沪科版九年级数学上册期末复习 第24章 圆易错训练与压轴训练（4类易错+4类压轴）

第二十四章圆易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一对圆的相关概念理解不透彻 1易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻 4易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 7易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论 7压轴题型一用圆周角求角度 13压轴题型二求图形面积 15压轴题型三用与圆的位置关系解决问题 17压轴题型四用切线解决问题 17002易错题型易错题型一对圆的相关概念理解不透彻例1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（

）A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角巩固训练1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（

）A．垂直于弦的直径平分弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴C．长度相等的弧是等弧D．圆内接矩形是正方形2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法，错误的是（）A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（

）①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻例2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，于点E，若⊙O的半径为3，BF=2，则OE的长为（

）A．1 B．2 C． D．巩固训练1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=2，那么AB的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2024·河南商丘·三模）如图，在⊙O中，直径AB=20，弦DE⊥AB，交AB于点C，连接DO．若DE=16，则AC的长为（

）A．5 B．4 C．8 D．63．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D．若∠BOC=45°，，则AB的长为（）A．22 B．4 C．2 D．易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”例3.（2024·陕西西安·三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，则∠ABD的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°巩固训练1．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，BC=DC．若∠ABD=20°，则∠CBD的度数为（

A．35° B．30° C．25° D．20°2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB=8，CD=6，那么⊙O的半径为（

）

A．5 B．10 C．52 D．3．（2024·山东德州·一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB=AD，AC与BD交于点E，AE=3，EC=5，BD=45，⊙OA．6 B． C．5 D．26易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论例4.（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在⊙O中两条平行弦AB∥CD，AB=12，，⊙O的半径是10，则AB与CD间的距离是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12巩固训练1．（22-23九年级上·天津和平·期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或42．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则弦AB与CD的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1003压轴题型压轴题型一用圆周角求角度例1.（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=126°，则∠BOD的大小是（

）

A．108° B．106° C．100° D．110°巩固训练1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC的度数是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠OAB=54°，则∠ACB=（）A．18° B．54° C．36° D．72°3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在⊙O中，，若∠D=25°，则∠1=（

）A．25° B．30° C．50° D．60°压轴题型二求图形面积例2.（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB为半径画弧．连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径OB=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'，则图中涂色部分的面积为2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，以AB为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为．3．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形ABC中，AB=6cm，BC=15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为压轴题型三用与圆的位置关系解决问题例3.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，D是AC上一点，E是BC上一点，，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为cm巩固训练1．（2024·安徽合肥·二模）已知△ABC三个顶点的坐标为A−2，6、B6，−2、C−2，−2，点P为△ABC边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到△ABC（1）若Q在原点O时，；（2）若点Q是以点Mt，0为圆心，以1为半径的⊙M上一动点，且，则t的取值范围是．2．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，（1）当点D是AB的中点时，DQ的最小值为；（2）当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为．

3．（2024·广东广州·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．（1）∠DCB∠DBE（填“>，<或=”）：（2）若，BE=4，则OE=．压轴题型四用切线解决问题例3.（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E，且点F为的中点，，BC=3cm．(1)求⊙O的半径；(2)求证：FD与⊙O相切．巩固训练1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点O是AB的中点，∠COD=90°，以AB为直径作半圆⊙O．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OC与⊙O的交点M是OC的中点，⊙O的半径为2，求CD的长．2．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D（点D与点A不重合），交BC于点E，过点E作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)如图1，若CF=1，BE=3；求⊙O的半径；(3)如图2，连接AE，OD，交点为H，当AH=EH=m时，求线段EG的长．3．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，射线CF交AB的延长线于G．(1)则DF与FB的数量关系为_________；(2)求证：是⊙O的切线；(3)若，求tan∠DAB

第二十四章圆易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一对圆的相关概念理解不透彻 1易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻 4易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 7易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论 7压轴题型一用圆周角求角度 13压轴题型二求图形面积 15压轴题型三用与圆的位置关系解决问题 17压轴题型四用切线解决问题 17002易错题型易错题型一对圆的相关概念理解不透彻例1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（

）A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角【答案】D【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解.【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误；B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误；D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确；故选：D．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（

）A．垂直于弦的直径平分弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴C．长度相等的弧是等弧D．圆内接矩形是正方形【答案】A【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题．【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意；B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意；C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意；故选：A．2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法，错误的是（）A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦【答案】A【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键．根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可．【详解】解：A．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误；B．等弧所对的圆心角相等，正确；C．弦的垂直平分线一定经过圆心，正确；D．直径是弦，正确．故选：A．3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（

）①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案．【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确∴正确的说法有①⑤⑥，共3个．故选：C．易错题型二对垂径定理的推论理解不透彻例2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，于点E，若⊙O的半径为3，BF=2，则OE的长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．利用勾股定理求出DF，AD，再利用垂径定理求得AE，再求解即可．【详解】解：如图，连接OD．∵⊙O的半径为3，BF=2，∴OF=OB−BF=1，AF=AB−BF=4，在Rt△OFD中，在Rt△ADF中，∵OE⊥AD，，在Rt△AOE中，故选：C．巩固训练1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=2，那么AB的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接OA，根据垂径定理得到∠ADO=90°,AB=2AD，利用勾股定理求出AD=4，即可得到答案．【详解】解：连接OA，∵OC⊥AB于点D，∴∠ADO=90°,AB=2AD，在Rt△ODA中，即52解得：AD=4.∴AB=2AD=8.故选：C．2．（2024·河南商丘·三模）如图，在⊙O中，直径AB=20，弦DE⊥AB，交AB于点C，连接DO．若DE=16，则AC的长为（

）A．5 B．4 C．8 D．6【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据垂径定理得到DC=CE=8，利用勾股定理求得，即可得到AC的值，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．【详解】解：∵弦DE⊥AB，DE=16，直径AB=20，∴DC=CE=12DE=8∴OC=O∴AC=AO−CO=4，故选：B．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D．若∠BOC=45°，，则AB的长为（）A．22 B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键．先根据勾股定理得BD=1，再根据垂径定理即可得出答案．【详解】解：∵OC⊥AB，∴AB=2BD，∵∠BOC=45°，OA=OB=2∴BD=OD，∴BD∴2BD∴BD=1，∴．故选：D．易错题型三忽视“弧、弦、圆心角之间的关系”例3.（2024·陕西西安·三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，则∠ABD的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，利用圆内接四边形性质得到∠BAE=70°，结合圆周角定理得到∠AEB=90°，进而推出，最后根据AE=DE，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题．【详解】解：连接，∵∠BDE=110°，，是圆的直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°−70°=20°，，∴AE∴∠ABE=∠DBE=20°，∴∠ABD=20°+20°=40°．故选：C．巩固训练1．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，BC=DC．若∠ABD=20°，则∠CBD的度数为（

A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】A【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得∠COD的度数为解题的关键．根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=2×20°=40°，及圆心角、弧、弦的关系易得∠BOC=∠COD=12∠BOD=70°【详解】解：如图，连接OC，OD，

，∴∠AOD=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠BOD=180°−∠AOD=140°，BC=DC∴∠BOC=∠COD=1∴∠CBD=1故选：A2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB=8，CD=6，那么⊙O的半径为（

）

A．5 B．10 C．52 D．【答案】A【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长AO交⊙O于点E，连接，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD，在Rt△ABE【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接，

则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AE=A∴⊙O的半径=1故选A．3．（2024·山东德州·一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB=AD，AC与BD交于点E，AE=3，EC=5，BD=45，⊙OA．6 B． C．5 D．26【答案】A【分析】连接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，连接OA，由垂径定理可得AO⊥BD，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接DC，如图：∵AB=AD，∴AB=∴∠ADE=∠ACD，∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD=AD解得：AD=26∵AB=AD，即A是∴AO⊥BD，BH=DH=1在中，AH2∴AH=2∴OH=OD−2，在Rt△ODH中，∴OD解得OD=6．故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．易错题型四当图形未给出时，没有分类讨论例4.（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在⊙O中两条平行弦AB∥CD，AB=12，，⊙O的半径是10，则AB与CD间的距离是（

）A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12【答案】B【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当AB和CD位于圆心同侧时和②当AB和CD位于圆心异侧时，即可求解．【详解】解：分类讨论：①当AB和CD位于圆心同侧时，如图，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F．

∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴AE=12AB=6∵OA=OC=10，∴OE=OA2∴EF=OE−OF=2，即此时AB与CD间的距离是2；②当AB和CD位于圆心异侧时，如图，连接OA，OC，过点O作OP⊥AB于点P，延长PO交CD于点Q．

∵AB∥CD，∴OQ⊥CD，∴，CQ=12∵OA=OC=10，∴OP=OA2∴PQ=OP+OQ=14，即此时AB与CD间的距离是14．综上可知AB与CD间的距离是2或14．故选B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．巩固训练1．（22-23九年级上·天津和平·期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE−OF【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，，∴OF⊥CD，，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，在中，OC=5，OF=OC当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE−OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．2．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm 【答案】A【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可．【详解】解：设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，则：∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离∴有两种情况：当此点在圆内时，如图所示，半径OB=PA+PB当此点在圆外时，如图所示，半径OB=PB−PA故圆的半径为2.5cm或故选：．3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则弦AB与CD的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由垂径定理得AE=12AB=8，CF=12CD=6，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离；当圆心O在弦AB与CD的外部时，【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=10，则AE=1∵AB∥CD，∴E、O、F三点共线，在Rt△AOE中，在中，OF=OC当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离OF+OE=8+6=14；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离OF−OE=8−6=2．所以AB与CD的距离是14或2．故选：C．003压轴题型压轴题型一用圆周角求角度例1.（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=126°，则∠BOD的大小是（

）

A．108° B．106° C．100° D．110°【答案】A【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=54°，∴∠BOD=2∠A=108°，故选：A．巩固训练1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC的度数是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=110°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−110°=70°，故选：B2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠OAB=54°，则∠ACB=（）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，首先根据OA=OB得到∠OBA=∠OAB=54°，然后利用三角形内角和定理求出∠O=180°−∠OAB−∠OBA=72°，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵OA=OB∴∠OBA=∠OAB=54°∴∠O=180°−∠OAB−∠OBA=72°∵AB∴∠ACB=1故选：C．3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在⊙O中，，若∠D=25°，则∠1=（

）A．25° B．30° C．50° D．60°【答案】C【分析】本题考查圆周角定理等，连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB，根据AB�=BC【详解】解：如图，连接OA．，，∵AB．故选：C．压轴题型二求图形面积例2.（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB为半径画弧．连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是．【答案】2【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积=扇形AEC的面积的面积正方形ABCD的面积−扇形ADB的面积，据此计算即可．根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=BC=AD=CD=2，∠BAD=90°，∠DAC=45°，∴AC=2∴图中阴影部分的面积=45π×故答案为：2．巩固训练1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径OB=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'，则图中涂色部分的面积为【答案】163π【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用S阴影【详解】解∶∵半径OB=4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，∴S半圆A'∴S===16故答案为：1632．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，以AB为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为．【答案】3【分析】连接OD，OE，DE，根据等边三角形的判定与性质求出△AOD、△BOE、△CDE是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积=S【详解】解：如图，连接OD，OE，DE，∵△ABC是等边三角形的边长为3，∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，AB=AC=BC=3，∵以AB为直径构造半圆，，∴△AOD、△BOE，，，∴△CDE是等边三角形，，∴S∴S∴阴影部分的面积=S故答案为：383．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形ABC中，AB=6cm，BC=15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为【答案】45−9π【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积．【详解】解：，=45−9π，故答案为：45−9π．压轴题型三用与圆的位置关系解决问题例3.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，D是AC上一点，E是BC上一点，，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为cm【答案】12【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，由题意，，推出欲求MN的最大值，只要求出的最小值即可．【详解】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，，∴MH=HN，，∵∠DCE=90°，OD=OE，，∴欲求MN的最大值，只要求出的最小值即可，∵OC=3∴点O的运动轨迹是以C为圆心，32在Rt△ACB中，AC=4，∴BC=3，∵1，当C、O、H共线，且与CK重合时，的值最小，∴OH的最小值为，的最小值为232故答案为：125巩固训练1．（2024·安徽合肥·二模）已知△ABC三个顶点的坐标为A−2，6、B6，−2、C−2，−2，点P为△ABC边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到△ABC（1）若Q在原点O时，；（2）若点Q是以点Mt，0为圆心，以1为半径的⊙M上一动点，且，则t的取值范围是．【答案】2t=−4或0≤t≤4−22或【分析】本题考查的是点和圆的位置关系及点到直线的距离，解题关键是分情况画出相应图形，（1）由点的坐标推出平行，用待定系数法求出直线AB表达式，进而求出原点到AB距离；（2）根据题意分三种情况讨论，结合图形找出临界点，利用三角函数求出关键线段的长度，进而求出对应圆心坐标．【详解】解：（1）作OH⊥AB于点H，如下图，∵A−2，6、B∴AC∥y轴，BC∥x轴，∴原点Q到AC,BC的距离都是2，设直线AB表达式为y=kx+b，把A−2，6∴−2k+b=6解得：&k=−1&b=4∴直线AB表达式为y=−x+4，当x=0时，y=4；当y=0时x=4，∴E4,0∴OE=OF=4，∴EF=∴∴OH=2当Q在原点O时，点Q到△ABC的距离最小值为d=2，故答案为2；（2）⊙M与△ABC位置关系有三种情况：①⊙M1在△ABC左侧，此时Q1到AB∵⊙M∴M则t=−4；②⊙M2，⊙当圆心M2正好在原点时，到AB的距离，则，作M3G⊥AC于点G，Q3到AB∴M∵A−2，6∴AC∥y轴，BC∥x轴，∴AB⊥BC∴AB=BC=8∴∠ACB=45°∴则t=4−2时，均成立；③⊙M4在△ABC右侧，此时Q4到AC作M4N⊥AC，于点则M4∵∠N∴则t=4+2综上所述，t的取值范围是t=−4或0≤t≤4−22或t=4+2故答案为：t=−4或0≤t≤4−22或t=4+22．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，（1）当点D是AB的中点时，DQ的最小值为；（2）当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为．

【答案】321305【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．（1）根据勾股定理得到AB长，当点Q在CD上时，DQ最小，计算即可；（2）现根据三角形的面积求出CD长，然后利用勾勾股定理求出AD长，分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．【详解】（1）解：当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A又∵D是AB的中点，∴CD=1又∵CQ=CP=1，∴DQ=CD−CQ=5故答案为：32

（2）如图：

∵CD⊥AB，∴S∴CD=AC∴AD=A∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ=CP=CQ分两种情况：当点Q在CD上,在Rt△ADO中，∴AQ=A当点Q在DC的延长线上，在Rt△AD∴AQ'综上所述：当∠ADQ=90°时,AQ的长为1305或370故答案为：1305或3703．（2024·广东广州·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．（1）∠DCB∠DBE（填“>，<或=”）：（2）若，BE=4，则OE=．【答案】=1【分析】（1）延长交⊙O于点F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCF=90°，根据直角三角形两锐角互余可得，∠A+∠ACD=90°，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，即可推得∠DBE=∠DCB；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠DBE+∠DEB=90°，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得∠DEB=∠FCE，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得FE=FC，设FE=FC=x，则BF=4+x，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出x的值，即可求出、OB的值，根据OE=BE−OB即可求解．【详解】解：（1）延长交⊙O于点F，连接CF，如图：

∵是⊙O的直径，∴∠BCF=90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵BC=∴，∴，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC−∠FBC=∠ACB−∠ACD，∴∠DBE=∠DCB，故答案为：=．（2）解：∵∠BDC=90∴∠DBE+∠DEB=90°，∵∠FCB=90°，∴∠FCE+∠DCB=90°，由（1）得：∠DBE=∠DCB，∴∠DEB=∠FCE，∵∠DEB=∠FEC，∴，∴FE=FC，设FE=FC=x，则BF=BE+EF=4+x，在Rt△CBF中，即x2解得：x=2，∴BF=4+2=6，∴OB=1∴，∴OE的长为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．压轴题型四用切线解决问题例3.（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E，且点F为的中点，，BC=3cm．(1)求⊙O的半径；(2)求证：FD与⊙O相切．【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）先设⊙O的半径为cm，由于AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据切线性质可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得r+1（2）连接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位线，那么OF∥AE，于是∠A=∠BOF，根据三角形外角性质可得∠BOD=2∠A，易证∠DOF=∠BOF，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可证△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，从而可证FD是⊙O的切线．【详解】（1）解：（1）设⊙O的半径为cm，是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，在Rt△OBC中，∴r+1解得r=1，∴⊙O的半径为1cm（2）证明：连接OF，∵OA=OB，BF=EF，∴OF是△BAE的中位线，∴OF∥AE，∴∠A=∠BOF，又∵∠BOD=2∠A，∴∠DOF=∠BOF，在△OBF和△ODF中，OB=OD∠DOF=∠BOF∴△OBF≌△ODF(SAS∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF，与⊙O相切．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明△OBF≌△ODF．巩固训练1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，点O是AB的中点，∠COD=90°，以AB为直径作半圆⊙O．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OC与⊙O的交点M是OC的中点，⊙O的半径为2，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)CD=【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等边三角形的判定和性质是正确解答的关键．（1）根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而可得△BOM是等边三角形，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可．【详解】（1）证明：如图，延长DO交CB的延长线于点E，过点O作OF⊥CD，垂足为F，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，又，∠AOD=∠BOE，∴△ADO≌△BEOASA∴DO=EO，∵∠COD=90°，即CO⊥DE，∴∠DCO=∠BCO，∴OF=OB，即点F在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BM，∵点M是OC的中点，∠OBC=90°，∴，∴△BOM是等边三角形，，∵⊙O的半径OB=2，，在Rt△COD中，OC=4，．2．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D（点D与点A不重合），交BC于点E，过点E作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)如图1，若CF=1，BE=3；求⊙O的半径；(3)如图2，连接AE，OD，交点为H，当AH=EH=m时，求线段EG的长．【答案】(1)见解析(2)9(3)【分析】（1）连接OE，AE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，即AE⊥BC，再根据等腰三角形性质可得，由半径相等和等边对顶角得出∠BAE=∠AEO，推出∠CAE=∠AEO，根据平行线的判定可得OE∥AC，由EG⊥AC得出EG⊥半径OE，再运用切线的判定即可证得结论；（2）先证得△CEF∽△CAE，得出CECF=AC（3）先证得△AOD是等边三角形，可得∠ADO=∠AOD=∠DAO=60°，∠DAE=∠OA