人教版选择性必修一册高中数学讲义：拓展之二面角的传统法与向量法（含探索性问题）（学生版+解析）

第09讲拓展三：二面角的传统法与向量法（含探索性问题）

知识清单

1、定义法

在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂

线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.

2、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂

直.

具体操作步骤（如图在三棱锥P-ABC中）求二面角P—AB—C：

①第一垂：过点P向平面ABC引垂线PO（一般是找+证，证明尸ABC）

②第二垂：在平面ABC中，过点。作。。，A3,垂足为0

③第三垂：连接尸。1（解答题需证明PGLAB）

3、射影面积法（COSq=平）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

s

式（COS。=三鼠）求出二面角的大小.

3斜

4、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若于A，PB工户于B,平面Q4B交/于£,则为二面角。一/一夕的平面角,

若々•%分别为面&，尸的法向量

①COS<4,〃2>="1•%

1nliI%|

②cos。根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;

若二面角为锐二面角（取正），贝!］cos。=|cos<小%>|；

若二面角为钝二面角（取负），则cos9=—|cos<4,%>］；

02题型精讲

题型01求二面角（传统法）

【典例1］（23-24高一下•四川成都•阶段练习）在三棱柱ABC-44G中，AB=AC=BC=AA}=AClt

若AQLBC,则二面角4-AC-8的余弦值为.

【典例2］（23-24高一下•浙江•阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BBX=\,AC=^，

四边形4BC£为正方形.

(1)求证：平面A耳CJ_平面耳BCG；

(2)求二面角的余弦值.

【变式1】(23-24高一下•广西南宁•阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面243,平面ABCD,

|AB|=2,|BC|=|CD|=1,AB1/CD,ZABC=90°,ZAP3=90。，|以卜归国

⑴求点D到平面PAC的距离;

(2)求二面角A-BD-P的正切值.

【变式2］（23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是菱形,

ZBAD=120°,AB=2,ACn3Z）=O,PO_L底面A3CD,点E在棱PD上.

P

⑴求证：AC_L平面PBO;

（2）若O尸=2,点石为PD的中点，求二面角P—AC—E的余弦值.

【变式3】（2024•四川成都•二模）如图，在正四面体P-ABC中，瓦尸是棱PC的两个三等分点.

p

（1）证明：ABLPC；

⑵求出二面角P-AB-E,E-AB-/，尸-AB-C的平面角中最大角的余弦值.

题型02利用面积投影法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）在棱长为2的正方体ABC。-44GA中，E是棱。2的中

点,则平面A.EC截该正方体所得截面面积为；平面A.EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为.

【典例2］（23-24高一下•河南新乡•阶段练习）如图，已知直角三角形A8C的斜边3C〃平面4，A在平

面。上，AB,AC分别与平面。成30。和45。的角，BC=6.

（1）求8C到平面a的距离；

⑵求平面ABC与平面"的夹角.（提示：射影面积公式cos9=”=?山）

J金L.ARC

【典例3】（2024•河南•模拟预测）如图，在长方体ABC。-44GA中，点MN分别是的中点.

⑴求证：BG〃平面4MN；

(2)若AB=2,朋=4,且底面ABCD为正方形，求平面用感与平面BCG用夹角的余弦值.

【变式11(23-24高一下・浙江绍兴•期中)如图，已知直角三角形ABC的斜边3c〃平面0,4在平面。上,

AB,AC分别与平面a成30。和45。的角，BC=6.

⑴求BC到平面。的距离;

(2)求平面A3C与平面戊的夹角.

题型03利用向量法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高三上•广西南宁•阶段练习）如图，四棱锥尸-ABCD内，平面ABCD,四边形ABCZ）

为正方形，AS=2,BP=2日过P的直线/交平面ABCD于正方形ABCD内的点V,且满足平面

平面PBM.

（1）求点/的轨迹长度；

（2）当点M到面PBC的距离为|■时，求二面角AP-3的余弦值.

【典例2］（2025•甘肃张掖•模拟预测）在三棱柱ABC-中，侧面AACC」平面ABC,AC=BC=AAt=4,

-TTTT

NAC3=1,侧面ACC0为菱形，且=为CG中点.

(1)证明：a。，平面gBCG；

(2)求二面角D-A.B-C的余弦值.

【变式1】(23-24高二下•云南保山•阶段练习)如图，三棱锥P-ABC中，正三角形上4c所在平面与平面

ABC垂直，。为AC的中点，G是APBC的重心，AB1BC,AC=46，AB=6.

P

⑴证明：ABII

(2)求平面E4B与平面PBC夹角的余弦值.

【变式2]（2024•河北秦皇岛•三模）如图，在三棱柱ABC-A用G中，CA=CB,四边形用A为菱形,

ZABBt=-,Aql^C.

C

（1）证明：BC=BB].

⑵已知平面A3CJ1平面,求二面角B-CCj-A的正弦值.

【变式3】（23-24高二下•甘肃武威•阶段练习）如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,底

―.1—.

面ABCD是正方形，9=4。/是尸D的中点，N在线段PC上，且CNqCP.

p

⑴求证：AC±BM

（2）求平面3A1N与平面ABCD所夹二面角余弦值.

题型04利用向量法求二面角（最值或范围）

【典例1】（2024•山东•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=2,ABIBC,CC；=2右,

屁=4瓯（0＜彳＜1）.

(1)当2时，求证：CE_L平面ABC1；

⑵设二面角B-AE-C的大小为0,求cos。的取值范围.

【典例2】(23-24高二下•浙江金华・期中)在如图所示的直三棱柱ABC-A4G中，A3=8C=2,=2,2E

分别是线段BC,4坊上的动点.

⑴若DE//平面ACGA，耳石：吗=3：2,求CD:BD的值；

(2)若三棱柱是正三棱柱，。是BC的中点，求二面角O-8E-A余弦值的最小值.

【典例3】(2024•福建南平•二模)如图，在四棱锥P-ASCD中，24,平面ABCD,AB//CD,

AB=BC=AD<CD,ZABC=^.M,N分别为棱CO,PO上的动点(与端点不重合)，且空=空

3CDDP

P

⑴求证：">_L平面APC；

(2)若=设平面与平面APC所成的角为a,求cosa的最大值.

【变式1】(2024•江苏南通•三模)如图，在直三棱柱A3C-4与，中，AB=BC=2,AB±BC,CC}=2^/3,

屁=彳瓯(0<彳<1).

(1)当几=；时，求证：CEL平面A8G；

(2)设二面角的大小为凡求sin。的取值范围.

【变式2】(23-24高二下•上海•阶段练习)已知在直三棱柱ABC-AB。1中，侧面的与避为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱44上的点，BFV^B].

(1)证明：BF±DE；

(2)当B}D为何值时,平面BB&C与平面DFE夹角的正弦值最小?

【变式3J(2024周二下•全国,专题练习)已知直二棱柱ABC-AlBiCx中，侧面大^^/?为正方形，AB=BC=2,

E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱4片上的点.BF±AB,

4D§

(1)证明：BFYDE-,

(2)当B.D为何值时，平面BB&C与平面所成的二面角的正弦值最小?

题型05已知二面角求参数

【典例1】(2024高三•全国•专题练习)如图，在正四棱柱A3。-4BCQ中，AB=2,AAi=4,点

4,82,。2,。2分别在棱明,3练。。1,上，=1,BB2=DD2=2,CC2=3,若点?在棱8片上，当二面

角P—4G—。2为150。时，则为P=.

【典例2］（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）四棱锥P-ABCD中，241.平面A3CD,^BAD=90°,

PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,己知。是四边形A3CD内部一点，且二面角A的平面角大小

为B，则动点Q的轨迹的长度为____.

6

【变式1】（23-24高二上•宁夏•阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A与GA中，M,N分别是

都是矩形，E是C。的中点，DtElCD,钻=23C=2.若平面BCC4与平面BE，所成的锐二面角的大小

为则线段2E的长度为

题型06二面角中的探索性问题

【典例1］（23-24高三下•云南•阶段练习）如图，已知四边形A3CD为矩形，AB=4,4）=2,E为DC

的中点，将VADE沿AE进行翻折，使点。与点P重合，且尸2=26.

⑴证明：PAYBE；

⑵设AE,BC的延长线交于点N,则线段PN上是否存在点0,使得平面PEC与平面ECQ所成角的余弦值

为〉

【典例2］（2024-山东荷泽•模拟预测）如图，在正四棱锥S-ABCD中，已知SA=AB=夜,SO_L平面ABCD,

点。在平面A3CD内，点尸在棱山上.

⑴若点P是SO的中点，证明：平面SAD,平面P4C；

⑵在棱SD上是否存在一点尸，使得二面角S-AC-P的余弦值为《？若存在，求出点P的位置；若不存

在，说明理由.

【典例3](2024•北京•模拟预测)如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,BP=DP=回,

ZBCD^6O0,ADrPD.

(1)求证：平面尸BD_L平面A3CD；

(2)若线段PC上存在点F,满足#=彳而，且平面5r不与平面45尸的夹角的余弦值为画，求实数几的

140

值.

【典例4】(2024•河北张家口•三模)如图，在三棱锥A-BCD中，BC，8,△A3。是边长为2的等边三

角

于。，AP±BC,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

p

(1)证明：尸01平面ABC；

TT

(2)在线段AP上是否存在点救,使得二面角A-MC-3的大小为:？若存在，求出A"的长；若不存在,

4

请说明理由.

【变式3](2024•山东聊城•三模)如图，在正三棱柱ABC-A4G中，⑨=2AB=2,点。E,尸分别是

棱AC,CG，G用的中点，点尸满足1?=彳通+〃离，其中Xe[0,l],〃e[0,l].

(1)当4=时，求证：0Pzz平面4EF；

(2)当4=1时，是否存在点P使得平面ACP与平面\EF的夹角的余弦值是乎?若存在，指出点P的位置,

若不存在，请说明理由.

【变式4](2024•广东广州•模拟预测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD//AB,ZABC=90°,

AB=2CD,三棱锥PCD的体积为逆，平面PAD与平面PBC的交线为/.

3

(1)求四棱锥尸-ABCD的体积，并在答卷上画出交线/(注意保留作图痕迹)；

(2)若AB=23C=4,PA=PD,且平面PAD_L平面ABC。，在/上是否存在点N,使平面PAC与平面。CN

所成角的余弦值为逅？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由.

3

第09讲拓展三：二面角的传统法与向量法（含探索性问题）

知识清单

1、定义法

在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂

线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.

2、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂

直.

具体操作步骤（如图在三棱锥P-ABC中）求二面角P—A3—C：

①第一垂：过点尸向平面ABC引垂线PO（一般是找+证，证明POLA3C）

②第二垂：在平面ABC中，过点。作垂足为0

③第三垂：连接尸。（解答题需证明

3、射影面积法（COSq=争）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

s

式（以）$6二萨）求出二面角的大小.

3斜

4、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若于A，PB工户于B,平面Q4B交/于£,则为二面角。一/一夕的平面角,

若々•%分别为面&，尸的法向量

①COS<4,〃2>="1•%

I%||n2|

②cos。根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;

若二面角为锐二面角（取正），贝!］cos。=|cos<小%>|；

若二面角为钝二面角（取负），则cos9=—|cos<4,%>］；

____________

题型精讲

题型01求二面角（传统法）

【典例1］（23-24高一下•四川成都•阶段练习）在三棱柱ABC-A与G中，AB=AC=BC=AAi=ACl,

若AQLBC,则二面角4-AC-B的余弦值为

【答案呼

【分析】连接AG，a（交于点E,连接4员4片交于点/，连接班'，可证明，平面平面AG瓦，过

点用作有4V，平面4cB过点/作于N,连接与N,则/旦NM即为二面角

4-AC-B的平面角，过点£8分别作fWLACBQLAC,计算可求二面角4-4C-B的余弦值.

【详解】连接AG，4C交于点£,连接A5A用交于点尸，连接E尸.

ACj1AC,AC]±BC,AtCp|BC=C,:.AC,±平面AXCB,又QAC】u平面

AGBI,

平面平面AC4.

•.■平面AC内口平面ACB=所，.•.过点用作印尸有与ML平面ACB；此时FM=EE.

过点M作于N,连接用N,则/与MW即为二面角4-4C-8的平面角，

不妨设A内=2,经计算可得：BXM=CXE=\.

过点F,B分别作FH±ACBQLA.C.

■:厂是EM中点，且为48中点，，“N=29=3。，

「八BCxAB2x2夜2屈……，屈’…，2722

..BQ=------------=-----『—=---=A/2V,..B、N--------,..cos/gNM---------.

21^/33311

.•・二面角4-AC-B的余弦值为2叵.

11

故答案为：汉里.

11

【典例2］（23-24高一下•浙江•阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BBt=l,AC=拒,

四边形g为正方形.

(1)求证：平面AB。，平面

(2)求二面角A-B.C-B的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)g

3

【分析】(1)先证明平面旦BCG，然后结合面面垂直的判定定理即可得证；

(2)根据定义得出NAO3为二面角A-qC-8的平面角，结合解三角形知识即可得解.

【详解】(1)由平面用BCG为正方形，因为四=1,所以BC=1,

又因为84=1,AC=0，所以AB2+BC2=AC2,

所以AB/3C,又3B|nBC=B,且8与，BCu平面48CG，

所以AB工平面用3CG，

因为4耳//48,所以A4J_平面B[BCC],

因为Agu平面A4C,平面AgC,平面43C£.

(2)因为直角三角形B4c中，BBi=AB=l.

所以蝴=0,所以VAB。为等边三角形.

又因为△880为等腰三角形.

所以取80得中点0,连结AO,B0,则AOLBC，BO±BtC,

所以-AOB为二面角A-8。-B的平面角.

因为直角三角形54c中，BO=-BC=—.

2X12

在等边三角形中，AO=2AC①

22

二匚［、［正一'7TZAZ^DUt/AcnA。？+80?—A3?5y3

所以在二角形496中，cosZAOB=---------------=—.

2AOBO3

所以二面角A-BC-B的余弦值为更.

3

【变式1］（23-24高一下•广西南宁•阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面R4B，平面A3CD,

\AB\=2,|BC|=|CD|=1,AB1/CD,ZABC=90°,ZAPB=90°,|PA|=|PB|

P

⑴求点D到平面PAC的距离；

（2）求二面角A-BD-P的正切值.

【答案】（1）手

（2）72

【分析】（1）利用等积法/"C=%一皿即可求解;

（2）构造二面角的平面角并求出正切值即可.

【详解】（1）因为平面平面ABCD,平面上c平面ABCD=AB,旦NABC=90。，即BC_LAB,

3Cu面ABCD,

所以3C1平面R4B,而APu平面上4B,所以3C_LAP,

又/AP3=90°,所以AP_LBP,又BCCBP=B,8C,3Pu平面P3C,

所以24,平面PBC,BP,PCu面PBC,即APLBRAPLPC,

由3尸u面B4B,则3c_LBP,

X|B4|=|PB|,|AB|=2,|BC|=|CD|=1,

所以|以|=怛明=及，|PC|=^|PB|2+|BC|2=A/3,

贝!]PC2+Ap2=A82+3c2=Ac2,故PC_LAP,

所以24=34斗忸1=手应皿=3口/忸。=3,

又因为平面R4B_L平面ABCD,平面R4Bc平面ABCD=AB,

所以点尸到平面ABCD的距离即为点P到直线AB的距离；

设点尸到平面ABCD的距离为4,则々=1,

设点。到平面PAC的距离为人2，则44»7=匕）-皿，

xx

所以§S3ABe-/?!=—5AApc也,HP—x—l=jxh2,

解得为二逅，即点O到平面PAC的距离为逅.

■66

(2)

如图：取A3中点连结2D,取3。中点0,连结DM,PM,M0,P0,

因为|/训=|/狎，A/为AB中点，所以

又平面加5_L平面ABCD，平面PABc平面MCZ)=AB,PMu面BIB,

所以ZW平面ABCD,又/AP3=90。，|AB|=2,

所以|PM|=J=1,怛⑼=^\BCf+\CDf=V2,

由题设易知BCDM为正方形，贝=且Affi_LMD,

所以MO_L8£>且|M?|=g忸必=g,

则BD±MO,BDLPM,MO[}PM=M,MO,PMu平面POM,

所以目□人平面尸。Af,POu平面POM,所以尸OJ_BD,

所以在直角三角形POM中，/POM即为二面角的平面角，

tanZPOM=—=^=>/2

MOV2

【变式2](23-24高一下•黑龙江大庆•阶段练习)如图，在四棱锥尸-ASCD中，底面ABCD是菱形,

/R4D=120°,AB=2,ACn3D=O,尸底面ABC。，点E在棱上.

P

⑴求证：AC_L平面PBD；

(2)若0P=2,点E为尸D的中点，求二面角P—AC—E的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)先根据线面垂直的性质定理得POLAC,再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即

可.

(2)根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可.

【详解】(1)因为尸(91平面ABCD,ACu平面所以PO_LAC,

因为A3CD为菱形，所以AC/3D,

又即。PO=0,3Du平面尸8£),P。u平面PM,

所以AC_L平面尸B£).

(2)如图，连接0E,则OEu平面ACE,

由ACJ_平面PB。，OEu平面PBD,OPu平面尸5D,得AC_LOE,AC_LOP,

故/POE即为二面角P—AC-E的平面角,

在菱形ABC。中，AB=AZ)=2,ZBAD=120°,

所以BD=2瓜OD=5

又PO=2,所以尸8=PD=也*符'=⑺，

由点£为尸£＞的中点，得OE=LpD=&PE=LpD=H

2222

所以△尸OE为等腰三角形，在△尸OE内过点E作高，垂足为反，则HO=1,

所以cosNPOE=cosZHOE=嘿*=粤,即二面角P_AC-E的余弦值为正.

k7

【变式3】(2024•四川成都,二模)如图，在正四面体P-ABC中，E,尸是棱PC的两个三等分点.

(1)证明：AB1PC；

⑵求出二面角「-48-£,石-48-尸,尸-48-。的平面角中最大角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)—

19

【分析】

(1)根据题意，由线面垂直的判定定理即可证明平面PTC,从而证明AB,PC；

(2)根据题意，由二面角的定义，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)

取A3的中点为T,连接尸T,CT.•••四面体P-ABC为正四面体，

为正三角形.又T为A8的中点，.•.PT_LAB.同理可得CT_LAB.

•.•尸7门。7=7,尸7,«^匚平面「兀，2平面PTC.

又尸Cu平面PTC,:.AB1PC.

取PC的中点为Q,连接ET,FT,QT,设24=6。.

由（1）得AB人平面PTC.•JET,FTu平面尸TC,，ABLET,A5,尸T.

.•.，P7石为二面角P-E的平面角，上£7万为二面角E-AB-尸的平面角,

NFTC为二面角尸-AB-C的平面角.由图形对称性可判断NPTE=NFTC.

易得尸7=。7=36。,；.7。，尸（7.在4小。中，TQ=JPT2_pQ2=3缶.

在A£TQ中，ET={EQ。+TO?=Ma.同理可得/T=M°.

PT?+ET?-PE,7A/57ET'+FT2-EF-17

cos^fPTE=-----,cos/七TP=---------------=—

2PTET-572ET•FT19

,/cos/PTE>cos/ETF,/PTE</ETF.

二面角E-AB-尸的平面角最大，其余弦值等于历.

题型02利用面积投影法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高一下•河南安阳•阶段练习）在棱长为2的正方体A3。-4BGA中，E是棱。R的中

点,则平面AtEC截该正方体所得截面面积为；平面4EC与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为

【分析】设平面4EC交8用于点尸，可知平面AEC截正方体ABCD-aqGD所得截面为AECP,推导

出点厂为B片的中点，计算得知四边形4ECF是边长为旨的菱形，并求出菱形4EC尸的对角线长，由此可

求得该截面的面积，再由二面角余弦公式求值即可.

【详解】如图，在正方体ABCD-ABGA中,

v平面ADQAH平面B£CB,平面\ECQ平面A,D1DA=AtE,

平面AEcn平面用GCB=CF,〃庭，同理可证A尸〃CE,

四边形4EC尸是平行四边形，

ZBCF=ND&E,

又BC=AR=2,ZCBF=ZAi£»1£=90°,

:.AADE三&CBF,BF=RE=1,则b为2瓦的中点，：.CF=JBC。+BF?=石，同理CE=J^,

所以截面AEB是边长为6的菱形，其对角线£F=2D=20，4。=2右，

故截面面积S=；4cx砂=gx20x2石=2".

设平面AtEC与底面ABCD所成锐二面角为Q,

因为截面在底面的射影为正方形ABCD,

所以cos0=5正方形A"。。=m=逅.

S截面2娓3

故答案为：2蕊;-

【典例2](23-24高一下•河南新乡•阶段练习)如图，已知直角三角形A8C的斜边BC〃平面々，A在平

面。上，AB,AC分别与平面“成30。和45。的角，BC=6.

(1)求8c到平面a的距离;

⑵求平面ABC与平面"的夹角.（提示：射影面积公式cos9=”=冷山）

【答案】（1）指

呜.

【分析】（1）过氏。作平面a的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解.

（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得.

【详解】（1）过8作3E，。，垂足为E,过C作CFLa,垂足为P，连AE、AF、EF,

则ZBAE=30°,ZCAF=45°,

设BC到平面a的距离为d,由3C//平面得BE=CF=d,

在RtA3E4中，sin30°=—,则=1=在Rt^CA尸中，AC=6d，

AB2

在RtZVlBC中，BC2AB2+AC2,则36=2储+4/，所以d=

（2）由（1）知，四边形2CPE是矩形，过点A作直线旌E显然以BC,

在平面a内过点A作AOL阱于。，则AO，/,过。作OG//BE交BC于G,连接4G,

则OG，a,OGL跖，有0G，/,而40口0G=O,AO,OGu平面AOG,

于是/_!_平面AOG,又AG评面AOG,则/_LAG,即NGAO为平面A3C与平面a的夹角,

由（1）知，AB=2瓜AC=2拒,则S/BcuOM.ACuGg,

在ZXAE/中，AE=3A/2,AF=y/6,EF=6,则cosNEAF=4后一+丁尸一一斤一二

2AE-AF3

于是sinNE4F="，5,即=：AE-AF•sin=30

32

An-EFAOq1JTJT

因此cosNG4O=——2XO<ZGAO<-,则

AG1V

-BCAGMABC

2

所以平面A2C与平面a的夹角为:7T.

【典例3】（2024•河南•模拟预测）如图，在长方体A5CD-4gCQ中，点M,N分别是AD。，的中点.

⑴求证：BG〃平面4MN；

（2）若42=2,朋=4,且底面ABCD为正方形，求平面与平面BCG4夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵血

14

【分析】（1）连接A2，由线面平行的判定定理即可证明；

（2）方法一：以点。为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果；方法二：

根据题意，由面面角的定义可得/用码即为平面用“V与平面BCG用的夹角，代入计算，即可得到结果;

s

方法三：由条件可得为△gMN的射影，代入85。=产工计算，即可得到结果.

>"MN

【详解】（1）如图，连接A2,

因为点M,N分别是AD,DD1的中点，

所以MN//A，.

又由长方体的性质知ABCQ,AB//CtDx,AB=ClDl,

所以四边形ABG2为平行四边形，

所以BC//AR,所以BCJ/MN.

又MNu平面B、MN,BCXcZ平面BXMN,

所以2G〃平面

（2）（射影法）：设平面与平面BCG4的夹角为6,如图，过点N作MV'J.CG于点N',过点/作

MMU8C于点ML连接MN,BM，BN,

则△为WW'为△耳MN的射影.

由题易得耳N=26,MN=书,MB、=后,B、N'=2板,MN=4,B\M'=历,

MM+BN-MBI21

所以cosNMNB]=

2MN•B[N岳'

J]4

所以sin/脑\有=^=

715

i1/i4,—

所以s八"MN=—B]NXMNxsinNMNB、=—x2正又＜5xW•

22-\/15

△凤小

又SMN~S四边形5CG4-SARBM，~SAB1cN-SMNC=8-2-2-]=3

所以cos人＞q3_3A/14

714-14

MN

所以平面B.MN与平面BCC、B1夹角的余弦值为曲.

14

【变式11（23-24高一下•浙江绍兴•期中）如图，已知直角三角形A8C的斜边3C〃平面。，A在平面。上,

AB,AC分别与平面。成30。和45。的角，BC=6.

（1）求8C到平面a的距离;

⑵求平面ABC与平面a的夹角.

【答案】（1）诉；

【分析】（1）过B,C作平面a的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解.

（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得.

【详解】（1）过8作垂足为E,过C作CF，。，垂足为P，连AE、AF.EF,

则N3AE=30°,ZCAF=45",

设8c到平面a的距离为d,由BC〃平面。，得BE=CF=d,

在RtA^EA中，sin30"=y,则在RtZ\CA尸中，AC=y/2d，

在Rt^ABC中，BC2^AB2+AC2,则36=2笛+4相，所以d=#.

（2）由（1）知，四边形3CFE是矩形，过点A作直线///EF,显然///3C,

在平面a内过点A作AO_LEF于0,则A0_U,过。作OG〃班■交8C于G,连接AG,

则0G，a,0GL砂，有0G，/,AOQOG=O,AO,OGcAOG,

于是平面AOG,又AGu平面AOG,贝i]/_LAG,即/GAO平面ABC与平面a的夹角,

由（1）知，AB=2娓,AC=2>j3,则S1sAsc=；AB-AC=60,

在△AE厅中，AE=30,AF=6,EF=46,贝Ucos/£4尸=王上丝二,

2AE-AF3

于是sin/£AF=L,s=-AE-AF-sinZEAF=342,

3△口FnArF

4c—EF♦AOq]

因止匕cos/GAO=——-----------=^£4F=_又0<NGAOW工，则NGAO=巴，

的IBC.AGS.ABC223

2

TT

所以平面ABC与平面a的夹角为

题型03利用向量法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高三上•广西南宁•阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD内，MJL平面ABCD,四边形ABCD

为正方形，AB=2,BP=2也.过P的直线/交平面A3CD于正方形ABCD内的点且满足平面

平面PBM.

p

(1)求点/的轨迹长度；

(2)当点M到面PBC的距离为|■时，求二面角AP-5的余弦值.

【答案】⑴n

力3/

⑵干

【分析】(1)作出辅助线，由面面垂直的性质定理得到BN_L平面,再由线面垂直推出3N_LAM,

利用线面垂直的判定得到AM上平面PBM,进而得到利用圆的性质得动点的轨迹，进一步求

出轨迹长度；

(2)过点M作MN13C于点N,面PBC,建立空间直角坐标系，求得平面M4P的一个法向量，

平面APB得一个法向量，利用向量的夹角公式可求二面角P-M4-O的余弦值.

【详解】(1)如图所示，过点B作且8NnPM=N,

••,平面平面PBA7,且平面平面PfiW=尸”，

，3N_L平面又「AMu平面R4",

•.•尸2_1_平面ABCD,AMu平面ABCD,

：.PB±AM,又PB^BN=B,且尸8,3Nu平面P8A7,

平面PBM,•.•BA/u平面PSM,:.AMIBM,

由点M在正方形ABCD内，

所以点Af在以AB为直径的半圆上，r=^AB=l,

所以点河的轨迹长度为兀.

（2）过点〃作MN1BC于点N,

•.•正台上平面筋⑦，肱Vu平面A3CD,.•.P8_LACV,

■.■PB^BC=B,P8,BCu平面PBC,MNI5?®PBC,

故MN的长度即为点"到面PBC的距离，故MN=L

2

•・・由（1）可知点”在以A8为直径的半圆上运动，

如图所示建立空间直角坐标系，

・•.M（g,2,O）,A（2,0,0）,网0,0,0）,P（0,0,2A/3）,

AM=.0，丽=卜2,0,2可

AM-fh=——x+X—y=0

设平面MAP的一个法向量为m=（x,y,z），贝！J<22

AP-m=-lx+2百z=0

令1=6,则z=1,y=3,m=(^3,3,1),

又平面何得一个法向量为E=（0,l,0）,记二面角以-针-3为为。,

由图可知二面角尸—。为锐角,

所以二面角尸—M4—。的余弦值为竺1.

13

【典例2](2025・甘肃张掖・模拟预测)在三棱柱ABC-A旦G中，侧面4ACCJ平面ABC,AC=BC=AA{=4,

jrTT

NACB=%侧面ACC0为菱形，且N4AC=w，O为CC,中点.

(1)证明：平面片BCG；

(2)求二面角D-A.B-C的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵日

【分析】(1)由侧面AACG，平面A3c和3C_LAC,可得3c人面AACC】，又CG_LAQ,再结合线

面垂直的判定定理得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用两平面夹角的向量公式求解.

7T

【详解】(1)根据题意=即3C，AC,

又侧面4ACG_L平面ABC,面AACQc平面ABC=AC,3Cu平面ABC,

所以3C，面AACG，而ADU面AACG，所以BC_LAQ,

侧面ACC0为菱形，。为CG中点，所以CGLAQ,

CQnBC=C,CCPBCu平面BlBCCl,

所以平面用BCG；

（2）取AG中点E,连接CE,则CE^AG，而AC//AG，所以CELAC,

又侧面4ACC[J_平面ABC,面AACC[c平面ABC=AC,（石匚平面人人^^],

所以。石_1面43。,

以点C为原点，分别以CB,CA,CE所在直线为x，%z轴，建立空间直角坐标系。-孙z.

由题知C（0,0,0）,3（4,0,0）,4（0,2,2^）,0（0,-2,2力），£＞（0,-1,石）,

贝…=（4,-2,-2⑹，CB=（4,0,0）,丽=（-4,-1,⑹,

设平面D&B的法向量为n=（x,y,z）,

n-AB=4x-2y-=0,「（

则有‘取z3得"（I

设平面的法向量为历=a，x，zj,

m-AB=4x-2y,-2y/3z,=0「/\

则有，二，取X=四，得比=0,胃,一1,

玩•CB=4X]=0\'

设二面角。-AB-C的夹角为。，

m-n2A/3V15

贝I]cos0=

2x.y/5-5'

即二面角D-A.B-C的余弦值为巫

5

【变式1】（23-24高二下•云南保山•阶段练习）如图，三棱锥尸-ABC中，正三角形上4c所在平面与平面

ABC垂直，。为AC的中点，G是APBC的重心，AB1BC,AC=4^3,AB=6.

(1)证明：4811平面「。6；

⑵求平面R4B与平面PBC夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵晅

65

【分析】(1)作辅助线，可证OOUAB,结合线面平行的判定定理分析证明；

(2)根据面面垂直的判定定理可知尸平面ABC,过3作加'/AC于F,建系，利用空间向量求面面夹

角.

【详解】(1)在三棱锥P-ABC中，连接PG并延长交BC于O,连接。。、OG,

由G为APBC的重心，则。为BC的中点，