三角恒等变换（7题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题18三角恒等变换7题型分类

彩题如工总

题型1:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用

题型7：三角恒等变换的综合应用

题型2：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用与变形

题型6：给值求角

专题18三角恒等变换7

题型分类题型3：角的变换问题

题型5：给值求值」/

题型4：给角求值

彩和正宝库

一、两角和与差的正余弦与正切

(1)sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasinp；

(2)cos(a±0=cos«cosft.sinorsin0；

tana±tan/3

③tan(a±/?)=

1.tanatan0

注：两角和与差正切公式变形

tani±tan/=tan(cr±0(1tanatan/3)；

tanetan/——.c+tan/JancTan/r

tan(cr+0)tan(cr-p)

二、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos26Z—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a;

2tana

③tan2a=

l-tan2«

三、降次(幕)公式

.1.八.21-cos2a1+cos2a

sinacosa=—sm2a;sina=;cos2a

注：1+cosla=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；1+sin2。=(sina+cosa)2；1-sin=(sina-cosa)2.

四、半角公式

1-COS6Za,/1+COS6Z

sin—=±心万=±《=~

22

asintz1-cosa

tan——=

21+cosasina

五、辅助角公式

m.a.b

asina+bcosa=［a1+b2sin(a+。)（其中'八高，cos(b=-,，tan0=­)

y/a2+b2a>

六、其他常用变式

.c2sincrcos«2tana八cos2er-sin2er1-tan2aasina1-cosa

sinla=---------=-------；cos2a=^―：------~=------~;tan—=-------=—；----

sina+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

七、拆分角问题：①；a=(a+/3)-/3-②a=齐一(分-0；③a=；［(［+尸)+(“-/?)］；

④夕=；［(a+0-(a-尸)］；⑤(+a=5-£-a).

注意：特殊的角也看成已知角,如a=｝（?a）.

彩他题秘籍

（一）

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用a,"的三角函数表示a±£的三角函数，在使

用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.

2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变

形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

题型1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用

1-1.(2024高三下•广东广州•阶段练习)sine=亭，则tan(a—Q)=()

A.2A/2-1B.2A/2-3

C.2V2+3D.3-2万

717134

1-2.(2024.安徽淮南.二模)已知O<a<5,5<A<7i,sina=g,cos(a+0=—y,贝ljsin〃=()

11

1-3.（2024高一上•广东广州•期末）已知cosa+cos/?=5,sina—sin夕=§,则cos（a+/7）的值为（

A13n13「59-59

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

题型2:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用与变形

2-1.（2024•山东泰安•二模）已知sina+gcosa=2^,则sin],—2“=.

2-2.（2024高三上•山东青岛•期末）已知sina+sin/7=l,cosa+cos£=,贝|cos（a-/7）=.

23（2024高三•全国•对口高考）181115。+电130。+1和115。43113。。的值是.

2-4.（2024高一.全国•课后作业）tan50。-tan20。-走tan50。tan20。=.

3

2-5.（2024高三下•河南平顶山•阶段练习）若sin（a+/7）+指cos（a+m=4sin[a+|Jcos夕，则（）

A.tan（（z+Q）=-如B.tan（«+y0）=V3

C.tan（«->0）=->/3D.tan（a-/?）=A/3

彩健题秘籍

（二）

角的变换问题

常用的拆角、配角技巧：2a=（a+月）+（a-0；«=（«+/?）-/?=（«-/?）+/?；

夕=£^-£^=（。+2尸）-（。+尸）；a-^=（a-z）+（z-/J）.15°=45°-30°;£等・

题型3:角的变换问题

3-1.（2024・四川成都•模拟预测）设tan[c-则tan（a+；j等于（）

A.-2B.2C.-4D.4

口（兀、3则sin[e+g]=（）

3-2.（2024.四川.三模）若a为锐角，HeosaH=—,

（12J5,

A.一还「A/2D.述

B.一叵

10101010

3-3.（2024高一上.福建福州•期末）已知sinL+』="e（-EF〕，贝hinc的值为（）

B3+4囱3-2班八3+2囱

A3-473r

10101010

已知'n\cs8一!〕=11"月/0,£],则cos(a+6)

3-4.（2024高一上•黑龙江哈尔滨•期末）cos]a-\——=?°G

、6Jo713o7

()

16335663

A.——B.——C.D.——

65656565

彩得题祕籍

给角求值

（1）给角求值问题求解的关键在于“变角"，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.

（2）给角求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

题型4:给角求值

1-A/3tanlO

4-1.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）求值:)

A/1-COS20

A.1B.72C.6D.20

cos70°-cos20°_

4-2.（2024•广东湛江•一模）

cos65°

4-3.（2024・重庆.模拟预测）式子2sinl8（3cos^-sin9一」化简的结果为（）

cos6+A/3sin6

A.gB.1C.2sin9D.2

4-4.(2024高一下•江苏苏州•期中)计算：E‘in40-sin80=()

cos40+cos60

A.-立B.--C.—D.；

2222

给值求值

给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角"，使其角相同

或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，

其中"凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根

据这些关系来选择公式.

题型5:给值求值

5-1.（2024•全国）已知ee,tana=2,则cos（a—?=.

5-2.（2024高三上.河北・期末）已知tang=2,则广匕-产，的值为.

5-3.（2024•山东济宁•三模）己知cos?1?-则sin2cz=.

5-4.（2024•江西•模拟预测）己知sin[+：|=¥，则cos（2a-gj=.

5-5.（2024•全国•模拟预测）若"分电]二]，贝1.

彩偏题祕籍一

（五）

给值求角

给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出"所求角"的某一三角函数值，再确定"所求角”的范围，最后借

助三角函数图像、诱导公式求角.

题型6:给值求角

6-1.（2024高三上•上海嘉定•期中）若d夕为锐角，sinc=孚,cos（c+m=-《，则角夕=.

41Jr57r

6-2.（2024高三上.黑龙江哈尔滨.阶段练习）已知cos2a=1,tan£=-―，其中—</3<n.

⑴求sin[+；）的值;

（2）求2tz的值.

6-3.（2024高一上•福建三明•阶段练习）已知ae（0,7t）,6，sina-cosa=,sin（a+/）=：.

⑴求tana；

(2)求角P.

6-4.(2024高三上•江西抚州•阶段练习)已知cosc=W，sin£=*R,且则a+£

的值是.

遂他题秘籍一

(A)

三角恒等变换的综合应用

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变

形使用.

(2)形如y=asinx+Z2cosx化为y=病行'sin(x+0)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对

称性.

题型7:三角恒等变换的综合应用

7-1.(2024.湖南•模拟预测)已知函数/'(x)=sin2尤+sinxcosx-l.

(1)求/'(X)的最小正周期和单调递增区间；

⑵当xe[og]时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值.

7-2.(2024高三上•天津•期中)已知函数〃尤)=2cos葭尤sin[£x-咚,o>0,图象的两条相邻对

称轴之间的距离为

2

⑴求〃”的单调递减区间；

(2)若胫)=-：,且牝刍，求sin©-当的值.

25666

7-3.(2024高三•全国•对口高考)已知〃力=$出20尤+45吊28-；"€艮0>0).若〃x)的最小正周期

为27t.

⑴求“X)的表达式和/(X)的递增区间；

TT

(2)求/(x)在区间一7不上的最大值和最小值.

OO

7-4.（2024•浙江）设函数/（x）=sin%+cosx（X£R）.

（1）求函数y=+的最小正周期；

（2）求函数y=在0,|上的最大值.

75（2024高三上•天津和平•阶段练习）已知函数〃尤）=2以cos?1^-+-2sin（7i+x）cosx-y/3•

⑴求了（另的最小正周期及单调递减区间：

...（兀）1437r、._,,..

（2）右/r%一27~，兀，求sin2x0的值.

IO7ZD4

炼习与稷升

一、单选题

兀"+胃，则sin(2i+：)=()

1.(2024・安徽安庆•二模)已知sinasin(1-a)=3cosasin

A.-1B.—走D.2

JC-2

22

已知sin8+cos(8一0==1,则cos(g-1J=()

2.（2024高三上•福建三明•期末）

A.立B.一旦D.-逅

3333

3.（2024•安徽亳州•模拟预测）已知sina=|,ae]',j,.sin(a+£),/八、

右1。-4,则tan(a+月)—()

cosp

167162

A.B.—C.—D.-

7873

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔・三模）已知a一尸=§,tana一tan/?=373,贝!Jcos(a+£)的值为(

1111

A.JB.-C.——D.——

2346

5.（2024高三上.上海静安•期中）已知a、尸是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（

A.sin(a+/)+2cosisin，+sin(a-，)>0

B.cos(a+/)+2sinasin/7+cos(a-")<0

C.cos(<z+^)-2sinorsin/3+cos(<z->0)>0

D.sin(cr+/)—2cosasin力+sin(a—万)<0

6.（2024高三.北京海淀.阶段练习）已知。为坐标原点，点

P{(cosa,sin«),P2(cos/?,-sin/3),P3(cos(a+/3\sin(«+^)),A(l,0),给出下列四个结论：①口耳=|。修；②

③0AoR=OP\OP「,@OAOF[=OR,OP.其中正确结论的序号是()

|A^|=|A^|;i

A.①②B.①④C.①③D.③④

o

7.（2024•安徽安庆•二模）已知第二象限角a满足sin(兀+a)=--，则sin24一2sin(a+4)cos(。—4)的值为

()

A.-14石D.校

B.C.-

9999

已知tan（6»+：j

8.（2024•河南•模拟预测）=-3,贝Ucos20=()

A.13

B.C.1D.-1

55

sin(a+乃)+cos(万一a)

9.（2024高三上•山西忻州•阶段练习）已矢□tan|a+f|=3,贝!J(7i\.(3n\()

I4Jcosci----+sin--------cc

22

A.--B.C.-3D.3

33

10.（2024・江西・二模）已知sin]X-.：）=去，则COS（2"T

=()

A2班-3B2m±303A/3+4D3A/3±4

1010-1010

sin(a+4)=1^,则cos笈=()

11.（2024・山西晋中•三模）已知a,夕为锐角，且tana=2,

A..巫B.3所「TToD.叵

.-------

10101010

COS,+W=坐,贝!Jcos(2(z—0=(

12.（2024•全国•模拟预测）已知a,£40,兀），+=,)

AA口

5/36r5百D.B

9393

13.（2024•广东汕头•二模）若Xsinl60+tan20=g,则实数4的值为（

A.4B.46C.273

14.（2024高三•重庆沙坪坝•阶段练习）sinl0°+—tanl0°=()

4

正

A.1B..C.ID,

4422

已知XGI0,—I,cosx+sinx川()

15.（2024高一下•湖南衡阳•阶段练习）,.IdU)，火!J])

I2I2jcosx-sinx

7171Tl兀

A.y-x=—B.2y-x=—C.y-x=—D.2y-x=—

4422

16.（2024•全国）已知a为锐角，cosa=匕且，则sin4=（）.

42

A3-^5R-1+^5p3-^5口-1+际

8844

17.（2024•全国）已知sin（a—万）=Lcosasin^=L则cos（2a+27?）=（）.

18.（2024・全国）若sin（a+〃）+cos（a+/?）=2忘cos]a+（卜in/7,贝lj（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+P）=l

C.tan（a-/?）=-lD.tan（cr+/?）=-l

19.（2024高三上•江西赣州•期末）已知函数"x）=sin2x+acos2x,xe^O,^-的最小值为〃，则实数〃的值

为（）

A.-1B.—3C•3D.1

33

20.（2024高三上.山东.阶段练习）已知匹［。,：），sin6zcos^+（7^-sin^+<7^cos6Z=-|,且

3sin4=sin（2a+4）,则戊+分的值为（）

71c兀

A.—cD.-

12-73

（2024.广东广州.一模）若。,万弋/

21.，且（1-cos20（l+sin0=sin2acos/5,则下列结论正确的是（）

57r

A.2a+B="B.2a-/=子

-c7兀

C.OL（3—4D.a—B=%

22.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）若sinlO°=（gtanl0°-l）sin（a-20°）,贝|sin（2a+50°）=（）

177

A.B.C.D.

8888

23.（2024高一上•浙江宁波・期末）已知85（140。一二）+51口（110。+0）=5111（130。一二），求tana=（）

A.是B.C.6D.—代

33

24.（2024・重庆•模拟预测）已知角。，/满足tana=；,sin尸=2cos（a+尸）sina,贝！Jtan/=（）.

A.-B.gC.1D.2

42

25.(2024•全国•模拟预测)已知a,P,2满足a-6一7=兀》且sina=2cos/cosy,tan/?tany=-3,贝!!tana

的值为（）

A.12B.--CD.2

2,2

已知sine+sin1+])=L,则sin(V卜（）

26.(2024.全国)

R币2D.立~

A.；C

23，32

27.（2024•全国•模拟预测）已知角©?满足吗=-5,sin（a+0=；,则sin（6…A）=（）

tan夕3

c.1

ABD

-1-15-I

:a-d)=2—则tanJ5等于（

28.（2024高三上•陕西•阶段练习）已知tan

A.-2+若B.2+6C.-2-43D.1

4sin40°cos40°

29.（2。24高三上•黑龙江牡丹江・期末）cos2QO-1-)

A.1B.五c.73D.2

30.(2024高三上・江苏•阶段练习)^tan(^-a\=C°Sa+2sina,则tan2c=()

(4J2cosa-sma

11

A.—B.3C.—D.—3

33

31.(2024高三下•上海金山•期中)若tan6=-2,则即,0+sm2")=()

sin8+cos6

•62「2

5555

cos40°

32.(2024高一下•湖北荆州•期中)化简：一—====()

cos25V1l-cos50

A.5/2B.2A/2C.6D.V3-1

33.(2024高二上•江西景德镇•期中)已知sina=3E,cos(a-£)=巫，>0<a<—,0<^<—,则

7v7544

sin/?=()

A9715RllVIorV15nVio

35353535

34.(2024・江苏无锡.三模)已知tan4=&^,tan(a+⑶=*吧，若£/0,父，则尸=()

1-sincrcoscrI2)

35.（2024・全国•模拟预测）若/三=2,则l+2sin26+3cos：e=（）

l-cos<9—2sin26+3cos2。

4

A.5B.-C.2D.4

3

36.（2024高三上•河南周口•阶段练习）已知函数〃%）=COS4（GX+G）-sin43x+o）（G>0,0<0<7i）的部分

图象如图所示，则函数g（%）=4/（x）-『工-巳的零点个数为（）

37.（2024.全国.模拟预测）已知tanx=—竺，则cos2x=（）

sinx+5

1725

cD

A.3-B.-93--9-

38.（2024•福建泉州•模拟预测）若cosa+sintz=g,则tan2[c-；]=（）

A.0B.-C.3D.7

2

二、多选题

39.（2024•全国）已知0为坐标原点，点q（cos（z,sina）,^（cos^-sin/J）,^（cos（tt+/?）,sin（a+y0））,A（1,0）,

则（）

A.|。耳=|。臼B.|训=|叫

c.OAOP3=ORO?D.OAOP^OP^O^

40.（河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末数学试题）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究

正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sinl8表示.下列结果等于黄

金分割率的值的是（）

sin36

A.sinl02+V3cosl02

sinl08

2tan9cosl8

D.2cos78+2cos42

l-tan29

41.（2024高三上•广东•期末）已知函数jf（x）=cos4x+2j5sinxcos%-sin'x,则下列说法正确的是（）

A.最小正周期为万

B.函数〃x)在区间(-兀，兀)内有6个零点

C.“X)的图象关于点白,0对称

D.将的图象向左平移;个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在［(V］上的最大值为g(O),贝气

的最大值为亍

三、填空题

42.(2024・湖北荆门•模拟预测)若5由［2。+弓］+802畿=—括，则tana=.

43.(2024高三・全国•专题练习)已知sin(a+mj=(,则sin［2a-器〔=

44.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)已知0sin(a+4—：］=2cosacos4—cos(a—4)，贝l］tan(a+/5)=

a.a

cos—sm—

45.(2024高三上.四川・期中)写出一个使等式一产获+“2=2成立的a的值为.

cos(—+-)sin(—+-)

2o26

l+2cosa=2cosB

46.(2024.北京海淀.模拟预测)若实数Va,尸满足方程组M+2sma=2sm"则用的一个值是

47.（2024・全国•模拟预测）已知工＜々＜也，4A/3sin^sin|j+4sin^cos||+tan-^-=73,则

6315v3715^3J15

a=.

48.(2024高一下•上海浦东新•阶段练习)已知sin(K卜-］,sin苧"=噜，且ae［衿］，尸©恒

求a-4的值为—.

49.(2024高―■下•江苏扬州•期中)已知sin(a+2尸),cos(2a+^)=-^,ae^,^,匹［-+。］,

贝l］a一6=.

50.（2024高三上•陕西商洛•期中）已知a,4满足（1+tanaXl—tan/?）=2,贝l］/—a=

51.（2024IWJ三上•江苏南通•期中）在.ABC中，tanA+tanB+V2=A/2tanAtanB,贝!Jtan2C=.

52.(2024高三上•广东广州•开学考试)若角。的终边经过点P(sin70。,cos70。)，且

tana+tan2a+mtana-tan2a=^3，贝U实数机=.

53.(2024高一•全国•课后作业)若AB是AABC的内角，且(l+tanA)(l+tan5)=2,则A+3等于.

54.(2024高一上・江苏泰州•期末)若a,夕为锐角，且£+万=?,则(l+tana)(l+tanp)=；

(1+tanl)(l+tan2)(l+tan3)(l+tan45)=

55.（2024高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知a,尸，”"，3卜inZ?+sin/=sina,cosa+cos/=cosQ,则

P~a=.

56.（2024高一上•重庆沙坪坝•期末）若£<4<"<a<当，且cos（a+⑶=-变，sin2夕=。，则a-尸=.

42v7105

57.（2024高三下•湖南•阶段练习）若锐角a、P满足sin（a-尸）=g,cos[a+聿]=g,则cos（/+「=

58.（2024.全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点

“（3,4）为角口终边上一点.若1€10,3，£€1,兀），JLsin（6Z+^）=-^,贝l]tan^=.

59.（2024•山西临汾•模拟预测）己知a为锐角，且sinj^-aj+gsina=g,则3（2戊+0=.

60.（2024高三上•广东湛江•阶段练习）已知a,尸e0,4,sin（a+^）+V3cos（a+^）+4（«2-a）=-3,贝I]

P=.

61.（2024•全国•模拟预测）在正三角形A3C中，由e{AB+BC+CA）=e•（）=0可得到三角恒等式

cose+cos,+g]+cos,+=0,其中6=卜,AB）,以此类推，在正〃边形中，可