人教版高考数学复习：等式性质与不等式性质-重难点题型精讲

专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲

*”）讣启君

1.两个实数大小的比较

如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么4VA.反过来也对.这

个基本事实可以表示为：a>b^a-b>0,〃=/?04一/?=0,a<b^a-b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

2.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c；

性质3如果a=b,月口么a±c=b±c；

性质4如果a=b,那么ac=bc；

性质5如果a=b,存0,那么

3.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a：如果b<a,那么即a>b=b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么即a>b,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\~d.

⑹如果c>d>0,那么

⑺如果。泌>0,那么n>2).

“b卡一五三

【题型1不等关系的建立】

【方法点拨】

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等

关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

［例1］（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高

之和不超过Mem设携带品外部尺寸长、宽、高分别为。、氏c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可

表示为（）

A.a+6+cWA/B.a+b+c>MC.a+b+c^MD.a+b+c<M

【变式1-1］（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：

①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；

②人跑开的速度为每秒4米；

③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区.

为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度无（厘米）应满足的不等式为（）

A.4X<50B.4x^250C.4x^<50D.4X>50

【变式1-2］（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5c〃z,人跑开的速

度为每秒4%为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100机以外的安全区，导火索的长度x（c机）应

满足的不等式为（）

A.4x^2100B.4x^<100C.4x京>100D.4x<100

U・JU・J■KJU.J

【变式1-3］（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）

①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为。2300；

②完成-项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000

元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5尤+4y<200；

③设M=f+3,N=3无，则M与N的大小关系为M>N；

④若xW-2且yW1,则M=?+y2+4.r-2y的值与一5的大小关系是M>-5.

A.①B.②C.③D.@

【题型2利用不等式的性质判断正误】

【方法点拨】

⑴直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.

⑵特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是

所取的值要有代表性.

【例2】（2022春•大名县校级期末）如果b,c,dER,则正确的是（）

11

A.若a>b,则一V—B.若贝c2

ab7

C.若a>b9c>d9贝I］a+c>b+dD.若a>b,c>d,贝!Jac>bd

11

【变式2-1］（2022•孝义市开学）已知一〈工<0,则下列结论正确的是（）

ab

A.a<bB.a+b<abC.］〃|>|。|D.ab>b2

【变式2-2］（2022春•包头期末）a,b£R,下列命题正确的是（）

A.若a>b,则〃2>廿

B.cER,若〃>/?,贝！Jad〉力，

C.若-3〃>-3b,则a<b

11

D.“WO,/?W0,右a>b,则一V一

ab

【变式2-3］（2021秋•贺州期末）如果〃<匕V0,那么下列不等式成立的是（）

1111

A.-<-B.ab<?9C.ab>a29D.--

aba匕

【题型3利用作差法比较大小】

【方法点拨】

（1）作差法比较的步骤：作差一->变形-->定号一->结论.

⑵变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.

【例3】（2022春•九江期末）已知a=VL/?=V7-V3,c=V6-V2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【变式3-1］（2022春•安徽期中）已知〃</?,x=cr,-b,y=a2b-a,则％,y的大小关系为（）

A.x>yB.x<yC.x=yD.无法确定

【变式3-2］（2021秋•靖远县期末）已知P=x2+冲+9，Q=3xy-1,则（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.P,。的大小关系不确定

【变式3-3］（2021秋•滦南县校级月考）设机>1,尸=冽+岛，0=5，则P，Q的大小关系为（）

A.P<QB.P=QC.P>QD.PWQ

【题型4利用作差法比较大小的应用】

［例4］（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时

间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定

【变式4-1］（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b

速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位，Ms）,若aWb,则

（）

A.甲先到达终点B.乙先到达终点

C.甲乙同时到达终点D.无法确定谁先到达终点

【变式4-2］（2021秋•杨浦区校级期中）现有A,B,C,。四个长方体容器，A,2的底面积均为7,高分

别为x,y；C,。的底面积均为丁，高分别为x,>（其中xWy）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四

种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定尤与y大小的情况下有没有必胜的方案？若

有的话，有几种？

【变式4-3］（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如领队

买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这两车队的

原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

【题型5利用不等式的性质证明不等式】

【方法点拨】

（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不

等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

⑵应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更

不能随意构造性质与法则.

ab

【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明:赤+而Ny[a+yTb.

【变式5-1]（2022春•库尔勒市校级期末）已知〃>1,求证：Va+1+y/a—1<2y[a.

【变式5-2](2021秋•故城县校级月考)求证:

(1)a2-^-b1+cP'^ab+bc+ac

(2)(ac+bd)2.(次+庐)(c2+J2)

【变式5-3】用比较法证明以下各题:

,112

(1)已知〃>0,b>0.求证：一+一

ab―y[ab

(2)已知。>0,b>0.求证：7+赤>y[a+

【题型6利用不等式的性质求取值范围】

【方法点拨】

同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求

范围，注意变形的等价性.

【例6】（2021秋•武昌区校级月考）已知l（a+6W4,-iWa-bW2,求4a-2b的取值范围.

【变式6-1］（2022春•鸡冠区校级期末）已知一5<。<昨皆求a-20的取值范围.

a

【变式6-2］（2022春•宁江区校级期中）已知12ca<60,15<6<36,求a-b及一的取值范围.

b

【变式6-3］（2021秋•普宁市校级月考）已知-2<a<3,试求下列各式的取值范围.

（1）⑷；

（2）a+b；

（3）a-b；

(4)2a-3b.

专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲

»3力内£1

i「两不罢菽示西藤i

如果〃一/?是正数，那么〃>。；如果〃一人等于零，那么。=/?;如果〃一匕是负数，那么

〃</?.反过来也对.这个基本事实可以表示为：a>b<*a—。>0,a=boa—6=0,a〈b=a—b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

2.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c；

性质3如果a=b,那么a±c=b±c；

性质4如果a=b,那么ac=bc；

存0,那么?=£

性质5如果a=b,

3.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b.&?a>bob<a.

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.BPa>b,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果〃>/?,c>0,那么〃c>Z?c；如果〃>/?,c<0,那么4c〈Z?c.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>b>0,那么〃n>2).

【施威丁木辱灵索山港名】

【方法点拨】

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等

关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺

寸长、宽、高之和不超过Mem.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：

cm\这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+b+c^MB.a+b+c>MC.a+b+c^MD.a+b+c<M

【解题思路】根据题意列出不等式即可.

【解答过程】解：:.长、宽、高之和不超过Mem,长、宽、高分别为a、b、c,

a+b+c^M,

故选：A.

【变式1-1]（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：

①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；

②人跑开的速度为每秒4米；

③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区.

为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度尤（厘米）应满足的不等式为（）

YVyY

A.4XR<50B.4x晨250C.4x^<50D.4x晨>50

0.60.6U.o0.6

【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可.

【解答过程】解：由题意可得4x^250.

故选：B.

【变式1-2X2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm

人跑开的速度为每秒4m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100机以外的安全区，

导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）

VVVV

A.4x^>100B.4x^<100C.4x言>100D.4x<100

【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程=速度X时间，其中时间

V

即导火索燃烧的时间，是丁

【解答过程】解：根据题意得4x自>100,

故选：C.

【变式1-3]（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）

①用不等式表示某厂最低月生活费。元不低于300元为。2300；

②完成-项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有

工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y<200；

③设M=/+3,N=3x,则M与N的大小关系为M>N；

④若无W-2且yW1,则M=x1+y2+4x-2y的值与一5的大小关系是M>-5.

A.①B.②C.③D.④

【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③

④.

【解答过程】解：对于①，可得。》300,故①正确；

对于②，可得500x+400y<20000,化为5x+4yW200,故②错误；

对于③，M-N=W+3-3x=(x-1)2+1>0,可得故③正确；

L4

对于④，因为且y力1,

所以(-5)=x2+y2+4x-2^+5=(x+2)2+(y-1)2>0,即-5,故④正确.

故选：B.

【题型2利用不等式的性质判断正误】

【方法点拨】

⑴直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一

个反例即可.

⑵特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于

验证计算；三是所取的值要有代表性.

【例2】(2022春•大名县校级期末)如果〃，b,c,dER,则正确的是()

11

A.若a>b,则一V-B.若a>b,贝!Jc2

ab7

C.若a>b,c>d,贝!J〃+c>b+dD.若a>b,c>d,贝!j

【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

11

【解答过程】解：对于A,令〃=1,b=-1,满足〃>儿但一>三故A错误，

ab

对于8,当c=0时，ac2=bc2,故5错误，

对于C,a>b,c>d9

由不等式的可加性可得，a+c>b+df故C正确，

对于。，令〃=1,b=-1,c=\,d=-1,满足〃>。，c>d,但ac=bd,故。错误.

故选：C.

11

【变式2-1](2022•孝义市开学)已知一V工V0,则下列结论正确的是()

ab

A.a<bB.a+b〈abC.|tz|>|/?|D.ab>b2

11

【解题思路】由一〈工VO得。Va<0,从而对四个选项依次判断即可.

ab

11

【解答过程】解：,・,一<-<0,

ab

:・b〈a,a+b<ab9ab<b，

故选项B正确，

故选：B.

【变式2-2］（2022春•包头期末）〃，Z?GR,下列命题正确的是（）

A.若a>b,则。2〉廿

B.cGR,若a>b,则ad〉/7c2

C.若-3Q>-3b,贝（Ja<b

11

D.〃W0,b乎0,若d>b,则-V—

ab

【解题思路】根据不等式的性质直接判断.

【解答过程】解：选项4如〃=（）,b=-1,不等式不成立，选项A错误，

选项3,如c=0,不等式不成立，选项3错误，

选项C,根据不等式两边同除以-3,不等号改变，，选项C正确，

选项£）,如〃=1,b=-1,不等式不成立，选项。错误，

故选：C.

【变式2-3］（2021秋•贺州期末）如果。<人<0,那么下列不等式成立的是（）

1111

A.-V—B.ab<b29C.ab>cr9D.----<T--r

abab

【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可.

1111

【解答过程】解：因为。<6<0,所以">0,所以工V-V0,即一〉口选项A错误；

baab

因为a<6<0,所以浦>房>0,选项B错误；

因为a<6<0,所以/>乃>0,BPab<a1,选项C错误；

111111

因为a<6<0,所以:<1<0,所以一石>一7?即—选项_D正确.

babaab

故选：D.

【题型3利用作差法比较大小】

【方法点拨】

（1）作差法比较的步骤：作差一->变形-->定号一->结论.

⑵变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.

【例3】（2022春•九江期末）已知a=VL6=77-g，c=V6-V2,则a,b,c的大小

关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小.

【解答过程】解：：a=/,b=y/7—V3,c=y/6—V2,

・••由Q-b=鱼+遮一夕，且（鱼+k）2=5+2遥>7,故〃〉4

由a—c=2V2—遍且（2或）2=8>6,故a>c,

由b-c=（夕+夜）一（6+次）且（遥+V3）2=9+2V18>9+2V14=（V7+V2）2,

故c>b,•\a>c>b,

故选：B,

【变式3-1］（2022春•安徽期中）已知〃</?,x=cr,-b,y=a2b-a,则x,y的大小关系为

（）

A.%>yB.x<yC.x=yD.无法确定

【解题思路】利用作差法直接化简判断即可.

【解答过程】解：x-y=ai-b-a1b+a=a1（a-b）+（a-b）=（a-b）（«2+1）,

又a〈b,则x-b<0,

又〃2+1>0,贝［j%-丁=（a-b）（«2+l）<0,故xVy.

故选：B.

【变式3-2］（2021秋•靖远县期末）已知尸=~+盯+/，Q=3xy-1,则（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.P,。的大小关系不确定

【解题思路】直接利用作差法和关系式的变换的应用求出结果.

【解答过程】解：P-Q=^xy+y2-3xy+l=（x-y）2+l>0.

故尸

故选：A.

【变式3-3］（2021秋•滦南县校级月考）设机>1,尸=相+岛，Q=5,则P,。的大小关

系为（）

A.P<QB.P=QC.P^QD.PWQ

【解题思路】利用作差法即可判断大小.

4m2—m+4—5(m—1)_m2—6m+9_(m—3)2

【解答过程】解:人…+口-5=

m—1-m—1-m—1

因为m>1,所以(m-3)220,m-l>0,

（）

所以T772—3?2。,所以p2

故选：c.

【题型4利用作差法比较大小的应用】

【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑

步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定

【解题思路】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间

用所给的量表示出来，作差比较

【解答过程】解：设步行速度与跑步速度分别为力，V2,

显然V1<V2,总路程为2s,

ss4s

则甲用时间为一+一,乙用时间为-----,

V1V2V1+V2

ss4sS（V+V）2-4SVV

而—+------------1----2;-------1--2

V1V2V1+V2式“1+。2）

=S（%—"2）2

v1v2（v1+v2）'

ss4s

故一+—•>-----,故乙先到教室，

V1v2v1+v2

故选：B.

【变式4-1]（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，

后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注:

速度单位优/s）,若aWb,贝ij（）

A.甲先到达终点B.乙先到达终点

C.甲乙同时到达终点D.无法确定谁先到达终点

【解题思路】根据题意，设全程的距离为2s,用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法

分析可得答案.

【解答过程】解：根据题意，设全程的距离为2s,

对于甲，前半程s的时间为工后半程的时间为：，则甲的时间〃=：+点=空抖，

abaDan

对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度。匀速跑，则有ax今+bx今=2s,

变形可得t2=急,

则有ti-Z2=5叫，-名=J[（%）2"4"]=J（_.2

aba+baD（a+b）LJa力（a+b）

又由aWb,则ti-t2>0,

故乙先到达终点，

故选：B.

【变式4-2]（2021秋•杨浦区校级期中）现有A,B,C,。四个长方体容器，48的底面

积均为？，高分别为x,y；C,。的底面积均为高分别为尤，y（其中xWy）.现规定

一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能

确定尤与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

【解题思路】当时，利用不等式的性质可得：/>/,>盯2>R即A>8>C>。；

当无<y时，同理可得：y3>y2x>yx1>xi,BPD>C>B>A；又f+y3-(孙?+/))>0.即

可得出.

【解答过程】解：①当x>y时，则孙2>^，即A>B>C>O；在此种条件下取

A,B能够稳操胜券.

②当尤时，则/>/龙>*>工3,即£>>C>B>A；在此种条件下取。，C能够稳操胜

券.

③又x'+y3-(孙2+fy)=(/-/y)+-孙2)=(x-y)2(无十卜)>0.

...在不知道X,y的大小的情况下，取A,。能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握.

故可能有1种，就是取A,D.

【变式4-3](2021秋•怀仁市校级月考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车

队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按

原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车

队的收费哪家更优惠.

【解题思路】根据两家的政策，求出坐甲车需花yi元，坐乙车需花”元，作差，即可得

出结论.

【解答过程】解：设该单位有职工”人(“CN*),全票价为尤元，坐甲车需花刀元，坐

乙车需花》2元，

则yi=x+%(n-1)=^x+^xn,yi=^nx.

所以yi-yi

134

=^x+^xn--^wc

11

=4x~20nx

一L(1」)

~4XU5人

当n=5时，yi="；

当n>5时,yi<y2；

当0<w<5时，yi>y2.

因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5

人时，选乙车队更优惠.

【题型5利用不等式的性质证明不等式】

【方法点拨】

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,

记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件

或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

ab

【例5】(2021春•迎泽区校级月考)证明:y!~a+y[b.

赤+赤2

【解题思路】利用分析法，先证明(迎-伤)2之0,即可证得原式.

【解答过程】证明：要证W+4=、«+“，

7b7a

只需证aG+bVb>Vab(y/a+VF)

即证(a+b—yfab)(V^+Vfe)>VabQyfa+4b}

即证a+b—Vab>y[ab

即证a+b>2^ab,即—Vb)2>0

该式显然成立，所以*+7=2y[a+y[b.

\b7a

【变式5-1】(2022春•库尔勒市校级期末)已知。>1,求证：+1+Va—1<14a.

【解题思路】利用分析法即可证明结论

【解答过程】解：要证后TT+V^=T<2VH,

2

只要证。+1+。-l+2Va—1<4af

只要证年出一1〈风

只要证a2-Ka2,

只要证明-1V0,显然成立，

故求证：Va+1+Va—1<2y/a.

【变式5-2](2021秋•故城县校级月考)求证:

(1)di2+/?2+c2ab+bc+ac

(2)(〃c+2d)2.(6Z2+/?2)(C2+J2)

【解题思路】(1)利用做差法证明不等式的大小即可;

(2)利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立.

【解答过程】证明：(1)*.*a2+/?2+c2-(ab+bc+ac)

=(a-/?)2+(。-c)2+(a-c)2]20,

4Z2+Z?2+C2ab+bc-^-ac；

(2)・・・(aW)(?+/)-(ac+bd)2

=4Z2C2+672J2+/?2c2+/?2J2-01cl-lacbd-庐/

=Cad-be)220,

:.(ac+bd)2](6Z2+/?2)(C2+J2).

【变式5-3]用比较法证明以下各题：

,“112

(1)已知〃>0,b>0.求证：一十一.’---

ab\ab

(2)已知〃>0,b>0.求证：+赤>y[a+y[b.

【解题思路】(1)作差可得:+[-=(七-京)2,由完全平方的性质可得;

bCL/-/-Vb—

(2)作差变形可得7=+~?=—ya—yb=(b-a)——,可证不等式.