xcosx-cos2xsinx

=tan2x—tan%,

COS2XCOSX

sinxsinx

所以-•-----------------1-----------------tan3x—tanx,

cos3xcos2xcos2xcosx

2tanx,

tan2x+tanx_2+tanx3tanx-tan3%13

而tan3久=tan(2x+x)=1lanx

1—tan2xtanx“2tan2xl-3tan2%9

因此原式=装_]10

9

故答案为：y.

5.（2024•河北邯郸•二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如

图所示的五角星中，以4B,C,D,E为顶点的多边形为正边边形，设NC4D=a,贝！Jcosa+cos2a+cos3a+

cos4a=，cosacos2acos3acos4a=

B

【答案】0^/0.0625

16

【分析】由正五角星的性质，求得NC4D=a=36。，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.

【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和180。

正五边形的内角和180。x(5-2)=180°x3=540°；每个角为子=108°,

三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180。-108。=72。，

三角形内角和为180。，那么三角形顶角，即五角星尖角180。一72。x2=36。，

即NCAD=a=36".

cosa+cos2a+cos3a4-cos4a=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)

=cos36°+cos72°—cos72°—cos36°=0;

cosacos2acos3acos4a=cos360cos72°cosl080cosl44°=(cos36°cos72°)2

rr-isrrc。2sin36°cos36°cos72°sin72°cos72°sinl44°1

因为cos36-cos/2=---------：——o--------=-----：——%—=—：——；=

2sm362sin364sin364

1

所以cosacos2acos3acos4a=—.

16

故答案为：0；2

16

考点三、凑角求值

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）已知sin（仇+?）=[,则sin（2a+等）=.

【答案】:/0.875

【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案.

【详解】因为sin（a+看）=],贝！Jsin（2a+=sin[（2a+/）+引=cos（2a+；）=1—2sin2（a+

-）=1-i=-.

6/88

故答案为：

o

2.（23-24高三上•天津宁河•期末）已知cos（巳-6）=5贝Usin（号-26）=.

【答案】*

【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得.

【详解】因为cos位一。)=%

所以sin(号—2。)=sin[；+6■—2。)]=cos(看—2。)

=cos2信—6)=2cos2忌一8)-1=2X(1)—1=—5.

故答案为：-g

即时啊」

1.(2024•吉林长春•模拟预测)已知cos2a=-y,sin(cr+£)=-呼，ae[o,y],PG则a-0=

()

八八冗一

A..-nBc.—3nC.一5nD.一或p*3一n

44444

【答案】B

【分析】求出2a、a+夕的范围，利用平方关系求出sin2a、cos(a+S),再由a-£=2a-(a+S)求出

cos(a-/?),结合a-/?的范围可得答案.

【详解】因为atW所以2aW[0,ir],

所以sin2a=V1-cos22a=Jl—(一g)=等，

因为aE[o,；],S£[—；,o],所以a+夕=

所以cos(a+S)=Jl-sin2(a+S)=Jl-=答，

又由a—/?=2a—(a+夕)知

cos(cr—S)=cos[2a—(a+0)]=cos2acos(a+S)+sin2asin(a+0)

(V5\3V102A/5(V10\V2

=VT；x-iF+^xC^o-y="T

又因为a—/?E[0,兀],所以/—

4

故选：B.

2.(2024•山西•三模)若sin2a=7sin(£—a)=/,且a6[?,兀],/?£[兀则cos(a+/?)=(

A4+五B画C在D2%一屈

•6,636

【答案】D

【分析】根据sin2a=学吉合a的范围分析可得aE岛三)，cos2a=-当再根据sin(/?-a)=9结合6的

范围分析可得cos(/?-a)=-等，由a+S=2a+(/?-a)结合两角和差公式分析求解.

【详解】因为口€[；,”,贝吃/£«,2兀],且sin2a=.>0,

贝12aG兀)，可得a6[：,；)，cos2a=—V1—sin22a=

又因为Se[兀>~Y\9则S一口€且sin(/?—a)=彳>0,

可得S—aEG，兀)，cos(/?—a)=—yjl-sin2(^?—a)——答，

所以cos(a+0)=cos[2a+(/?—a)]=cos2acos(/?—a)—sin2asin(夕—a)

_V6\x/_V30\_V3xV6_2亚一近

~\37\6/36-6

故选：D.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知tan(a—/?)=:,tan0=—巳,且a,0e(0,兀)，贝!J2a—£=()

A.--B.-C.—D.--

4444

【答案】A

【分析】利用二倍角的正切公式求出tan2(a-夕)，再根据tan(2a-6)=tan[2(a-6)+/?]结合两角和的正

切公式求得tan(2a-/?),根据tana=tan[(a一6)+代|求出tana,从而可得a,£的范围，即可得出2a一3的范

围，即可得解.

【详解】因为tan(a—3)=也

所以tan2(a—/?)2tan(a-0)4

-l-tan2(a-/?)3,

故tan(2a—S)=tan[2(a—/7)+/?]tan2(a-j?)+tanj?_1

l-tan2(a-^)tanj?

由tan£=—所以S£管,兀),

i_i

又tana=tan[(a一夕)+刃=27-1

所以aW(0,：),

故2a—/76(-7T,0),

所以2a_/?=_£.

故选：A.

4.(2024•山东•模拟预测)已知cos(a—-cosa=£贝！Jsin卜a+?)=()

A.—B.--C.—D.--

25252525

【答案】B

【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得cos(a+?),再利用二倍角公

式可得cos卜戊+三)，再结合诱导公式，可求sin(2a+g).

【详解】由cos(a——)—cosa=-=>cosacos—+sinasin——cosa=-=>cosacos——sinasin—=

V375335335

=cos(a+—

所以cos(2a+=2cos2(仇+-1=*

所以sin(2a+!)=cos2a+高］=cosG-2a)=—cos(2a+=—7

25

故选：B

5.(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知856一仇)=点贝!jsin(答+2仇)=()

A.5，C.延D.-延

9999

【答案】A

【分析】令g—a=t,故cost=I，可得sin(答+2a)=-cos2a进而可求值.

【详解】令£一/=如则/=^一3故cost=%

sin(答+2a)=sin］詈+2《-t)］=sin管—2t)=—cos2t=1—2cos2t=

故选：A.

考点四、辅助角公式

典例引领

1.(23-24高三下•云南•阶段练习)已知函数/(%)=2sinx+cos%在%()处取得最大值,则cos%。=()

A.—B.--C.—D.--

5555

【答案】c

【分析】借助辅助角公式，结合正弦函数的性质求解.

【详解】/(%)=2sinx+cosx=V5sin(x+cp),其中COSR=言，sin(p=

又当％=%o时，/(x)取得最大值，所以％o+0=I+2/c几，k£Z,即久0=；+2k兀一g,k£Z,

所以cos%。=cos(：+2々打一0)=cos(；—0)—sin@='，

故选：C.

2.(2024•陕西铜川•三模)已知函数f(%)=sin2%-cos2%,则下列说法中不正确的是()

A./(%)的最小正周期为兀

B./(%)的最大值为应

C./(%)在区间［-？,引上单调递增

D-—£)=f(r—

【答案】C

【分析】首先化解函数的解析式，再根据函数的性质判断ABC,求/(久-：)，判断函数是否是偶函数，即

可判断D.

【详解】依题意f(x)=VIsin卜x-£),则函数/(x)的最大值为企，最小值正周期为“，从而可排除A,B选

项.

■•-%G口，根据三角函数的性质可知，

L44J4L44J

当2%—IE[―彳-,—5],即%£[―I，—马时函数单调递减，

当2%-十6卜？引，即xe[一9,引时函数单调递增，

故在区间[-：,引上不可能单调递增，应选C项.

/(x-1)=V2sin12(%一—引=V2sin(2%-；)=—&cos2%为偶函数，

从而/-5)=/(一％-总，从而可排除D选项.

故选：C

即时检测

\_______________________

1.(2024•湖北•二模)函数/(%)=3cosx-4sinx,当/(%)取得最大值时，sinx=()

【答案】B

【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.

【详解】/(%)=3cosx—4sinx=5Qcos%—(sin%)=5cos(x+(p),

其中cosw=j,sing='

而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(x+<p)<5,

等号成立当且仅当％+<p=2k五(kEZ),此时sinx=sin(—9)=—sing=—

故选：B.

2.(2024•四川成都•模拟预测)函数/(%)=asinx+cos%的图象关于直线久=一看对称，贝！Ja=

【答案】-手

【分析】利用辅助角公式化简，由函数的最小正周期T=2n,X=-《为对称轴，得到函数的一个对称中

心为&，°)'代入求解，得到答案.

【详解】/(x)=asinx+cosx=y/a2+lsin(x+<p),

显然函数的最小正周期T=2n,

又x=-2为对称轴，

设/(%)在％=-9右侧附近的一个对称中心为(m,0),

故4[m-孑)]=2n,解得m=1,故/(%)的一个对称中心为0),

,•,，(9)=fa+；°，解得a=-当

故答案为：-¥

3.(2024•河南新乡•三模)已知函数/(%)=sina)x—V3costox(co>0),若存在%16[0,兀]，使得/(%i)=—2,

则3的最小值为.

【答案】^/11

【分析】利用辅助角公式化简函数/(%),求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.

【详解】函数/(%)=2sin(3%——),由％1E[0,叮],得to%]——E[——，^(X)——],

由存在汽1€[0,兀]，使得/(%。=—2,得“3——>解得32汁，

326

所以3的最小值为3.

6

故答案为：甘

6

4.(2024•全国•模拟预测)已知/(、)=4sin%(sin%-V5cos%)+1相邻的两个零点分别为％L%2，则

cosl%1—x2\—.

【答案】±V±0.75

4

【分析】解法一：利用三角恒等变形，化归到一般形式/(>)=3—4sinhx+?),易知|%1—即有可能是

锐角，也有可能是钝角，再利用函数零点转化为已知角的特值问题，即sinQxi+£)=sin卜叼+7)=?

再去求cos(2"i+3=f,cos(2x2+9=—f，然后利用两角差公式求COS[2%—句)]=3再利用降倍

升次的二倍角公式求得COS2Q1-X2)=白，最后即可求出结果.

解法二：根据正弦型函数性质知这两个零点一定关于直线％=9+£对称，也就是有一个相等关系/+&=

62

g+kn,这样可以利用这个关系消去其中一个变量冷，就可以化简cos%-外1=±cos(2xi-5),再利用

诱导公式即可转化到已知零点的函数值，即求出结果.

【详解】解法一：因为/(%)=4sinx(sinx—V3cosx)+1=4sin2%—4V3sinxcosx+1

=2x(1—cos2x)—2V3sin2x4-1=3-4sin(2x+J

由f(%)相邻的两个零点分别为第1/2，不妨设sin(2%i+?)=sin(2%2+?)='

由于正弦值为j的相邻两个角一定是第一象限角和第二象限角，

4

所以cos(2%i+?)=Rcos(2&+?)=-，，

则cos[2(%i—x2)]=COS+V)—(2%2+十)]

x=

=cos(2%i+cos(2X2+看)+sin(2xr+总sin(2x2+匀=，*(-+||

所以COS2(/—久力=…尸=・

又因为的周期为%所以两个零点有可能落在半个周期之内，也有可能落在半个周期之外且一个

周期之内，即%G（0,JT）,

又不妨设<汽2，则COS,1—X2I=COS（X2—%1）=COS（；q—X2）=±

解法二：由解法一知/（%）=3—4sin（2x+子），贝!Jsin（2xr+=sin（2x2+看）=*

根据函数丫=sin（2%+9可知，%i，%2关于％=看+（k€Z对称，

即久1+到=2（看+=：+kn,则％2=g+左兀一%i，又不妨假设%1<%2，

所以cos|%i—x2\=cos（x2—久）1=cos（（g+k兀——%i）=cos（—2%i+：+忆兀）‘

当上为偶数时，

cos|x1—x2\=cos(2/-孑)=cos(2%i+看-=cos(2xr+/+=sin(2xr+=：，

当々为奇数时，

cos|x-£-%21=_cos(2第]——_cos(2%]+-----_cos(2%]H--—H—)=一,由(2%]+=-4

综上可知cos|%i-x2\=±|.

4

故答案为：

4

2

5.(2024•浙江宁波•模拟预测)已知函数/(x)=2coscox+sin2o)x—1(3>0)/(%i)=/(%2)=

日,|修一支21的最小值为号，则3=()

A.1B.1C.2D.3

2

【答案】A

【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简〃》）,再由y=sin%与y=芹目交的两个交点的最近距离

为:~~6=结合［（23%1+：）—（23%2+：）］min=-X2lmin=（解出即可.

【详解1/（%）=2cos2tox+sin2tox—1=cos2cox+sin2a）x=V2sin（2a）x+：）,

因为八XI）=/（%2）=f-

所以sin（2o）%i+：）=sin（2a）x2+：）=%

因为当％E［0,2叫时，sin%=:对应的久的值分别为g2,

所以y=sin久与y=；相交的两个交点的最近距离为1-y=2h

Noo3

又出—的最小值为号，

所以［（2（0%1-。3%2+?）］min=2但%-久2Imin=号

2n1

即23、号=---=>0)=-

32

故选：A.

fl好题冲关

A基础过关

1.（22-23高三上•天津滨海新•期中）若a是第三象限角，且sin（a+0）cos0—sin/?cos（a+S）=—卷

则tana等于（)

A.-5B.一卷C.AD.5

【答案】C

【分析】根据两角差的正弦公式求出sina,然后由同角三角函数的关系结合a是第三象限角即可求出tana

【详解】由题意，sin(a+/?)cos/?—sin0cos(a+/?)=—^=sin(a+/?—/?)=sina,

由于a是第三象限角，则cosa<0,于是cosa=-sin2a=-

贝”tana=^=5

故选：C

2.（23-24高三上•云南昆明•开学考试）已知tan（a—；）=4,贝!Jsin2a=（

A.2B.2

1717

C.15D._15

1717

【答案】D

【分析】先利用两角和正切公式，求得tana=-|,再结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】由tan(a-：)=4,可得tana=tan[(a-+引=4+15

1-4X13

d小.c2sinacosa2tana15

乂由sin2a=—：-----=----=----.

sm2a+cos2atan2a+l17

故选：D.

3.（23-24高三上•天津南开•期中）已知sin（a-总=sin（a+1），贝！］tana=

【答案】2+6/百+2

【分析】根据和差角公式，结合同角关系即可求解.

【详解】由sin（a—=sin（a+：）可得siincrcos——cosasin—=sincrcos——Fcosasin—,

6633

11.,V3V3-l.1+V3一.sina1+V3.行

所以日sina—-cosa=-sina4——cosa,即0n----sina=----cosa=>tana=---=下一=2n+V3,

22222cosaV3-1

故答案为：2+V3

4.（23-24高三上•天津河东•阶段练习）△ABC中，已知cos2A=g贝UsinA=

【答案】黑卷同

【分析】利用二倍角的余弦公式计算即得.

【详解】在△/8C中，0</<兀，则sin/>0,

由cos2Z=1,得1—2sin2i4=1,即siMZ=

所以sinZ=—.

10

故答案为：吗

10

5.（22-23高三上•天津滨海新•期中）已知角。的终边经过点P（-2,1）,则tan®=

cos20—2sin20_

cos26,

【答案】I

【分析】由三角函数的定义结合三角恒等变换即可求解.

【详解】因为角。的终边经过点P（—2,1）,

所以由三角函数定义可知tan。=-%

cos20—2sin20_cos20—2sin20sin01

且tan。

cos20cos20—sin20'COS02’

grpicos20—2sin20cos20-2sin20_l-2tan202

所乂cos20cos20—sin201—tan203

故答案为：—I，|.

6.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知tana=tan/?=-1,且E（0,兀），则2a-£=

【答案】一等

【分析】利用正切的二倍角公式和两角差的公式进行求解即呆.

【详解】因为tana=|>0,tan£=—^<0,a]E（0,兀）,

所以a€（0,万），SE（5,兀），

因为tan2a==彰=^>0,

l-tan2a1一（工）4

所以2aE（仇万），BE（万，兀），因此一兀V2a-/?V0,

31

tan2a-tanj?_

因为tan（2a-6）=1,

l+tan2atan0i+|x（-ij

所以21一/?=一等，

故答案为：

4

7.（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）已知2sina+cosa=0.

⑴求tan（a-：）的值；

已）求巴的值；

sin（n+a）

（3）当a是第四象限角时，求cos（a+1）的值.

【答案】（1）一3

⑵2

2V5+V15

10

【分析】（1）利用已知条件求出tana,再结合差角的正切公式，即可求解.

（2）利用诱导公式化简式子即可求解.

（3）由（1）知，tana,结合a是第四象限角可求出sina、cosa的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.

【详解】(1)若cosa=0,贝iJsina=±L显然不满足2sina+cosa=0,

•"nmilnsinacosa

..cosaH0贝l]2----1-----=0n,

cosacosa

2tan(z+1=0贝!Jtana=—j

tana-tan^

/.tan(a-=___________4_——Q

JT—D•

1+tanatan—

4

(2)由(1)知tana=—1

sin(T-a)_cosa

—=2.

sin(n+a)-sinatana

(3)由(1)知tana1

2

又a是第四象限角，

..V5

sintz1sina=——

cosa2解得

2A/5

sin2a+cos2a=1cosa=——

5

..n2V5+V15

..cos(a+g)=cosacosy—sinasin-=------.

310

B能力提升

1.（23-24高三上•天津河西•阶段练习）已知tan（，+9=-3,则*加；瑞•等于（)

2

A.-B.0C.-2D.2

3

【答案】C

【分析】利用两角和的正切公式求出tan。,再由诱导公式即可得解.

【详解】•*atan（。+：）=l+tan0仁

~13，

l-tan0

tan0=2

.sinC+8)+cos("

+。)_-COS0-COS02cos62

sin(n-6)-sin(；+6)sin0-cos0cos0-sin0l-tan0

故选：C

2.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）函数/（%）=sinx+Wcosx在区间［o,