人教版高一数学易错突破：函数的概念与性质11个易错陷阱归纳（解析版）

函数的概念与性质11个易错陷阱

易错点1混淆自变量而致错

易错点拨：在求抽象函数的定义域问题中，需要明确一点，函数的定义域是函数自变量的取值范围，即若

函数/(g(x))的定义域为/，指的是而不是g(x)eZ.

1.(23-24高一上•河北・月考)若函数〃无)的定义域为(-3,6),则函数y=/(2x)的定义域为()

A.(-1,2)B.^--,3^C.(-6,12)D.(-9,18)

【答案】B

【解析】因为“X)的定义域为(-3,6),

3

所以令-3<2x<6,得-

所以y=〃2x)的定义域为1-1,3).

故选：B

2.(23-24高一上•广东佛山•月考)已知函数/(x)的定义域为［1,+功,则函数V=/(x-D+/(4-x)的定义域

为()

A.(0,3)B.[0,3]C.(2,3)D.[2,3]

【答案】D

【解析】因为的定义域为口+8)，所以《.、「解得2WxW3.

［4一121

故选：D.

易错点2忽略自变量的取值范围而致错

易错点拨：用换元法求值域时，必须确定换元后新元的取值范围，否则会产生错解.新元的取值范围要根

据已知函数的定义域来求解.

3.(23-24高一上•河北邢台•月考)函数y=2x+467的最大值为.

【答案】8

［解析1令A/3-X=?>0,贝Ux=3-L,

则了=2(3_「)+4/=_20_1)2+8,

故当/=1时，了=-2«-1)2+8取得最大值，

最大值为8.

4.(23-24高一上•江苏镇江・月考)函数〃x)=x-缶*1的值域为.

【答案】［-2,+8)

,_____13

【解析】设区与小，让o,则

1Q1

所以昨［--"(/1)--92"2,"1等号成立

所以函数f(x)=x-yj2x+3的值域为［-2,+00).

易错点3用换元法求解析式时忽略自变量的变化

易错点拨：利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元前后自变量的取值范围.

5.(23-24高一上•重庆南岸•期中)若函数/(&+l)=x+石，则〃x)的解析式为()

A./(x)=x2+x(x>0)B./(x)=x2+x(x>l)

C./(x)=x2-x(x>0)D./(x)=x2-x(x>l)

【答案】D

【解析】令£=«+l,贝！=/Nl,

因为=X+y［x,

所以f(t)=(t-l)2+(t-l)=t2-t(t>l),

贝！|/(x)=x2-x(x21),

故选：D.

6-⑵3高一上・山东烟台・月考)已知〃二则勺)=

Q

【答案】

2x

【解析】4-w2)，则x=--,

2—/

7Y22

将其代入/(三中得，/«)=—1，即/(%)=-1

X+1

8

9

7.(23-24高一上•福建福州•期中)若/，则外尸

【答案】占"。且B)

【解析】令:=《"0),则X=；,

又玲。且twi,所以/«)=」70Ho且twi),

t-I

所以y(x)=一^(xwO且xwl).

x—1

易错点4忽略对分段函数自变量范围的讨论

易错点拨：在解决分段函数求值时，关键时分清楚自变量所在的取值范围，若自变量含有参数，要讨论自

变量的取值，确定自变量的取值属于哪一段范围，从而选择相应的对应关系.

2x-l,x>0

8.(23-24高一上•山东青岛•期中)设函数/(x)=,x<0，若/(0)=-：，则实数。=;

3

【答案】一4或J

O

113

【解析】当Q20,f(a)=--^>2a-l=--^>a=-；

7448

当Q<0,/(a)=_；nl=-；nQ=-4.

3

故答案为：-4或弓.

O

—-l,x>0

;,若/(〃”))=-1则实数0=

9.(23-24高一上•河南郑州•月考)设函数〃x)=

一户<02

【答案】4或-g

【解析】若^T=-；nx=l,此时/(。)=1,

令二-l=lna=4,满足；令Llna=l,不满足,

2a

所以，〃二4；

若工=-L=X=-2,此时〃。）=一2,

x2

令三一1二一2=。=一2,不满足；令1=-2=。=一:，满足，

2a2

所以，〃二一；；

综上，实数〃=4或〃=-；.

故答案为：4或-;

10.（23-24高一上•陕西西安•期中）设小）=［产‘°:］，若/⑷=/（。+1）,贝V

)

>1

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为/(x)=<,且=

2[x-l),x>1

当0<a<l时，贝!］l<a+l<2,由可得&=2。，解得〃=；,合乎题意.

当。>1时，由/⑷=/e+1）可得2（"l）=2a,无解.

所以，a=；,则/（£|=/（4）=2x（4-l）=6.故选：C.

易错点5忽略函数的定义域

易错点拨：求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，再在定义域内求解.

11.（22-23高一上•河北邢台•期中）函数/（x）=J2X2-7X+3的单调递减区间为（）

A.1叫：）B.1c°，；［C.1（，+00jD.（3,+co）

【答案】B

【解析】由2/一7》+320得或x23,即/⑴的定义域为（-叱；］U［3,+s）,

77

而y=2/-7x+3在（-哂。上单调递减，在（=,+«=）上单调递增，

44

由复合函数单调性得，“X）的单调递减区间为（-*m，故选：B

12.⑵-23高一上・四川宜宾头・期中）函数“石二的单调增区间为（）

3C.m3，*和(4,+co)D.(-co,-l)uf-l,-1

A.—,+00B.

22

【答案】C

【解析】由4+3x-/*0可得xw-l且XW4,

3

因为V=4+3x-x?开口向下，其对称轴为x=/,

所以y=4+3x-/的减区间为41口（4,+00）

所以y=j1~r的单调增区间为住,41和（4,+8）故选：C

4+3x-x\_1）

易错点6错误理解单调区间和在区间上单调的概念

易错点拨：函数在某区间上单调，则该区间为函数单调区间的子集.

13.（23-24高一上•浙江嘉兴•月考）若函数〃制=/+2（0-1户+2的单调减区间是（-8,5］,则（）

A.〃W—5B.u=—4C.QW_4D.u=-5

【答案】B

【解析】因为/卜）的对称轴为x=l-a且开口向上，单调减区间是（-*5］,

所以1-a=5,所以a=-4.故选：B.

14.（23-24高一上・江苏扬州•期中）若函数y=x2-2ax+l在区间［-2,1］上为单调增函数，则实数。的取值范

围为（）

A.a<—2B.a<—2C.a>1D.a>1

【答案】B

【解析】>=x2-2ax+l开口向上，对称轴为x=a,

要想夕=/_2ax+l在区间［-2,1］上为单调增函数，贝IJaW-2.故选：B

易错点7忽略分段函数中接点处函数值的大小而致错

易错点拨：解决有关分段函数调性问题时，一定要注意比较接点处的函数值的大小.

/、［（―a—5）x—2,x22,、

15.（23-24高一上•安徽阜阳•月考）函数〃x）=2na,，若对任意多，马仁田工尸迎）,

lx+2（Q-1）X-3Q,X<2

都有山匕@J<0成立，则实数。的取值范围为（）

再一々

A.[—4,—l]B.[-4,-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

【答案】A

【解析】因为对任意X"2€R(X产x,),都有"无'―'02)<0成立,

玉-x2

所以/(X)是R上的减函数，

‘4+4("1)-3〃22(_Q-5)-2

则<-a-5<0,解得-4<〃工-1.故选：A.

l-a>2

、

X_|--2--m----3--x〉]1

16.(23-24高一上•湖南邵阳・月考)已知函数/(')=x'一在R上单调递增，则实数加的取值范

(4+m)x-9,x<I

围为()

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

【答案】B

2m-3、1

XH----------X2I

【解析】因为函数〃x)=无'-，在R上单调递增，

(4+m)x-9,x<I

2m—3

当2机-3<0时，由于歹二%和歹=-----均在x31单调递增函数，

x

故/(刈=》+止2在xei上单调递增,

X

I+2m-3>4+m-9

3

所以<4+m>0解得一3<加<,,

2m—3<0

当2m-3>0时，根据对勾函数的性质可知，若/⑴在x21上单调递增,

N2m—3<I

3

贝日2加一3>。,解得5■〈加W2,

1+2加一324+加一9

x,x>l

当2加-3=0时，m=|,此时〃x)=H显然满足〃x)在R上单调递增,

2—x—9.x<I

[2

综上，一3W%W2.故选：B

易错点8求函数奇偶性时忽略对函数定义域的讨论

易错点拨:在判断函数奇偶性时,务必坚守定义域优先的原则，在定义域关于原点对称的前提下,判断了(-刈

与/(X)的关系.另外，确定函数的定义域之前不要化简函数解析式，否则可能会导致定义域发生变化.

17.(23-24高一上•广东佛山•期中)(多选)下列函数中为偶函数的是()

A./(x)=|x|B.=C.〃x)=x；D./(x)=-x2+l(x<0)

【答案】AB

【解析】因为函数〃x)=|x|的定义域为R,

且/(->=卜耳=国=/0),故/(力=忖为偶函数,A正确；

因为/'(x)=x2+B的定义域为{x|xwO},

且/'(-X)=(-X)2+=f2+]=/(x),故B正确；

因为函数〃％)=£的定义域为[°，+8)，不关于原点对称，

故函数不具有奇偶性，C错误；

因为函数"X)=-x2+l(x<0)的定义域为(-与0],不关于原点对称，

故函数不具有奇偶性，D错误；故选：AB.

18.(23-24高一上•内蒙古呼伦贝尔・月考)判断下列函数的奇偶性

⑴/(%)=丁+%；

(2)/(x)=Vl-x2+Vx2-1；

/x+1

【答案】(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数；(3)非奇非偶函数

【解析】(1)定义域为R,关于原点对称，

f(-x)=(-X)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=—f(x),

所以/(x)为奇函数.

(2)=所以定义域为{-1,1},关于原点对称,

[x-1>0

此时〃x)=0,所以〃x)既是奇函数又是偶函数.

(3)x+lwOnxw-l,所以定义域为(fl)5-1,+8),

不关于原点对称，所以〃x)为非奇非偶函数.

易错点9对黑函数图像性质不清楚而致错

易错点拨：在做有关募函数的题时，一定要正确认识暴函数歹=/\其中1的取值为灭.

19.（23-24高一上・辽宁朝阳・月考）若〉=（病一〃?一1）—-2,”是幕函数,且在（0,+8）上单调递增，则加=

【答案】-1

【解析】因为>=（苏一加-1b/-2，”是幕函数，所以/一加一1=1,解得加=一1或2,

当机=-1时，了=尤3在（0,+8）上单调递增，满足题意；

当机=2时，y=x°=},不满足题意.

故答案为：-L

20.（23-24高一上•上海嘉定•月考）如果幕函数y=V1的图像，当0<x<l时在直线V=x的上方，则。的取

值范围是.

【答案】a<l

【解析】如图：

结合基函数在第一象限的图象特征可知：幕函数图象恒过（1/）,

若。>0,贝时满足条件；

若aVO,则满足条件.

综上，a<1.

易错点10忽略对塞函数底数的分类讨论而致错

易错点拨：利用幕函数解有关不等式时，需要依据事函数的性质进行分类讨论.分类的依据是幕函数的定

义域和单调性，且应把各种情况考虑周全，不能遗漏任何一种情况.

21.（23-24高一上・江苏南京・月考）已知嘉函数y=xM+2*（加eN*）的图象关于y轴对称，且在［0,+切）上

单调递增，则满足（20+1厂’<（1”厂’的a的取值范围为（）

A.（0,+»）B.f—+°°）C.（0,1）D.f-c°>--jU（0,1）

【答案】D

【解析】事函数夕=%"+2皿+3（加€十）的图象关于丫轴对称，且在[0,+8）上单调递增,

则-爪？+2加+3（加eN*）为正偶数，则加=1,

贝U不等式（2a+l）-"‘即（2a+l尸<0_q）T,

整理得

13a>013a<0

此不等式等价于“2°+1）（"1）<0或“24+1乂"1）>0'

解之得0<"1或a<-?.

2

贝U满足（2a+l）-ra<（l-a）-"1的a的取值范围为0<a<l或.故选：D

22.（23-24高一上•河北•月考）已知事函数〃力=（/-4°-4卜"在（-8,0）上单调递减.

⑴求。的值；

⑵求不等式〃2x）>/（x-l）的解集.

【答案】（l）a=T;（2）（一%-1）5。』）

【解析】（1）由题意得力-4叱4=1,解得。=5或-1,

当。=5时，f（x）=x5在（_叱0）上单调递增，不符合题意；

当。=-1时，〃弓=：在（-8,0）上单调递减，符合题意，

故。=-1;

（2）由题意得=：在（-*0）,（0,+8）上单调递减，

[2x<0fx<0

当।八时，解得,无解，舍去；

[x-1>0[x>l1

f2x>0/、/、

当x—l<0，即°<x<l时，〃2x）>0>〃x-l）恒成立，

f2x>0/、/、

当x-l>0,即时，由/（2x）>〃x-l）,得2x<x-l,得x<-l,不符合题意.

f2x<0八/、八/、

当L]<0‘即工<0时，由/（2x）,得2x<x—l,得％<-1,所以x<—1.

综上，不等式〃2x）的解集为（-S,T）D（O,1）.

易错点11忽略题目中的限制条件

易错点拨：函数的应用问题中，我们不但要注意函数的定义域，还要注意实际意义，否则可能会得出错误

的结果.

23.(23-24高一上•上海•月考)如图，正方形的边长为2,E为边希上的一点，

EB=a,(0<"2).尸为线段瓦)上的一点，FG±BC,垂足为G,FH±CD,垂足为

(1)设/G=x,求：矩形尸GS的面积S关于x的函数解析式及其定义域.

(2)求：矩形FGCH的面积S的最大值.

2?

【答案】=—(x-l)2+--,«<x<2

2-a2-a

2

⑵当0<”1时，-,当1。<2时，5=2«

2-amax

【解析】(1)如图，作瓦0，。，交C。于交FG于N,

因为E3=a,FG=x,所以DM=2-a,DH=2-x,

由EN_LCD得到EM//FH,所以AEMD-AFHD,

所以箫翁吟七解得加号

4-2r22

所以S=xx--------=---------(x-1)2+-------,a<x<2,

2—u2—Q2—ci

(2)设S=/(x),由二次函数性质得当0<q<l时,

/(%)在(凡1)上单调递增，在(L2)上单调递减，

2

所以当％=1时，，皿=-，

2-a

当1〈〃<2时，/⑴在(。,2)上单调递减，当％时，5max=2tz,

2

综上当0＜。＜1时，5=