三角函数的概念与运算-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第16讲三角函数的概念与运算

（8类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第16题,14用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角

分形余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦

定理结合出题

【备考策略】1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值

2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值

4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般结合三角函数与正余弦定理一起出题。

•考点梳理

1•角的概念

2.弧度制的相关概念考点一、任意角与弧度制

r知识点一.三角函数的定义《3.三角函数的概念考点二、扇形的弧长与面积

4.常用结论考点三、三角函数的定义

5.三角函数定义的推广

三角函数的概念与运算r1.平方关系考点四、sina,cosa,tana的知一求二

知识点二.同角三角函数的基本关系Y2.商数关系考点五、sina,cosa,tana的齐次化

3.同角三角函数基本关系式的变形｛考点六、sina±cosa,sincrcosa的知一求二

1诱.导公式

考点七、三角函数的诱导公式

知识点三.三角函数的诱导公式2.诱导公式的记忆口诀

考点八、诱导公式中的凑角求值

3同.角三角函数的基本关系式的几种变形

知识讲解

知识点一.三角函数的定义

1.角的概念

1

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

分类：按旋转方向，角可以分成三类：正鱼、负角和零角.

(2)象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合,角的始边与工轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几

象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={£l6=a十寸360°,k”,即任一与角a终边相

同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.弧度制的相关概念

(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

⑵弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度

如图，在单位圆。中，蕊的长等于1,就是1弧度的角.

⑶角度制和弧度制的互化：180。=匹rad,1。=喧0rad,1rad=l匹上.

(4)扇形的弧长公式：1=虹,扇形的面积公式：5=%=1户.其中r是半径，a(0<a<2兀)为弧所对圆心角.

3.三角函数的概念

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，aGR,它的终边与单位圆交于点尸(x,y),那么

定义X叫做a的正弦，记作sin工叫做a的余弦，记作2叫做a的正切，

X

acosa

记作tana

4.常用结论

(1)一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函数在每个象限的正负如下表：

第一象第二象第三象第四象

三角函数

限符号限符号限符号限符号

sina++一一

cosa+一一+

tana+—+—

(3)象限角

2

第一象限角仔|2Anr<a<2/CE号,kEZ}

第四象限角阳2AH+争＜。＜淅~+2型EZ]

(4)轴线角

轴

线

角

的

集

合

终边落在坐标轴上的角"[a|a二5F/EZ

5.三角函数定义的推广

设点尸(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=\OP\,贝！Jsina=",cosa=~,tana=".

rrx

知识点二.同角三角函数的基本关系

1.平方关系：sin2a+cos2a=l.

将壬歹sina,「罢+E,让z]

2.商数关系：--=tan2J.

cosa

3.同角三角函数基本关系式的变形

(l)sin2a=1—cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；cos2a=1-sin2a=(l+sina)(l—sina).

0#兀+匹，左£力

(2)sina=tanacosal2J.

(3)(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

知识点三.三角函数的诱导公式

1.诱导公式

组数--二三四五六

a+2历171

角兀+a~a7i—a----a~-\-a

收Z)22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cos。cosc—cos。sina—sina

正切tanatana—tana一tana

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限"，其中的奇、偶是气的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2a=1—cos2a=(1+cos(z)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sin(z)(l—sina)；

3

(sinaicosa)2=l±2sin«cosa.

[a#+E,kGZ

(2)sina=tanacosal2,

sin2atan2a

⑶sin2a

sin2a+cos2atan2a+1

7

cos'。1

cos2a

sin2a+cos2atan2a+1

考点一、任意角与弧度制

典例引领

1.（2015・山东•高考真题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）

A.卜卜=]+2卜兀,k6Z}B.{%,=]+々无}

C.jxk=—]+2k兀，keZ}D.{x,=—]+k兀，keZ}

【答案】A

【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解

【详解】终边在y轴正半轴上的角的集合是1母+2"#€Z}

故选：A

2.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知集合A=^x\2kn+^<x<2kn+y,fcezj,集合B=卜出兀+；<x<

/C7t+pfcGz）,则力C8=（）

A.^2/c7t+J2/CTT+目），keZB.（k兀+kit+J,keZ

C.（2/OT+/2/OT+§,kGZD.伽+：,碗+9，fc6Z

【答案】A

【分析】根据给定条件把集合B写成用2kn+0（fcGZ）形式表示的集合，再与集合A求交集即可.

【详解】依题意，B={X|2/OT+：<x<2kn+j,/cGzjU卜|2E+中<x<2kit+-,kEzj,

而4={x|2E+^<x<2kit+y,kGzj,

所以力nB={x[2/CT+：<x<2/OT+m，kez}=（2碗+力2k兀+§,kEZ.

故选：A

即网投文

1.（23-24高三上•上海静安•期末）设a是第一象限的角，贝吟所在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

4

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根据a是第一象限的角，求出］的范围判断即可得解.

【详解】因为a是第一象限的角，

所以2E<a<+彳，fc6Z,

所以kit<—<fc?r+—,fcez,

24

当k=2几TIEZ时，2九兀V三V2九兀+:,九CZ,三为第一象限角；

242

当左=2几+1,九EZ时，2n兀+兀V2<2n兀+兀+c，）1€Z,士为第三象限角.

242

故选：C

2.（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90°—aB.90°+aC.360°-aD.360°+a

【答案】C

【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.

【详解】因为a是第一象限角，所以-a是第四象限角，

则90。一a是第一象限角，故A错误；90。+a是第二象限角，故B错误；

360。-a是第四象限角，故C正确；360。+a是第一象限角，故D错误.

故选：C.

3.（23-24高三上•云南•阶段练习）从2023年12月14日13：00到当天13:25,某时钟的分针转动的弧度

为（）

A.且B.空C.—列D.—空

6363

【答案】C

【分析】根据弧度的概念求解.

【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，

所以分针转动的弧度为-2兀=-日

306

故选：C.

4.（22-23高三・全国•对口高考）①若角a与角0的终边相同，贝ija与0的数量关系为；②若角a与角

S的终边关于X轴对称，贝!la与S的数量关系为；③若角a与角0的终边关于y轴对称，贝心与£的数

量关系为；④若角a与角夕的终边在一条直线上，则a与£的数量关系为；⑤如果a是第

一象限的角，那么E是第象限的角.

【答案】a=0+2/OT,keZa+S=2kn,keZa+0=（2k+1）兀,keZa=0+

kn,keZ一、二、三

【分析】

根据角的终边关系写出两个角的数量关系，注意对称性、周期性应用，根据a所在象限写出］的范围，讨论

5

其所在的象限即可.

【详解】由角a与角0的终边相同，则a=£+2/c兀,kEZ,

由角a与角夕的终边关于x轴对称，则a+0=2knfkeZ,

由角a与角夕的终边关于y轴对称，则a+S=（2k+l）%/cEZ,

由角a与角S的终边在一条直线上，则a=£+女兀,々CZ,

由a是第一象限的角，则2々兀Va＜1+2k.7t,kGZ,

所以竽警,kez,

33oo

当k=0,则0＜与＜3在第一象限；

36

当k=l,则在第二象限；

336

当k=2,则亨＜与＜£,在第三象限；

当k＞3,则学衣次重复出现在上述三个象限内；

所以］在第一、二、三象限.

故答案为：a=P+2kii,fcGZ,a+）?=2kji,fcGZ,a+夕=（2k+1）兀,k€Z,a=0+kji,kE.Z,一、二、

考点二、扇形的弧长与面积

甲典例引领

1.（2024・陕西安康•模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积=1（弦x

矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心

到弦的距离之差.现有圆心角为8（0,£）｝且cos。=套，半径等于10m的弧田，按照上述给出的面积公

式计算弧田面积是（）

【答案】A

【分析】先根据半角公式求出sing,cos*再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解.

【详解】由cos”套可得，呜=尸=*呜=狞，，

故弦长为2Xlosing=12,矢长为10-10cos1=2,

6

所以所求弧田面积为3X（12x2+22）=14m2.

故选：A.

2.（2024高三下•四川成都・专题练习）如图，圆。内接一个圆心角为60。的扇形力BC,在圆O内任取一点,

则该点落在扇形ABC内的概率为（）

A

【答案】c

【分析】连接OA,OC,设圆的半径为r,求出AC,利用扇形面积公式求出扇形ABC的面积，再结合几何

概型求概率公式求解.

【详解】连接OA,OC,

贝此。4c=30°,=OC=r,

取力C中点D,连接。D,贝

其中4D=CD=rcos300=yr,

所以4C=24D=V3r,

所以扇形ABC的面积为］xxAC?=jitr2,

又因为圆的面积为兀声，

12

所以在圆O内任取一点，该点落在扇形ABC内的概率为彩=3

兀产2

故选：C

7

即时检测

I________L__________

1.（2024高三・全国・专题练习）如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为等，则A,B两点

【答案】C

【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出；

【详解】设砂所对的圆心角为a.

则由题意，得aR=等R.所以戊=日，

所以4B=2/?sinj=2Rsin?=2RX产=V3/?,

故选:C.

2.（2024高三•全国•专题练习）如图，在RSPB。中，NPBO=90。，以。为圆心，OB为半径作圆弧交OP

于点A.若圆弧AB等分4POB的面积，且N4。B=a,则与=.

【答案】170.5

【分析】利用扇形半径表示直角三角形POB和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解.

【详解】设扇形的半径为r,则扇形的面积为

在Rt△POB中，PB=rtana

则^POB的面积为:7•rtancr,

由题意得^丁•丁tana=2x1ar2

所以tana=2a,所以‘-="

tana2

8

故答案为：t

3.(22-23高三上•安徽六安•阶段练习)已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角a=扇形面积

最大.

【答案】2

【分析】由扇形周长公式列式2r+2=20(0<r<10),根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从

而求解得r=5时扇形面积最大，计算出弧长由弧长公式计算圆心角的值.

【详解】设扇形的半径为r,弧长为

由题意，2r+1=2002=20—2r(0<r<10),

扇形的面积为S==1(20—2r)r=10r—r2

="(r-5)2+25(0<r<10),所以当r=5时，

扇形面积取最大值25,此时1=20-10=10,

所以扇形的圆心角a=』=券=2时，扇形面积最大.

T5

故答案为：2

4.(2024・陕西商洛•模拟预测)古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》

包含一张弦表(即不同圆心角的弦长表)，这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分,

用圆的半径长的”作为单位来度量弦长.将圆心角a所对的弦长记为crda.如图，在圆。中，60。的圆心角所对

的弦长恰好等于圆。的半径，因此60。的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60。=60.若。为圆心角，cos。=

-(00<6<180°),则crd。=______.

8

/crd601

60°

【答案】30V7

【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出cos。=；时圆心角。所对应的弦长/=?r,结合60。的圆

心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.

【详解】设圆的半径为r,cos。=5时圆心角。所对应的弦长为

O

利用余弦定理可知F-r2+r2-2r2cos。=^r2,即可得2=jr,

又60。的圆心角所对的弦长恰好等于圆。的半径，60。的圆心角所对的弦长为60个单位，

即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，

所以2=4x60=3077.

9

故答案为：30V7

考点三、三角函数的定义

典例引领

1.（23-24高三上・江苏南京•阶段练习）已知角a终边上有一点P（sin号,cos”），贝阮-a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根据称所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.

【详解】因为称是第二象限角，所以sin”>0,cos^CO,

o66

所以点P在第四象限，即角a为第四象限角，

所以-a为第一象限角，所以兀-a为第三象限角.

故选：C

2.（2024高三•全国・专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点为原点。，以x轴的非负半轴为始边,

终边经过点P（l,机）（M<0）,则下列各式的值恒大于0的有（）个.

;②cosa—sina；③sinacosa；④sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据三角函数定义得到sinaVO,cosa>0,tana<0,再依次判断每个式子得到答案.

1

【详解】sina=T^V0'c°sa=->0,tana=m<0,

Vl+m2

>0；②cosa-sina>0；③sinacosa<0；④sina+cosa符号不确定.

tana

故选：C.

即0^（

1.（2024•山东•模拟预测）已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

P（sin或cos贝！Jcos（a+，）=（）

A.0B.-C.—D.-

222

【答案】B

【分析】由三角函数的定义即可求得a,从而得到结果.

【详解】由题意可得「你》则tana=*=圣所以a=：+2Mr,/c£Z,

所以cos（a+：）=cosQ+2k7i+/）=cos^=

10

故选：B

2.(2024•河北衡水•模拟预测)“角％夕的终边在同一条直线上”是“sin(a-0)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】借助a-0的值，直接分别判断充分性和必要性.

【详解】由角a,£的终边在同一条直线上，得a=0+GZ,

即a—8=ku,k€Z,所以sin(a—3)=sinfcir=0,eZ.

反之，由sin(a-/?)=0,得a-°=mn,m€Z,

当zn为偶数时，角a,0的终边在同一条射线上；

当山为奇数时，角a邛的终边在同一条直线上.

综上，“角a,£的终边在同一条直线上”是“sin(a-位=0”的充要条件.

故选：C.

3.(2024•宁夏石嘴山•三模)在平面直角坐标系中，角8的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过点P(l,2),贝I]7cos2。一2sin26=()

A.B.|C.-2D.2

【答案】A

【分析】由题意可知：tan。=2,根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.

【详解】由题意可知：tan。=2,

7cos20—4sin0cos07-4tan0_7—4x2_1

所以7cos2。—2sin20=

sin20+cos20tan20+l-22+l—5

故选：A.

4.(2020高三・全国•专题练习)若角。的终边上有一点P(a,a)(aK0),则sin。的值是

【答案】曰或一圣

【分析】由已知求得|OP|,对a分类讨论即可求得sin。的值.

【详解】P(a,a),|。尸|=Va2+a2=V2|a|,

当a>0时，|。尸|=V2a,sin©=卷=亨；

当a<0时，|。尸|二一夜0，sin6>=-^=-y.

sinJ的值是子或-

故答案为：孑或-争

考点四、sina,cosa,tan。的初一求二

11

典例引领

1.(2024•山东泰安•模拟预测)已知sin管+a)=苧且]<aVn,贝ijtana=()

A.-V3B.--C.—D.3

33

【答案】B

【分析】由诱导公式可得cosa=-咚,根据平方关系sina=再根据商数关系得tana=胆.

22cosa

【详解】由诱导公式得sin(y+a)=sin(IT+：+a)=—sin(^+a)=—cosa=?，

所以cosa=-y,

又因为Q6(],兀)，

所以sina=i,

r-rKI4sinaV3

所以tana=——=-—•

cosa3

故选：B.

2.(23-24高三下•辽宁•阶段练习)已知cos"号,3£(0,7t),则cos《—2。=.

【答案】-号-三五

【分析】先求出sin。，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】因为cos8=-1,9e(0,7i),

所以sin0=V1-cos20=苧，

所以cosQ-28)=sin20=2sin0cos0=—殍.

故答案为：-殍.

即峭史

1.(2024,山东•二模)已知sina=*,且a€仔,兀)，那么把苧=________.

5\2/cos4a

【答案】—|

【分析】先根据平方关系和商数关系求出cosa,tana,再根据二倍角的正弦公式化简即可得解.

【详解】因为sina=|,aE\,兀),所以cosa=-：,tana=-；,

sin2a2sinacosa2sina»3

—y-=----n—=------=2tana=——.

cosacosacosa2

故答案为：-去

2.(2024•西藏林芝,模拟预测)已知锐角a满足sin2a=tana,则cosa=________.

【答案】曰/；鱼

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，解得即可.

【详解】因为sin2a=tana,所以2sinacosa=2吧，因为a为锐角，sincr>0,cosa>0,

cosa

所以cos2a=I，所以cosa=j或cosa=-苧(舍去).

故答案为：y

考点五、sin丝cosa,tana的齐次化

12

典例引领

5sina+cosa

1.（2024•河南洛阳•模拟预测）已知tana=2,则

2sina—cosa

A.-B.—C.-D.2

333

【答案】B

【分析】根据切弦互化法计算即可求解.

【详解】因为tana=2,

所以5sina+cosa_5tana+l_5x2+1_11

2sina—cosa2tana—12x2—13

故选：B.

2.（2024・四川自贡・三模）已知角a满足三等=3,则sin2a=（）

sin2a

A.一处B.正C.—D.。

101055

【答案】D

【分析】结合题意运用倍角公式和化正弦余弦为正切，即可求解.

2sin2a

【详解】由上啜=3得=3,即tana=3,

2sinacosa

2sinacosa2tana_3

・••sin2a=~

si~n7a+：cos2-al+tan2a5

故选：D.

即日螂（

1.(23-24高三下•云南•阶段练习)若tana=I，则sin2a-2cos2a—2=()

A.--B.--C.—D.—

24132413

【答案】B

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为tana='

所以sin2a-2cos2a-2=22*伽呼一小2

sina+cosa

2sinacosa—4cos2a2tana—4

sin2a+cos2atan2a+1

2

2x--424

析二=

故选：B.

2.（2024•河北沧州•模拟预测）已知tan。=2V2,则cos20=（）

13

【答案】c

【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.

【详解】由tan。=2V2,得cos20=cos20—sin20=侬约皿g_，匕0衅7

cos”e+sin”。1+tan/。9,

故选：C

3.（2024•浙江杭州•模拟预测）已知坐驾=2,则普T

sm0+cosy2sm0+cos0

【答案】言

【分析】利用同角三角函数值之间的基本关系可得sin。=-4cos6,将表达式利用平方和关系为1化简可得

结果.

【详解】由si”：2*_2可得$出。=—4cos0,即tan。=—4；

sm8+cos6

gr-pisin30+cos0_(—4COS0)3+COS0_—64cos30+cos0_—64cos20+l

2sin0+cos302x(-4cos0)+cos30—8cos0+cos30-8+cos20

-64cos2。+sin20+cos20—63cos20+sin20-63+tan20

—8(sin20+cos20)+cos20—8sin20—7cos2。—8tan20—7

将tan”-4代入计算可得就碧=舒=省

□rtsin30+cos0_47

2sin0+cos30135,

故答案为：言

考点六、sina+cosa,sin。•cosa的初一求二

典例引领

1.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）已知*^=鸟则sin2a=（）

sma+cosa3

A.匹Bc-D

3-i.4-1

【答案】D

【分析】根据给定条件,利用二倍角公式求出cosa-sina,再利用同角公式计算得解.

V3zcos2a-sin2ag々力外日.V3

【详解】由卓一得a一：---=1解得cosa-sina=—

sma+cosa3sina+cosa33：

两边平方得1一sin2a=所以sin2a=|.

故选：D

2.(2024高三•全国•专题练习)已知sina+cosa=二，aG(0,n),贝！Jtana.....-)

5tana

A44

-卷B•-看c--iD.

3

【答案】B

【分析】借助sina+cosa=，可得sina•cosa,结合所处象限可得sina-cosa,即可得tana,即可得解.

14

、、I]

【详解】由sina+cosa=iaE(O,TI),

・•・(sina+cosa)2=击，即1+2sina•cosa=

•••2sina-cosa=-1|<0,a为钝角,

・••sina>0,cosa<0,・•・sina—cosa>0,

•••(sina—cosa)2=1—2sina-cosa=

.7

•••sina—cosa=

rn,1.sina+cosa+sina-cosa4

则sina=---------------------=

4

143,54

cosa=---=-・•・tana=1=-

555—3

5

mil,1417

贝IJtana-------=----------T=-----.

tana3——12

3

故选：B.

即日螂（

1.（23-24高三上•天津河西•阶段练习）已知aE（0m）,sina+cosa=-个，则cos2a=（）

A.+—B.—C.--D.+—

-333-9

【答案】B

【分析】由sina+cosa=一/平方得到sin2a,再利用平方关系求解.

【详解】解：因为aE（0m）,sina+cosa=—曰V0,

所以aE（詈,兀）,

由sina+cosa=—彳两边平方得1+2sinacosa=

2

即sin2a=2sinacosa

所以2a€（,,2兀），cos2a=—sin22a=f.

故选：B.

2.（23-24高三上•云南•阶段练习）已知sinacosa=",且：＜a＜会则下列结果正确的是（）.

A.sin2a=-B.sina+coscr=—

82

C.sina—cosa=——D.tana=4—V15

【答案】B

【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函数的基本关系逐项求解即可.

【详解】因为sinacosa='所以sin2a=2sinacosa=工，故A错误；

84

15

因为(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=

又2<a<p所以sina+cosa>0,所以sina+cosa=/，故B正确；

(sina—cosa)2=cos2a+sin2a—2sinacosa=

又U<a<p所以sina>cosa所以sina—cosa=?，故C错误；

V5-

sina+cosa=2解得sina=

联立4

V3-

sina—cosa=2cosa=

4

所以tana=史”=4+V15,故D错误；

cosa

故选：B.

3.（2024高三•全国•专题练习）已知sin。,cos。是关于久的方程25/-35%+a=0的两个实根，则」--

sin0cos（7c+0）

的值为.

【答案】—/2-

1212

【分析】利用韦达定理，结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】因为sin。，cos。是关于％的方程25/-35%+a=0的两个实根，

可得sinO+cos0=平方可得1+2sin0cos0=可得sin0cos0=||,

7

所以」______」=工+工=sine+cosfl=再=受.

sin。cos（7i+0）sin。cos6sinJcos。—12

故答案为：II

4.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知。是三角形的一个内角，满足cos。-sin。=-£则处封巴警竺=

5sin0

（）

【答案】B

【分析】

由已知利用同角三角函数基本关系式sin2e+cos2j=1,可求tan。的值，进而利用三角函数恒等变换的应用

化简，即可计算得解.

【详解】

因为cos3—sin。=—两边平方得1—2sin6cos。=

即2sin0cos0=可得（sin。+cos0）2=1+2sin0cos0=

因为。是三角形的一个内角，且2sin0cos9=g,所以sin。〉0,cos。>0,

所以sin0+cosO>0,得sin。+cos0=管，

又因为cos0—sin。=—个，sin。+cos0=手，

16

联立解得：sin。=—,cos0=y,故有：tan。=2,

从而有(sin8+cose)cos26sin0+cos0cos20—sin20tan0+l1-tan209

-----------------------------------1---------------

sinOsin。cos20+sin20tan。l+tan2010

故选：B.

考点七、三角函数的诱导公式

典例引领

1.（2024•北京通州•二模）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

终边与单位圆交于点PG，-•!），则cos（兀一2a）=（）

9779

A--王B.一石C.房D.北

【答案】B

【分析】接根据三角函数的定义可求出sina=-|,cosa=p再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得

出答案.

【详解】由三角函数的定义可得sina=-'|,cosa=

所以COS（TT—2a）――cos2a=—（2cos2a—1）——（2x-1）=—同

故选：B.