沪科版九年级数学上册期末复习 第21章 二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练（5易错+7压轴）

第二十一章二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一忽略二次项系数为0 1易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置 4易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 7易错题型四忽视反比例函数中k不为0 7易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置 7压轴题型一与线段有关的最值 13压轴题型二运用二次函数区间最值求参数 15压轴题型三与利润有关的最值 17压轴题型四与面积有关的最值 19压轴题型五存在性问题 19压轴题型六二次函数的实际应用 19压轴题型七反比例函数的综合问题 19002易错题型易错题型一忽略二次项系数为0例1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若y=m−1xm2+m是关于xA．−2 B．−2或1 C．1 D．0巩固训练1．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若y=m−2xm2−2A．−2或2 B．4 C．2 D．−22．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数y=m−4xm−2是关于xA．0或4 B．0 C．2 D．43．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）若y=(m+1)xm2−4m+5是二次函数，则A．7 B． C．或7 D．以上都不对易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置例2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）函数y=x2+2x−3(−2≤x≤2)A．4和−3 B．5和−3 C．5和−4 D．和4巩固训练1．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数y=x2−4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当时，总有，则m的值为（

A．4+13 B．4−13 C．4±132．（24-25九年级上·全国·假期作业）当a−2≤x≤a时，二次函数y=x2−4x+3的最小值为15，则aA．−2或8 B．8 C．6 D．−2或63．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2ax+（1）当抛物线经过1,4时，a=．（2）当a=1时，−1≤x≤m时，4≤y≤8，则m的取值范围是．易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点”例3.（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数y=mx2−2x+m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则巩固训练1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）函数y=kx2+3x−4+k与坐标轴有两个公共点，求k3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知抛物线，y2=−x2−x+a，若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则易错题型四忽视反比例函数中k不为0例4．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效y=k−1x，则k不可以取下列的哪个值（A． B．0 C．1 D．2巩固训练1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数y=m−1xm−2是反比例函数，那么A．2 B． C．1 D．2．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）若函数y=m+1xm2+3m+1A．m=−2 B．m=1 C．m=1或m=−2 D．m=−1或m=−23．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知函数y=k2+2kxkA．1 B． C．0或 D．易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置例5．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，OP=AB，四边形ABPO的面积为12，则这个反比例函数的表达式为．巩固训练1．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在△AOB中，AO=AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、，反比例函数的图象经过点A．若△ABE的面积为6，则k的值为．2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A、B是反比例函数y=kxk≠0图象上的两点，直线AB交y轴正半轴于点C，连接AO并延长交反比例函数图象的另一支于点D，过点D作∠CAO的角平分线的垂线，垂足为点E，若点B是线段AC的中点且S△ABE3．（2024·江苏南京·三模）如图，点P是反比例函数y1=k1xk1≠0的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，线段PM交反比例函数y2003压轴题型压轴题型一与线段有关的最值例1.（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C0,3，其顶点为D，对称轴

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值．巩固训练1．（2024·四川自贡·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3xa≠0与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B−4,4，点C在y轴上，且坐标为0,4，点D为直线OB下方抛物线上的一点，连接CD与OB交于点E．点P是线段OB上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O(1)求抛物线的函数解析式；(2)当CD⊥OB时，则△COE的面积为(3)当时，求点D的坐标；(4)的最小值是．2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴相交于点C，直线y=−2x+3经过点C，与x轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t0<t<3，是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P压轴题型二运用二次函数区间最值求参数例2.（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+3(1)若该函数图象的对称轴为直线x=−1，求该函数的表达式．(2)在（1）的条件下，当n≤x≤n+4时，函数y有最小值−5，求n的值．(3)已知a>0，二次函数的图象经过点x1,y1，x2,y2，巩固训练1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为(1)填空：点A的坐标为______，点D的坐标为______，抛物线的解析式为______；(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当二次函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为52．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线y=ax2−4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，OB=OC(1)求抛物线的解析式；(2)连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，点P恰好落在y轴上，求P点坐标．(3)当t≤x≤t+4时，函数的最大值是α，最小值是β，a−β=6，求t的值．3．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点Ax1(1)当x1=2，且①求b，c的值②当−2≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c(2)若x1=3x压轴题型三与利润有关的最值例3.（22-23九年级上·广东广州·期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售．(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）巩固训练1．（2024九年级下·新疆·专题练习）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中1(1)求出成本y2关于销售量x(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额−成本）2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克50元．每千克盈利10元，每天可售出500千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．规定每千克涨价不能超过8元．(1)该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？(2)超市决定每卖出1千克捐赠a元（a≤2）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求a的取值范围．3．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）压轴题型四与面积有关的最值例4.（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边AD长为x（米），面积为y（平方米）．(1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽；(2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．巩固训练1．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm(1)若无盖纸盒的底面积为484c(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA，OC为邻边作矩形OABC，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

(1)直接写出点B的坐标为，直线OB的函数表达式为；(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式0<t<6；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值．3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为52(2)当t为何值时，△PCQ的面积为15c(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？压轴题型五存在性问题例5.（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A−1,0、B0,3在抛物线y=−x2+bx+c上，该抛物线的顶点为C(1)求该抛物线的解析式；(2)当BP⊥y轴时，求△BCP(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值；(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使△ABE是以AB为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．巩固训练1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A3,0，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t−1，求t的值；(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC=2S(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．压轴题型六二次函数的实际应用例6.（2024·陕西榆林·二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度ym与到柱子OA的水平距离xm满足函数关系式y=ax2+x+c（a、c为常数，a≠0(1)请求出图2中抛物线的函数表达式；(2)从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD=4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？巩固训练1．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bxa<0刻画，斜坡可以用一次函数y=1x012m4567…y07615815n7…(1)①m=______，n=______；②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系y=−5t①小球飞行的最大高度为______米；②求v的值．2．（22-23九年级下·江西南昌·阶段练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．水流的高度ym与到高楼的水平距离xm之间的函数关系式为(1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式；(2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；(3)若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．3．（2024·湖北武汉·模拟预测）悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一．如图A→B→C→E→F为该过山车的一部分轨道，轨道A→B→C和C→E→F可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中OA=16.9米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)求抛物线A→B→C的函数表达式；(2)已知在A→B→C轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线C→E→F最低点E的坐标为33,0，求点D的坐标；(3)现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、GM、HQ、HN，且要求MN=2OM．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？压轴题型七反比例函数的综合问题例7.（2023·山东·中考真题）如图，正比例函数y1=12x

(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x>0)的图像交于点C巩固训练1．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数y=mx的图像相交于点A(2,4)、B(4,n)．C是y轴上的一点，连接CA、CB(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)若△ABC的面积是6，求点C2．（2022·四川眉山·中考真题）已知直线y=x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，将直线y=x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A(1,m)和点，求b(3)在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD3．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点Px1,y1(1)请判断在点中，有哪些点与点D−1,2互为“等差点”？(2)已知点E在直线y=x−2上，点F在双曲线（k为常数，且）上，且E、F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）；(3)已知抛物线y1=ax2+bx+2（a,b为常数且）的顶点为G点，与x轴交于M、N两点，两点分别在抛物线y1=ax2+bx+2和直线上，如果P、Q

第二十一章二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一忽略二次项系数为0 1易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置 4易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 7易错题型四忽视反比例函数中k不为0 7易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置 7压轴题型一与线段有关的最值 13压轴题型二运用二次函数区间最值求参数 15压轴题型三与利润有关的最值 17压轴题型四与面积有关的最值 19压轴题型五存在性问题 19压轴题型六二次函数的实际应用 19压轴题型七反比例函数的综合问题 19002易错题型易错题型一忽略二次项系数为0例1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若y=m−1xm2+m是关于xA．−2 B．−2或1 C．1 D．0【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如y=ax2+bx+ca≠0的函数关系，称为【详解】解：∵y=m−1xm∴m2+m=2且解得：m=−2．故选：A巩固训练1．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若y=m−2xm2−2A．−2或2 B．4 C．2 D．−2【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c【详解】解：∵y=m−2∴m2−2=2，且∴m=−2．故选：D．2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知函数y=m−4xm−2是关于xA．0或4 B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于m的方程，解方程即可．【详解】解：∵函数y=m−4xm−2∴m−2=2且m−4≠0解得m=0．故选：B．3．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）若y=(m+1)xm2−4m+5是二次函数，则A．7 B． C．或7 D．以上都不对【答案】D【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2−4m+5=2；且解得m=3或1；m≠−1，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置例2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）函数y=x2+2x−3(−2≤x≤2)A．4和−3 B．5和−3 C．5和−4 D．和4【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可．【详解】解：y=x对称轴x=−b故在对称轴处求出最小值，当x=−1时，y=(−1)当x=−2时，y=(−2)时，y=22故选C．巩固训练1．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数y=x2−4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当时，总有，则m的值为（

A．4+13 B．4−13 C．4±13【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象及性质．将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为2,−1，对称轴是直线，当时，y取得最小值，由已知“当时，总有”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论∶若0<m≤2时，若−14≤m≤0时，分别求出m的值，即可求出答案．【详解】解：∵y=xa=1>0，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为2,−1，对称轴是直线，∴当时，y取得最小值，∵当时，总有，∴−1若0<m≤2，则当x=4时，y=4m，即有，解得：；若−14≤m≤0，则当时，即有4m=解得：m=4±13∴这种情况不存在，综上所述，当时，总有，则．故选：D2．（24-25九年级上·全国·假期作业）当a−2≤x≤a时，二次函数y=x2−4x+3的最小值为15，则aA．−2或8 B．8 C．6 D．−2或6【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=15时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=15时x的值，结合当a−2≤x≤a时函数有最小值15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：当y=15时，有x2解得：x1=−2，∵当a−2≤x≤a时，函数有最小值15，或a=−2，∴a=8或a=−2，故选：A．3．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2ax+（1）当抛物线经过1,4时，a=．（2）当a=1时，−1≤x≤m时，4≤y≤8，则m的取值范围是．【答案】−3或11≤m≤3/3≥x≥1【分析】（1）将点1,4代入即可得；（2）将a=1代入可得二次函数的解析式为y=x−12+4，再求出y=8时，x=−1或x=3；y=4【详解】解：（1）将点1,4代入y=x2−2ax+解得a=1或a=−3，故答案为：−3或1；（2）当a=1时，y=x当y=8时，x−12+4=8，解得x=−1或由二次函数的性质可知，当x=1时，y=4，∵如图，当−1≤x≤m时，4≤y≤8，∴1≤m≤3故答案为：1≤m≤3．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点”例3.（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数y=mx2−2x+m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则【答案】0或−2或−1±【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论m=0和m≠0两种情况即可求解．【详解】解：①当m=0时，y=−2x+2，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；②当m≠0时，y=mx若图象经过原点，则m+2=0，解得：m=−2，此时y=−2x2−2x，Δ=4>0或函数y=mx2−2x+m+2∴Δ=−2解得：m=−1±2综上所述：m=0或−2或−1±2故答案为：0或−2或−1±巩固训练1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b【答案】或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=【详解】解：∵二次函数y=x∴分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=①当二次函数y=x2+2x−b的图象与x解得b=−1；②当二次函数y=x2+2x−b的图象与x∴y=x2+2x=xx+2，与x轴有2个公共点，为综上所述，b的值为或0，故答案为：或0．2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）函数y=kx2+3x−4+k与坐标轴有两个公共点，求k【答案】0或92或−【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据k=0，k≠0分两种情况分别求解，当k≠0时再根据与坐标轴交点的情况，分两种情况进行求解即可．【详解】解：当k=0时，y=3x−4，为一次函数，与坐标轴有两个公共点，符合题意；当k≠0时，∵函数与坐标轴有两个公共点，当函数与y轴有一个公共点，与x轴有一个公共点时，∴Δ=32−4k−4+k=0当函数与x轴有两个公共点时，其中一个为原点，此时k=4，综上所述，满足条件的k有0，−12，故答案为：0或−12或3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知抛物线，y2=−x2−x+a，若这两条抛物线与x轴共有3个交点，则【答案】0或6或−【详解】解：∵y∴抛物线与x轴的交点坐标为−1,0,−3,0∵抛物线，y2=−x2∴分三种情况：①抛物线y2=−x(−1)解得：a=−1②当抛物线y2=−x−(−1)解得，a=0③当抛物线y2=−x−−3解得，a=6综上，两个抛物线与x轴共有3个交点时a的值有−1故答案为：−1易错题型四忽视反比例函数中k不为0例4．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效y=k−1x，则k不可以取下列的哪个值（A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义即可求解．【详解】解：∵y=∴k−1≠0，即k≠1，故选：C．巩固训练1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数y=m−1xm−2是反比例函数，那么A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即y=kxk≠0，只需令m【详解】解：∵y=m−1∴m−2=−1解得：m=−1，故B正确．故选：B．2．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）若函数y=m+1xm2+3m+1A．m=−2 B．m=1 C．m=1或m=−2 D．m=−1或m=−2【答案】A【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数y=m+1∴m+1≠0m解得m=−2，故选:A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如y=kx−1k≠03．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知函数y=k2+2kxkA．1 B． C．0或 D．【答案】B【分析】根据定义，得到k2+2k≠0，且【详解】∵函数y=k∴k2+2k≠0，且解得k=−1，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键．易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置例5．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，OP=AB，四边形ABPO的面积为12，则这个反比例函数的表达式为．【答案】y=−【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设这个反比例函数的表达式为y=kx，再通过证明四边形AOPB是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出【详解】设这个反比例函数的表达式为y=k∵AB⊥y轴于点∴AB∥∵OP=AB，∴四边形AOPB是平行四边形，∴S△∵反比例函数图象位于第二象限，∴k=−12，∴反比例函数的表达式为y=−12故答案为：y=−12巩固训练1．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在△AOB中，AO=AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、，反比例函数的图象经过点A．若△ABE的面积为6，则k的值为．【答案】−12【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△ABE=S△AOD=4【详解】解：如图：连接AD，△AOB中，AO=AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，∴AD⊥OB，AB∥∴S∴k=−12故答案为：−12．2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点A、B是反比例函数y=kxk≠0图象上的两点，直线AB交y轴正半轴于点C，连接AO并延长交反比例函数图象的另一支于点D，过点D作∠CAO的角平分线的垂线，垂足为点E，若点B是线段AC的中点且S△ABE【答案】−8【分析】连接OB，OE，过点A作x轴垂线，垂足为M，过点B作x轴垂线，垂足为N，根据题意得到AB∥EO，求出S梯形AMNB=S△ABO=6，然后设A此题考查了反比例函数和结合综合，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【详解】如图所示，连接OB，OE，过点A作x轴垂线，垂足为M，过点B作x轴垂线，垂足为N，∵DE∴△ADE，D是关于原点对称，∴AO=DO=EO在△AOE中，AO=EO∴∠又∵AE平分∠∴∠∴∠∴AB∴∴S设A2m,2n−p，Bm,n∴∴mn=−8，即k=−8．故答案为：−8．3．（2024·江苏南京·三模）如图，点P是反比例函数y1=k1xk1≠0的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，线段PM交反比例函数y2【答案】−6【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键．可求S△PMO=12OM⋅PM=3，根据反比例函数k【详解】解：∵PC=2CM，∴PM=3CM∵S△∴S△根据反比例函数k的几何意义得到S△而反比例函数y1∴k1故答案为：−6．003压轴题型压轴题型一与线段有关的最值例1.（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A−3,0、B1,0两点，与y轴交于点C0,3，其顶点为D，对称轴

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值．【答案】(1)y=−(2)的最小值为32【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）先求出对称轴，得出点A−3,0、B1,0关于对称轴l对称，连接AC交对称轴l于点P，连接BP，此时的值最小，即为AC【详解】（1）解：将点A−3,0、B1,0、C0,39a−3b+c=0a+b+c=0c=3，解得：∴抛物线的解析式为y=−x（2）∵抛物线y=−x2−2x+3∴点A−3,0、B1,0关于对称轴∴连接AC交对称轴l于点P，连接BP，此时的值最小，

，的最小值是AC，∵A−3,0、C∴AC=的最小值为32．巩固训练1．（2024·四川自贡·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3xa≠0与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B−4,4，点C在y轴上，且坐标为0,4，点D为直线OB下方抛物线上的一点，连接CD与OB交于点E．点P是线段OB上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负方向匀速运动，当点P到达点O(1)求抛物线的函数解析式；(2)当CD⊥OB时，则△COE的面积为(3)当时，求点D的坐标；(4)的最小值是．【答案】(1)y=(2)4(3)D(4)4【分析】（1）将点B的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）求出直线CD的表达式，得到点E的坐标，即可求解；（3）设点Dt,t2（4）过点O作OM⊥OB，使OM=BC=4，连接BM，证明△BCP≌△OMQ，则BQ+PC=BQ+QM≥BM，故当点B、Q、M共线时，BQ+PC=BQ+QM=BM最小，即可求解．【详解】（1）解：将B−4,4代入y=a4=16a−12，解得：a=1，则抛物线的表达式为：y=x（2）解：点B−4,4∴点B到两坐标轴的距离相等，∴点B在第二，四象限的角平分线上，即∠COB=∵CD⊥∴△COE∴CE=OE=2∵点C在y轴上，且坐标为0,4，∴OC=4，∴CE=OE=2∴△COE的面积为12故答案为：4；（3）解：设点Dt,∵，∴点E为CD的中点，∵点C在y轴上，且坐标为0,4，∴点E1∵点E在OB上，∴−1解得：t=−2，∴点D−2,−2（4）解：过点O作OM⊥OB，使OM=BC=4，连接BM，则∠AOM=90°−∵点B−4,4，C∴BC∥∴∠CBP=∴∠CBP=根据题意得：，∴△BCP∴CP=MQ，∴BQ+PC=BQ+QM≥BM，∴当点B、Q、M共线时，BQ+PC=BQ+QM=BM，此时最小，最小值为BM的长，∵OB=4∴BM=O故答案为：43【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．2．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴相交于点C，直线y=−2x+3经过点C，与x轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t0<t<3，是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P【答案】(1)y=−(2)1,2(3)存在；3+【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ（3）设点Pt,−t2+2t+3，根据△PCD是以CD为底的等腰三角形，所以PC=PD，则【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x对于一次函数y=−2x+3，当x=0时，，∴C(0,3)，将点C的坐标代入抛物线表达式得：，则a=−1，即抛物线的表达式为：y=−（2）解：如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ理由：△ACQ的周长为最小，设直线BC的表达式为把B3,0，C(0,3)0=3k+b3=b，解得∴直线BC的表达式为：，由抛物线的表达式知，其对称轴为x=1，当x=1时，y=−x+3=2，即点Q(1,2)；（3）解：存在，理由：设点P∵直线y=−2x+3与y轴的交点为D，当y=0时，x=3∴D3∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴PC=PD，∴t−028tt=3±∵0<t<3，∴t=3+即P点的坐标为3+【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中．3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P【答案】(1)(2)G(3)最大值为254，【分析】1利用待定系数法求解即可；2作点A关于x轴的对称点A'，连接A'H交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时△AHG的周长最小，得点A'0，4，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得A'H3结合题意可得△OAB是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=x−4，设PN与AB交于点C，则△BNC和△PMC是等腰直角三角形，则有2PM+PN=PC+PN，设Pt,12t2−t−4，则Ct,t−4,N【详解】（1）解：根据题得，−4=c0=12则抛物线的解析式为；（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'H交x轴于点G则A'∵抛物线的解析式为y=1∴H1,−4.5∵A0,−4设A'H的直线解析式为，则−4.5=k+b4=b则A'H的解析式为当y=0时，−8.5x+4=0，解得x=8∴G8（3）∵A0,−4，B∴OA=OB=4，∴△OAB∴∠OBA=45°设直线AB的解析式为，0=4k+b−4=b，解得k=1则直线AB的解析式为y=x−4，设PN与AB交于点C，如图，∵PN⊥x轴于点∴△BNC∴∠BCN=45°∴∠PCM=45°∵PM⊥∴△PMC∴PC=2∴2PM+PN=PC+PN设Pt,12∴PC=t−4−12t∴2∵−1<0，∴当t=32时，2PM+PN的最大值为25【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义．压轴题型二运用二次函数区间最值求参数例2.（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+3(1)若该函数图象的对称轴为直线x=−1，求该函数的表达式．(2)在（1）的条件下，当n≤x≤n+4时，函数y有最小值−5，求n的值．(3)已知a>0，二次函数的图象经过点x1,y1，x2,y2，【答案】(1)y=−(2)n=−4或n=−2(3)a=1时，y1=y2；当a>1时，y【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用对称轴和点1,0求函数表达式;（2）分n≤−3和n>−3两种情况分类讨论:（3）通过点x1,y1，x2【详解】（1）∵图象过点1,0，∴，∵函数图象的对称轴为直线x=−1，∴−联立得a+b+3=0解得：a=−1，，∴y=−（2）解：n和的中点为n+2，当n+2≤−1即n≤−3，则x=n时，ymin解得：n=−4或n=2（不合，舍去），当n+2>−1即n>−3，则x=n+4时，ymin解得：n=−2或（不合，舍去），综上所述，n=−4或n=−2．（3）∵二次函数y=ax2+bx+3∴a+b+3=0，即b=−a−3，∴y=a=ax=ax−∴抛物线的对称轴为直线x=1∵x1+∴2−当x=12+32a当a>1时，y1当时，y1>巩固训练1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为(1)填空：点A的坐标为______，点D的坐标为______，抛物线的解析式为______；(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当二次函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为5【答案】(1)1,0(2)存在，理由见解析(3)m=−32【分析】（1）由对称轴为直线x=2，点B的坐标为3,0，得A1，0，用待定系数法可求得抛物线的解析式为y=x²−4x+3,即可得顶点D（2）设P2,t，可得AC²=10,PA²=t²+1,PC²=t−3²+4,根据△PAC是以AC为斜边的直角三角形，有t²+1+t−3²+4=10,（3）由抛物线对称轴为直线x=2,分三种情况：①当m+2<2,即m<0时，y随x的增大而减小，可得m+22−4m+2+3=54,②当m≤2≤m+2,即0≤m≤2时，x=2时最小值为−1,这种情况不存在最小值为54；③当【详解】（1）解：∵对称轴为直线x=2，点B的坐标为3,0，∴A1,0将A1,0,B3,01+b+c=09+3b+c=0，解得∴抛物线的解析式为y=x²−4x+3，当x=2时，y=2²−4×2+3=−1，∴D故答案为：1,0,（2）解：存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形，理由如下：设P2,t在y=x²−4x+3中，令x=0得y=3，∴C0,3∵A1,0∴AC²=0−1²+3−0²=10，∵△PAC∴P∴t²+1+解得t=1或t=2,∴P2,1或2,2（3）解：由抛物线对称轴为直线x=2,分三种情况：①当m+2<2,即m<0时，y随x的增大而减小，∴x=m+2时，y取得最小值，∴m+2解得m=32(舍去)或∴此时m=−3②当m≤2≤m+2,即0≤m≤2时，x=2时最小值为−1，∴这种情况不存在最小值为54③当m>2时，y随x的增大而增大，∴x=m时，y取最小值，∴m解得m=12(舍去)或∴此时m=7综上所述，m=−32或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用．2．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线y=ax2−4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴正半轴于点C，OB=OC(1)求抛物线的解析式；(2)连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，点P恰好落在y轴上，求P点坐标．(3)当t≤x≤t+4时，函数的最大值是α，最小值是β，a−β=6，求t的值．【答案】(1)y=(2)点P的坐标为(3)或−6【分析】（1）令y=0，求出点A,B的坐标，再根据OB=OC，求出点C的坐标，代入y=ax（2）设点Pm,m2−4m+3，由旋转的性质可得AP=AP'，过点P作PH垂直于x轴，交x轴于点H，证明（3）分三种情况讨论，由二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：令y=0，则ax解得x1∴，∵OB=OC，∴C(0,3)，将C(0,3)代入y=ax2−4ax+3a∴抛物线的解析式为y=x（2）解：设点Pm,由旋转的性质可得AP=AP过点P作PH垂直于x轴，交x轴于点H，∵∠PAP'=90°∵∠P'OA=90°∴∠PAB=∴△APH∴OA=PH，则m2解得：m=2+2或2−故点P的坐标为；（3）解：根据（1）可知抛物线的解析式为y=x故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为2，−1，函数图象开口向上，在顶点处取得最小值为；∵当t≤x≤t+4时，函数的最大值是α，最小值是β，a−β=6，①当对称轴在t≤x≤t+4左侧，即t>2时，最小值为β=t2−4t+3此时a−β=t+4解得：t=3②当对称轴在t≤x≤t+4右侧，即t+4<2，t<−2时，最小值为β=t+42−4此时a−β=t解得：t=−3③当对称轴在t≤x≤t+4之间，即t<2<t+4，即−2<t<2时，此时最小值为β=−1，最大值为α=t2−4t+3则t2−4t+3−−1解得：或−6−2（舍去）或t=6+2综上，或−6+2【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·浙江温州·三模）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点Ax1(1)当x1=2，且①求b，c的值②当−2≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c(2)若x1=3x【答案】(1)①b=2，c=−8；②t=1(2)见解析【分析】本题考查了二次函数的性质；（1）①依题意，b+c=−64+2b+c=0②根据①得出解析式，对称轴为直线x=−1，进而分t<−1，t>−1，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；（2）由题意得：x12+bx1+c=0，x22+bx2+c=0，将x【详解】（1）解：①依题意，b+c=−64+2b+c=0解得b=2，c=−8；②y=x对称轴为直线x=−1，a=1>0，抛物线开口向上，当−2<t<−1时，y随x的增大而减小，当x=−2时，y=−2+1当x=t时，y=t依题意，t2方程无解；当t>−1时，最小值为，最大值为y=t∴t2解得：t=1或t=−3（舍去），综上所述，t=1；（2）∵x1≠x2∴3x2∴x2由题意得：x12+b∴9x∴8x2∴2x∵x2∴4x2+b=0∴把x2=−1得c=3∴32压轴题型三与利润有关的最值例3.（22-23九年级上·广东广州·期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售．(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）【答案】(1)y=−5(2)当销售单价为82元时，每天的销售利润最大【分析】本题主要考查二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．（1）根据“利润=（售价−成本）×销售量”列出二次函数解析式即可；（2）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润．【详解】（1）解∶y==−5（2）解∶∵企业每天的总成本不超过7000元，∴5050+5×∴x≥82，y=−5x∵抛物线的对称轴为x=80且，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．∴当时，y有最大，最大值=4480，即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．巩固训练1．（2024九年级下·新疆·专题练习）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中1(1)求出成本y2关于销售量x(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额−成本）【答案】(1)y(2)销售产品所获利润是0.75万元(3)当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元【分析】本题考查的是二次函数的实际应用：（1）根据题意可设抛物线为：y2=ax−（2）根据二次函数的性质可得当x=12时，成本最小值为74（3）设销售利润为W万元，根据题意可得W关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：根据题意可设抛物线为：y2把2,4代入可得：2−1解得：a=1，∴抛物线的解析式为y2（2）解：∵y2∴当x=12时，成本最小值为此时y1∴销售产品所获利润是52（3）解：设销售利润为W万元，根据题意得：∴W=y∵−1<0，∴当x=3时，W的值最大，最大值为10.5，即当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元．2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克50元．每千克盈利10元，每天可售出500千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．规定每千克涨价不能超过8元．(1)该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？(2)超市决定每卖出1千克捐赠a元（a≤2）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求a的取值范围．【答案】(1)每千克应涨价5元；(2)．【分析】（1）根据题意设每千克应涨价y元（0<y≤8），根据总盈余=每千克盈余×数量列方程，即可求解；（2）由题意设每千克涨价x元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为w元，进而根据结合函数开口向下，对称轴在x=8的右侧即可得出的取值范围；本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找到题目中的等量关系并列出方程求解是解题的关键．【详解】（1）解：设每千克应涨价y元，由题意得：10+y500−20y解得：y1=5，∵y≤8，∴y=5，答：每千克应涨价5元；（2）解：设每千克涨价x元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为w元，则每千克盈利10+x−a元，每天可售出500−20x千克，依题意得：w=10+x−a∵当0≤x≤8时，w随x的增大而增大，且a≤2，∴−300+20a解得：a≥1，∴a的取值范围为：．3．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件(2)y=10x+60（）(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，1根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132−x元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；2根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；3结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为132−x元．根据题意得3x+5132−x解得．则每件B类特产的售价（元）．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．（2）由题意得y=10x+60∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价∴．答：y=10x+60（）．（3）．∵∴当时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．压轴题型四与面积有关的最值例4.（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边AD长为x（米），面积为y（平方米）．(1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽；(2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．【答案】(1)12m，12m(2)矩形的长为16m，宽为10m，矩形面积最大，最大面积为160【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键．（1）根据题意，得宽AD=xm，长为AB=34−2AD+EF=34−2x+2=36−2x（2）设矩形的面积为S=ym2，根据题意，得y=x36−2x【详解】（1）解：根据题意，得宽AD=xm，长为AB=34−2AD+EF=34−2x+2∵矩形场地面积为144平方米，∴x36−2x即x2解得：x1=12，当x1=12时，当x2=6时，故当时，成立，答：矩形的长为12m，宽为12m．（2）∵0<36−2x≤16，∴10≤x<17，根据题意，得y=x36−2x∴当x≥10时，y随x增大而减小，∴当x=10时，y有最大值160，此时矩形的长为16m，宽为10m．答：矩形的长为16m，宽为10m，矩形面积最大，最大面积为160m巩固训练1．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm(1)若无盖纸盒的底面积为484c(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为4(2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为152cm【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键．（1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为acm（2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为xcm，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解．【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为acm∴无盖纸盒的底面的边长为30−2a，∴30−2a2解得，a=4或26（舍去），∴剪掉的小正方形的边长为4cm（2）解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，无盖纸盒的侧面积为，∴s=430−2x∴当x=152时，有最大值，最大值为450∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为152cm时，有最大值，最大值为2．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA，OC为邻边作矩形OABC，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

(1)直接写出点B的坐标为，直线OB的函数表达式为；(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式0<t<6；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值．【答案】(1)6,4；y=(2)S=−1【分析】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式．（1）根据四边形OABC为矩形即可求出点B坐标，设直线OB解析式为y=kx，将B6,4代入即可求直线OB（2）由题意可得OM=6−t，由（1）可得点P的坐标为t,23t【详解】（1）解：∵OA=6，OC=4，四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点B6,4设直线OB解析式为y=kx，将B6,4代入得4=6k解得k=2∴y=2故答案为：6,4；y=2（2）解∶由题可知，，由（1）可知，点P的坐标为t,∴S=−∴当t=3时，S有最大值3．3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为52(2)当t为何值时，△PCQ的面积为15c(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？【答案】(1)1(2)2或1.5(3)点P运动74s时间时，四边形BPQA【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理：（1）根据题意可得PC=7−2t（2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解；（3）根据四边形BPQA的面积为S△【详解】（1）解：根据题意得：PC=7−2t∵P、Q两点的距离为52cm，且∴7−2t2解得：t=1或−1即当t为1时，P、Q两点的距离为52（2）解：根据题意得：PC=7−2t∵△PCQ的面积为15∴12解得：t=2或1.5，即当t为2或1.5时，△PCQ的面积为15c（3）解：根据题意得：PC=7−2t∴△PCQ的面积为12∴四边形BPQA的面积为S△∵5>0，∴当t=74时，四边形BPQA的面积取得最大值，最大值为即点P运动74s时间时，四边形BPQA的面积最小，最小面积是压轴题型五存在性问题例5.（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A−1,0、B0,3在抛物线y=−x2+bx+c上，该抛物线的顶点为C(1)求该抛物线的解析式；(2)当BP⊥y轴时，求△BCP(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值；(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使△ABE是以AB为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)△BCP(3)m=0或m=2；(4)点E的坐标为1,1或1,2.【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道BP∥（3）根据（2）的结论结合函数图象，从而确定m的值；（4）设E1,t，而、B(0,3)，AB2=12【详解】（1）解：把点、B(0,3)代入y=−x2−1−b+c=0c=3解得：b=2c=3∴该抛物线的解析式为y=−x（2）解：由（1）知，，∴点C为(1,4)，当BP⊥y轴时，点P与点B关于对称轴x=1对称，∴点P(2,3)，∴BP=2，点C到PB的距离为1，，的面积为1；（3）解：由（1）知，点C到PB的距离为1，此时点B(0,3)，P(2,3)，∴当m=0或m=2时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1；（4）解：如图，∵，∴对称轴为直线x=1，设E1,t，而、B(0,3)，∴AB2=12∵AB为斜边，∴4+t解得：t=1或t=2，∴点E的坐标为1,1或1,2.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置．巩固训练1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A3,0，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t−1，求t的值；(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=−(2)t=(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为32【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分t≤1和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．（3）分BD为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点A3,0，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称，∴−b2a=1∴y=−x（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，∵−1≤x≤t时，0≤y≤2t−1，①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：，解得：t=−2或t=2，均不符合题意，舍去；②当时，则：当x=1时，函数有最大值，即：，解得：t=5故t=5（3）存在；当y=−x2+2x+3=0时，解得：x1=3,∴A3,0，B设直线AB的解析式为y=kx+3，把A3,0代入，得：k=−1∴，设Cm,−m2∴CD=−m2+2m+3+m−3=−m2当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当BD为边时，则：BD=CD，即，解得：m=0（舍去）或m=3−2此时菱形的边长为2m=3②当BD为对角线时，则：BC=CD，即：m2解得：m=2或m=0（舍去）此时菱形的边长为：−2综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为322．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC=2S(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)P1,0或P(3)N−1,14或−1,−14或【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得C,M,D的坐标，根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，进而根据S△PMC=2S△DMC得出S△PMC=2，连接，设交x轴于点E，则ME=EB=2得出△MBE是等腰直角三角形，进而得出S△BMC=2，则点P与点B重合时符合题意，P1,0，过点B作BP∥AC（3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A∴9a−3k−3=0解得：a=1∴抛物线的解析式为y=x（2）由y=x2+2x−3，当x=0时，∵y=x2+2x−3=x+1设直线AC的解析式为y=k1x+b∴−3解得：k∴直线AC的解析式为y=−x−3，当x=−1时，y=−2，则M∴MC=∴M∴△MCD∴S连接，设交x轴于点E，则ME=EB=2∴△MBE∴∠BME=45°，BM=22又∠∴∴S∴点P与点B重合时符合题意，P如图所示，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，设直线BP的解析式为y=−x+m，将B1,00=−1+m解得：m=1∴直线BP的解析式为联立y=−x+1解得：x=−4y=5，∴P综上所述，P1,0或P（3）解：∵A−3,0，C∴A∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N−1,n其中∴AN2①当时，4+n2=18，解得：或②当NA=NC时，4+n2③当CA=CN时，18=n2+6n+10，解得：n=综上所述，N−1,14或−1,−14或−1，−1【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(2)D的坐标为−1,4或−2,3(3)P的坐标为0,3或25−19318,−7+【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求出直线AC解析式，根据S△（3）先求出点A，B坐标，再求出直线BC解析式，过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分以下情况分别讨论即可：①P与C重合，D与A重合时；②当P在第一象限，D在第四象限时；③当P在第四象限，D在第三象限时；④当P在第四象限，D在第一象限时．【详解】（1）解：把A−3,0，C0,3代入−9−3b+c=0c=3解得b=−2c=3∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：过D作DK∥y轴交AC于K，如图：

由A−3,0，C0,3得直线AC解析式为设Dt,−t2∴DK=−∵△ACD∴12DK⋅解得t=−1或t=−2，∴D的坐标为−1,4或−2,3；（3）解：在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：在y=−x2−2x+3中，令y=0解得x=−3或x=1，∴A−3,0，B由B1,0，C0,3得直线BC解析式为设Pm,−3m+3，D过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，①∵OA=OC=3∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD

此时P0,3②当P在第一象限，D在第四象限时，

∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°∴∠DOM=90°−∵∠DMO=90°=∴△DOM∴DM=ON，OM=PN，∴n=−3