辽宁省普通高中2024-2025学年高二年级上册11月期中数学调研测试试题（含解析）

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研

测试试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知a,6为两条直线，a,夕为两个平面，且满足aua,bu/3,

a/〃，则“a与b异面，，是“直线b与/相交，，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

2.若方程左T”3表示双曲线，则实数发的取值范围是（）

A.k<\B.l<k<3

C.k>3D.左<1或左>3

3.两平行直线加工-3丁-2=0与4%-6»-7=0之间的距离为（）

V13V13355岳

A.26B.13C.26D.26

工+J

4.设是椭圆/b2（a>b>0）的长轴，若把一百等分，过每个分点作

N8的垂线，交椭圆的上半部分于Pi、尸人…、P99,尸/为椭圆的左焦点，则

|耳4|+W4|+|£6|+…+|耳&|+出道的值是（）

A.98aB.99ac.10°。D.

5.已知/为直线2x+V-4=0上的动点，8为圆（x+iy+/=l上的动点，点CO，。），则

2恒用+忸a的最小值为（）

A.4有B.3新C.2石D.亚

6.在四棱锥尸一NBC。中，用,平面/2。,73,2。，二面角尸一°。一/的大小为

45\AD+CD=2t若点P,C,D均在球。的表面上，则球。的表面积最小值为（

）

8灰8V3

---兀一兀--71

A.3乃B.27c.3D.2

7.已知曲线。：（*+尸）=9（》一一「）是双纽线，则下列结论正确的是（

)

A.曲线C的图象不关于原点对称

B.曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

c.若直线了=h与曲线c只有一个交点，则实数上的取值范围为（一叱一］

D.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

8.已知平面上两定点/、B,则所有满足1^1（彳>°且2/1）的点尸的轨迹是一

个圆心在N8上，半径为1一万的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,

故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体/Be。r由GA表面上动点P满足闷=2|啊

则点尸的轨迹长度为（）

4兀V3K

生+扃一+---D.(2+今

A.2兀B.3C.32

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法命题正确的是（）

A.已知1=（°，1，1）,彼=（0，。，-1）,则］在石上的投影向量为I22；

B.若直线/的方向向量为e=0，°，3）,平面。的法向量为"一1"。匕［则〃/£

C.已知三棱锥点尸为平面/8C上的一点，且

OP=；OA+mOB-nOC（n,meR）m-n=L

D.若向量万=加+5+4，（、/，z都是不共线的非零向量）则称,在基底

8'"｝下的坐标为（见”的，若方在单位正交基底依友研下的坐标为（123）,则

7在基底团一.二+/现下的坐标为PP3

*y2

10.已知片，工是双曲线氏/一3一的左、右焦点，过片作倾斜角为

71

%的直线分别交夕轴、双曲线右支于点M、点、P,且=下列判断正确的是

（）

ZFPF=-'仄

A.?3B.£的离心率等于213

c.双曲线渐近线的方程为丫=土瓜口.“尸耳耳的内切圆半径是（3>

11.在直三棱柱/8C—4qG中，AAl=AB=BC=2>2,河是的中点，N

是4cl的中点，点尸在线段qN上,

点Q是线段CM上靠近M的三等分点,R是线段

cM

的中点，若依〃面4,则（).

B.尸为耳"的中点

2748

-------71

C.三棱锥的体积为］D.三棱锥尸一/BC的外接球表面积为81

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知圆J/+「=16与圆C,：/+/+丘+严机一16=0交于出2两点，当上变

化时，M4的最小值为46，则m=.

13.如图，已知四边形4BCD是菱形,/8=3。=4,点£为/8的中点，把

V/AE沿。£折起，使点N到达点P的位置，且平面尸DEL平面8CDE,则异面直线

PD与BC所成角的余弦值为.

P

C-----=1（加>0）口

14.倾斜角为锐角的直线,经过双曲线3m2m2的左焦点片，分别交双曲

线的两条渐近线于43两点，若线段的垂直平分线经过双曲线C的右焦点片，则

直线/的斜率为

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图所示，三棱柱/8C-44G中，侧棱"4垂直于底面，AB=5,

/4=NC=3,8C=4,点尸，。分别为/8Q的中点.

(1)求证：BC-LPD;

(2)求点C到平面必4的距离

16.己知圆°：/+V=4.

⑴直线4x-3y+a=0截圆。的弦长为26,求a的值.

⑵记圆。与x、＞轴的正半轴分别交于4台两点，动点。满足亚回同，问：动点

。的轨迹与圆。是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

17.如图，四棱锥尸一4台。中，

AB=PA=4,CD=CB=2,尸。=26，ZABC=60°,平面尸/Bc平面尸C。=/,且

///平面ABCD,平面尸4D_L平面4BCD.

(1)求四棱锥尸-42。的体积;

(2)设0为尸0上一点，若。/=求二面角。一N8一0的大小.

22-弓在C上，且放行轴,

。言+会=l(a>b>0)

18.已知椭圆的右焦点为F,点、

过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线与x轴交于点P.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点尺是椭圆C上异于河的一点，且三角形儿。尺的面积为24,求直线妹的方程;

(3)过点P的直线交椭圆C于。，E两点(。在£的左侧)，若N为线段尸尸的中点，

直线NE交直线板于点0,7为线段。厂的中点，求线段收的最大值.

19.在空间直角坐标系。一孙z中，已知向量”=(a,6,c),点片(x。,&*。)，若直线/以

.为方向向量且经过点P°,则直线/的标准式方程可表示为

==口==20)-p

abc；若平面。以〃为法向量且经过点《，则平面。的点法式

方程表示为a(x-Xo)+6(y-%)+c(z-z0)=O.

x—1y-2z

(1)已知直线/的标准式方程为1-后2,平面名的点法式方程可表示为

技+7-z+5=0,求直线/与平面四所成角的正弦值；

(2)已知平面里的点法式方程可表示为2x+3y+z-2=0,平面外一点尸(1,2,1),求点

产到平面里的距离；

(3)(i)若集合M={(X,%Z)||X|+|"<2,|Z]<1},记集合M中所有点构成的几何体为S,

求几何体S的体积；

(ii)若集合N={(x,y,Z)\\x\+\y\<2,\y\+\z\<2,\z\+\x\<2}j记集合N中所有点构成的

几何体为T,求几何体？相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.

答案

1.【正确答案】C

【详解】当“。与6异面”，若直线6与/不相交，由于6，/U£,则6〃/,

又a/〃，则”//6,这与。和°异矛盾，故直线°与/相交，

故“。与6异面，，是“直线6与/相交，，的充分条件；

当“直线6与/相交”，若。与6不异面，则。与°平行或相交，

若。与6平行，又。〃/,则〃/6,这与直线°和/相交相矛盾；

若。与6相交，设afU=N,贝Mea且Ne尸，得Ne/,

即/为直线的公共点，这与。〃/相矛盾；

综上所述：。与6异面，即“。与6异面”是“直线°与/相交”的必要条件；

所以“。与b异面，，是，，直线b与/相交，，的充分必要条件.

故选：C.

2.【正确答案】B

22

【详解】若方程左T*3表示双曲线，

则（左-1）（左-3）＜0,得］＜k＜3,

故选：B

3.【正确答案】C

m-3-2

———w—

【详解】由题意知4-6-7,所以加=2,

c7八

人公rc2x—3y—=0

贝/x-6—=°化为2,

7

-2+-

/23V13

所以两平行直线2x-3尸2=°与4尤-6歹-7=°之间的距离为#+（-3）22°

故选：C.

4.【正确答案】D

【详解】设椭圆右焦点为尸2，由椭圆的定义知与照+正/2,…，99）,

99

X（出引+1月引）=2。X99=198a

由题意知片，P"…,%关于'轴成对称分布，

99199

2（山吊）二2（归引+正41）=99。

Z.i=l2i=i.

又片川+〔片例=2Q.

故所求的值为101。.

故选：D.

5.【正确答案】C

【分析】设。"°）1（3）,不妨令的=2|孙根据两点间的距离公式求出点。的

坐标，则要使N明+即|最小，即2（/即+|即）最小，求出|第+阿|的最小值即可得

解.

【详解】设"屈叮以西,以）,不妨令忸C|=2|阳,

2-"

贝（IJa-I）2+/=7（XIXO）

整理得3（X［+1）+3y；=-4x„+4玉+8玉/+4,

又3（再+以+3y；=3,所以4x：-4国-8X1/-1=0,

则（2%+1）（2/-4无］-1）=0,解得'2,

所以存在定点2'°［使得忸。=2|即，

要使2|/修+忸C|最小，即2R0+忸必）最小，

则4,B,。三点共线，且D4垂直于直线2x+>-4=°时取得最小值，如图所示，

2x|--|+0-4

,,,,2x―',）——=2后

所以2国+忸a的最小值为c

故选C.

【关键点拨】设"（％，0），3（再,凹），令忸q=2即，将所求转化为求期+|即的最小值,

是解决本题的关键.

6.【正确答案】C

【详解】由题设，A,B,C,。在一个圆上，故N/OC+N/2C=180。，又4BLBC,

所以//Z）C=90。，即/D,C。，故"C是四边形/BCD外接圆的直径,

由P4_L平面ABCD,BC,CD,ACcz平面ABCD,则PAIBC,

PAVCD,PA1AC,

由尸PA,/8u平面尸43,则BC」平面尸P8u平面PN3,贝。8C1P8,

由以「3=",pA,ADu平面尸/D,则CO1平面P/D,R4u平面P4D,贝|

CD1PA,

故△P8C,△PCD,VPC/都是以PC为斜边的直角三角形，故PC中点为P-ABCD外

接球球心，

且/PD4为二面角尸-⑦-”的平面角，故NPD4=45。,

因为/PD/=45。，AD+CD=2,

令AD=%且0<%<2,贝=CD=2—x,

故ZC=ylAD2+CD2=,2--4x+4,

R=~=~ylPA2+AC2=--y/3x2-4x+4=--.3(x--)2+-

所以外接球半径2222V33

„_V6.,V68

X2

~~RmM=——八471X(——)=-7T

当3时，3,此时球O的表面积的最小值为33

故选：C

7.【正确答案】D

【详解】对于A,结合曲线。：&+#=9（/-力，将（_x,_y）代入,

方程不变，即曲线C的图象关于原点对称，A错误；

对于B,令k°,则（丁）=",

解得》=土3,

2-11+V153,

令x=±l,则（1+力=9（1一力,y=---------<1

解得2,

2-17+V369)

令x=±2,则-（4一力,y=----------<2

解得2

故曲线C经过的整点只能是（°，°），（3，°），（-3,0）,B错误；

对于C,直线、=丘与曲线C：G+力=9仁-力必有公共点（0,0）,

22

<（.X+/J=9（X-/）

因此若直线”.与曲线C只有一个交点，则|昨近只有一个解（°，°）,

即“1+〃）=9/（1-〃）只有一个解为》=0,即/（J时，xp+r）=9x2（1-/）无解,

故1-r40,即实数人的取值范围为（一°°，7]"1,+8）,c错误,

对于D,由「(x+/吓)―9GyD),可得一+—―-IL,y=o时取等号,

x+y

则曲线C上任意一点到坐标原点。的距离为"43,即都不超过3,D正确,

故选：D

8.【正确答案】C

【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心。位置及半径，P在空间内轨迹为以。为

球心的球，球与面N5CZ）,4BB4,8°G4交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角,

求出在截面内的圆弧的长度即可.

【详解】

图①

在平面中，图①中以8为原点以为x轴建系如图，设阿氏圆圆心°（③°）,半径为小

PA2叫=*=2

■：\PA\=2\PB\,:.=2,.\r=

~PB1-22

\AM\"

1---\=2=2

设圆。与45交于M由阿氏圆性质知

v|BM|=2-\BO|=2-a,:.\AM\=2\BM\=4-2a

4—2cl+2—a—6—3u—3,.e.Q=1,0(1,0)

P在空间内轨迹为以。为球心半径为，的球,

若尸在四边形/844内部时如图②，截面圆与AB,网分别交于M,R,所以p在四边

形内的轨迹为MR,

3

、一,图②小。I=2,忸。|=1,在Rt^RBO中

:.MR=2x-^-n

ZROB=60°,33,

2

当P在面ABB^内部的轨迹长为§无，

2

-71

同理，当尸在面N8CD内部的轨迹长为3

当尸在面8CG片时,如图③所示,

。6，面BCCA,平面BCC\BI截球所得小

圆是以2为圆心，以2尸为半径的圆,截面圆与BB〃8。分别交于凡。,且

BP=SP?-OB?=V^I=G,

尸在正方形BO。蜴内的轨迹为RQ,

磁=生义6=3兀

22,

22V34V3

—兀+―兀H-----71=—71H------兀

综上：P的轨迹长度为33232

故选C.

9.【正确答案】CD

【分析】根据投影向量公式计算判断A,应用向量共线判断B,判断四点共面判断

C,根据基底运算判断D.

【详解】对于A,由于'=（0/，1）,3=（0,0,-1）,则a在B的投影向量为

。叶（。。】）

故A错误;

对于B,因为直线/的方向向量为0=(L°6),平面c的法向量为1’‘3人所以

。历=-2+2=0,所以〃/e或/ue,B错误；

对于C,因为尸为平面N8C上的一点，所以尸，C四点共面，

OP=—OA+mOB—nOC(n,meR)

则由空间向量共面定理以及2,可得，

1,1

-+m-n=1m—n=—

2，所以2,C正确；

对于D,万在单位正交基底依瓦计下的坐标为023),即0=。+2彼+3"

所以,在基底卡乐"'明下满足：

x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+x)b+zc=a+2b+3c

13

故x+.v=l,y-x=2,z=3,可得2,2,z=3,

，,

则亦在基底但一行花+反以下的坐标为l^2)＞故D正确.

故选CD.

10.【正确答案】ACD

【详解】如图所示，

因为MO分别是咫，百巴的中点，所以△尸£旦中，尸鸟〃M。，所以PE上》轴,

_n尸pp_-

A选项中，因为直线尸片的倾斜角为6,所以123,故A正确;

PP.273473

B选项中，直角居中，F\F[=2c,23°,'3°,

PF.-PF,=2a=^ce=-=V3

所以3,得：a,故B不正确；

丝也

C选项中，由。2=f+/,即。2=3/,即/+/=3/,即。，

y-±—x=±V2x

所以双曲线的渐近线方程为：。，故C正确;

D选项中，△尸耳耳的周长为设内切圆为r,根据三角形的等面积法，有

1-------

3JC

故D正确

故选：ACD.

11.【正确答案】ACD

【详解】对于选项AB,连接20并延长交C4于S,连接NS,

由平面几何知识可得：S是°4的中点，且N,R,S三点共线，。是VN3C重心，

因为尸灭〃面4cAPRu平面B[NSB,平面qNSBCl平面4cA/=40,所以尸尺〃8©,

作SK//瓦。交4N于K,由直棱柱性质有4N//8S,因此用心°是平行四边形,

BlK=SQ=^BS=^BlN

又由平面几何知识知&'是M中点，因此?是人区中点，

NP=-NK=-x-B.N=-B,N

从而223131即尸为4"上靠近N的三等分点，所以A正确,

B错误;

对于选项C,B'P-BQ-^BS因此片尸08是平行四边形，所以8P与印。互相平分,

从而尸与B点到平面8cM的距离相等，三棱锥尸一用CM的体积等于三棱锥

8一8C”的体积,

一B[CM=^51-BCM=­x—x2xlx2=一

而323,所以c正确;

对于选项D,♦."NBC的外心是S,由NS//CG得NS,平面/8C,

...三棱锥尸-N3C的外接球球心一定在直线NS上,

设三棱锥P-N8C的外接球球心为0,半径为R,OS=h,

则R2=OA2=SA2+S02=摊j+h2=2+h2

2

R1=OP2=NP2+ON2=—+(2-=—-4分+h

I3J

,5「2、25187

2+h2=—-4/7+A2h=-R2=2+——=——

9,解得:9,8181,

球表面积为'=4府所以D正确.

故选：ACD.

12.【正确答案】±2

【详解】x2+y2=16^x2+y2+kx+y+m-l6=0^^

可得两圆的公共弦所在线的方程为：息+了+机，

由圆G：/+r=16可得G(o,o),圆的半径为4,

d=M2

圆心G到N8直线的距离为a+/

AB

\\,因为1+*21,

J16一加2

所以,左=。时等号成立,

又因为|4B|的最小值为4右,

所以2,16-疗=46,解得加=土2

故答案为.±2

3

13.【正确答案】4/0,75

【详解】因为故/尸/切或其补角就是异面直线尸。与2C所成的角，

连接尸/,易知「。=/。=4,PE=AE=2,

因为平面尸DE。平面菱形48CD中，AB=BD,

即"8。是正三角形，E为4B中点，则NE1OE,所以又BESE,

所以/尸理即为平面尸。£与平面8C0E所成的二面角的平面角，

因为平面PDE工平面BCDE,

所以/尸防=90。，ZPEA=90°,所以尸

所以PA=VPE2+AE2=2^/2,在APDA中，

42+42-^V?J

PD2+AD2-PA23

cos/PDA=

由余弦定理得2PD-AD2x4x44,

3

所以异面直线尸。与3C所成角的余弦值为4.

14.【正确答案】7/7

【详解】

设/(再必),8(%%)

,_y；=0①

—=0②

12，2

则且

=(%-%)(,+%)

①-②可得

%一%2」

21

再-X2演+工3k.k

riOM~AB

整理得,2即3(*),

如图，在Rt△隼明中，耳耳目。耳I,则/血£=2/孙0

tanNMOF,=tan24MF。=2tan［孙。=

故1一tan-/M0,即期1-七,

将此式代入（*）得，li*B3解得'厂于依题意，如＞0,则相一7.

V7

故答案为.万

15.【正确答案】（1）证明见解析；

12面

⑵41.

【详解】（1）由/B=5,/C=3,BC=4,得次=/C2+BC、则44c8=90°,即

BC1AC,

由44口平面48C,BCu平面4BC,贝

而N4n/C=N,44],/Cu平面/CC/1,于是2?CJ_平面/CG4,连接"G,

又/Gu平面"G4,则8CL/G,由点尸，〃分别为/民印的中点，得4CJ/PD,

所以BCCD.

（2）连接4C,交"0于点E,连接3E,过点c作CF工BE,尸为垂足，

由，4="=3,侧棱垂直于底面，得且一2,

又C8L/G,C5nc£=c；C8,C£u平面C5£,则平面C8E,

又CFu平面cg£,则又CF工BE,BEC4cl=E,AE1,/。1u平面48cl

因此W_L平面BCtA,即cp为点。到平面PBCt的距离，

由5C_L平面NCC/i,CEu平面/CC]4,得BCJ_CE,

BCCE4,、12面

BE一庶一4\

所以点c到平面.G的距离

16.【正确答案】（1）。=±5

8-

(2)有，公共弦长为r

,,陋丫」2⑸L

【详解】(1)圆心。到直线4x-3y+a=0距离为"二，故(5J(2J，解得

。=±5；

(2)42,0)1(0,2),设0(3),由3|=0囱得(X-2)2+R=2，+“-2)2]

化简得：x2+y2+4x-8y+4=0gp(x+2)2+(y-4)2=16

所以动点。的轨迹是以(24)为圆心，4为半径的圆E,

圆心距°£=也2+4,=2指,4一2<2石<2+4,两圆相交，

所以两圆有两个公共点，

由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x-2y+2=0,

121_22「金L

圆心（°，°）到公共弦的距离为々+22出,则公共弦长为V'亚）5.

17.【正确答案】（1）6；

⑵45。.

【详解】（1）因为///平面/u平面P/8,平面p48c平面488=

所以IHAB,同理得IHCD,所以AB//CD,

因为N3=4,BC=CD=2,48c=60。，所以N8CD=120。，

所以ZDBC=ZBDC=30°且

BD=\JBC2+CD2-2BC-CDcos120°=722+22-2x2x2cosl20°=273,

AD=VAB2+BD2-2AB-BDcos30°=,42+（2^-2X4X2A/3X—=2

所以N£>8/=30。且\\J2

底面梯形《BCD的高为h=BDsin/ABD=xsin30。=6

5=-x（2+4）xV3=3A/3

所以底面梯形,BCD的面积2,

在APAD中，PA=4,AD=2,PD=2V3,

所以尸/2=/。2+?。2,所以

因为平面尸/D，平面4s8,平面「力。C平面48CD=4D,PDLAD,尸Du平面

PAD,

所以尸。,平面ABCD,

V=—S-PD=—x3\/3x2A/3=6

所以四棱锥尸-/BCD的体积33

（2）因为4。=2,BD=20AB=4,所以/炉=AD?+即，幺。，

所以D8,AD,。尸两两垂直，可以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则£>(0,0,0),a(2,0,0),8@,2疯0),乳―1,居0),尸伞,。,26)，

所以及=@_技2百)G4=(3,-A/3,0)C5=(l,V3,0)

设函=XCP=(2,-V3A,2百几),

所以谖=0-诟=0-/1,-6+&,-26/1)/=而-通=«-/1,6+后,-26/1)

因为3="，所以（3-㈤2+3（彳一i）2+上力=（1一㈤2+3（i+㈤2+12万

解得T,因此超V孚与T

QBVm

<_

设爪=（x,y,z）为平面PAQ的法向量，则QAlm

QB•m=；1+之,y-导=0

QAm=^x-^-y—y/3z=0

则

取了=1,贝g工=百，z=2,即加=(6,1,2),

因为「。，平面/BCD,所以平面/BCD的法向量为五=（°，0，1）,

,,\m-n\173x0+1x0+2x11272

COSei~____-=-______________________L-________

设二面角0_"_C为/则Hl«l，疔+仔+2葭12收2

所以由图二面角2一/8-0的大小为45。.

一一1

18.【正确答案】（1）98

8

y--x

⑵3

(3)2

【详解】（1）由题意知点I3J在C上，且轴，设椭圆焦距为2c,

贝!]c=l,

C:[+4=l（a>6>0）v=±—

将x=c代入ab中，得a,

则。3,结合a2-b2=c2=l,

从而。2=9,〃=8,

22

上+匕=1

二椭圆C方程为98.

（2）由题意知过点M且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率不为0,

令△=（）,即8/-〃2+9=0①，

（⑻,8

又/"=叼+”过I3人则3②，

fm=-3

联立①②可得〔"=9,则/：x=-3y+9,即得点p为（9,0）.

18

Sc=-x9x—=12M

设原点。（0,0）,由A.皿23,反c“网=24,

故S4MPR=2s40PM,

从而E到/的距离为。到/距离的2倍,即火在/关于。对称的直线上，

又K在