安徽省六安市2023-2024学年沪科版数学九年级上期末综合卷

安徽省六安市2023-2024学年沪科版数学九年级上期末综合卷一．选择题（共40分）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．若cosα＝，则锐角α满足（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°3．若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（）A． B．π C． D．2π4．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣k（x﹣1）与的图象可能是（）A． B． C． D．5．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过点（3，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝36．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m7．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，则正方形DEFG的边长是（）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为（）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③二．填空题（共20分）11．若锐角x满足cos（x﹣10°）＝，则x为．12．如图，▱OABC的顶点A、B、C都在⊙O上，点D为⊙O上一点，且点D不在上，则∠ADB的大小为°．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝6，则该反比例函数的表达式是．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）当CE＝4时，则EF的长为．（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是．三．解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分）15．计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC面积是；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；（3）请用无刻度直尺在边AC上画一点P，使得∠PBC＝∠BAC，并保留作图痕迹．17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．18．如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围．19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点．（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝mm．（2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度．20．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，点P在AB延长线上，连接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若EC＝2OE，，求点B到PC的距离．21．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝°，∠ADC＝°；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．22．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）若OC＝OB，求a的值．（2）点P（m，y1），Q（m+1，y2），T（2，y3）是二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）图象上三个不同的点．①当y1＝y2时，求m的值；②当y1＜y3＜y2时，求m的取值范围．23．阅读下面材料：小波遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P．（1）小波发现，，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图2），经过推理和计算得到的值为．（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：①如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值；②如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求出的值．

安徽省六安市2023-2024学年沪科版数学九年级上期末综合卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故A符合题意；B、C图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B、C不符合题意；D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．若cosα＝，则锐角α满足（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故选：B．3．若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（）A． B．π C． D．2π【解答】解：这条弧的长＝＝π．故选：C．4．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣k（x﹣1）与的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由函数y＝﹣k（x﹣1）知直线必过点（1，0），故B、C不合题意；A、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＞0，故A符合题意；D、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＜0，故D不合题意；故选：A．5．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过点（3，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，∴二次函数的图象的对称轴方程为直线x＝1，∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（3，0），∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：A．6．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），∴0＝a×（﹣24）2+12，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+12，当y＝9时，9＝﹣x2+12，解得x1＝12，x2＝﹣12，∴点E（﹣12，9），点F（12，9），∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），故选：A．7．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C．8．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，则正方形DEFG的边长是（）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米【解答】解：设正方形的边长为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即＝，由BC＝15厘米，AH＝10厘米，DE＝DG＝xlm，得＝，解得x＝6．故正方形DEFG的边长是6厘米．故选：C．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G，∴∠G＝∠DBF，在△AGF和△DBF中，∵，∴△AGF≌△DBF（AAS），∴，∵∠G＝∠CBE，∠AEG＝∠CEB，∴△AEG∽△CEB，∴，解得，∴，∴，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG为公共边，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值为，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE•AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE•AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④错误；综上，正确的是：①③，故选：D．二．填空题（共4小题）11．若锐角x满足cos（x﹣10°）＝，则x为40°．【解答】解：∵cos（x﹣10°）＝，∴x﹣10°＝30°，解得：x＝40°，故答案为：40°．12．如图，▱OABC的顶点A、B、C都在⊙O上，点D为⊙O上一点，且点D不在上，则∠ADB的大小为30°．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，∴四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴，故答案为：30．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，反比例函数的图象经过点A，若S△OBC＝6，则该反比例函数的表达式是y＝﹣．【解答】解：如图，作A过x轴的垂线与x轴交于D，则AD∥OB，∴△ADC∽△BOC，∴S△ADC：S△BOC＝（）2＝，＝＝，∵S△OBC＝6，∴S△ADC＝，∴S△AOC＝2S△ADC＝3，∴S△AOD＝+3＝，∴|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣9，∴反比例函数表达式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过E作EF⊥DE，交AB边于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）当CE＝4时，则EF的长为．（2）点H在DC上，且HD＝1，连接HG，则HG长的最小值是4.4．【解答】解：（1）过E作EM⊥DC于M，延长ME交AB于N，则△CEM∽△CAD，∴＝＝，∴ME＝，CM＝，∴DM＝，EN＝，在Rt△DME中，DE＝，∵∠DME+∠EDM＝90°，∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，又∠DEM＝∠FNE，∴△DME∽△ENF，∴＝，∴EF＝，故答案为：；（2）连结AG并延长交CD的延长线与L，∵△DME∽△ENF，∴，∵△ANE∽△ABC，∴，∴，∴，∵∠CDE＝∠ADG，∴△CDE∽△ADG，∴∠DCA＝∠DAL，∴tan∠DCA＝tan∠DAL＝，∴当HG⊥AL时，HG最小，S△ALH＝AD•HL＝GH•AL，∵AD＝6，DL＝，LH＝，AL＝，∴HG＝＝，故答案为：4.4．三．解答题（共9小题）15．计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|【解答】解：原式＝﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+＝﹣4+3﹣+3+＝2．16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）△ABC面积是4；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴右侧画出△A1B1C1；（3）请用无刻度直尺在边AC上画一点P，使得∠PBC＝∠BAC，并保留作图痕迹．【解答】解：（1）△ABC的面积＝×4×2＝4．故答案为：4；（2）如图，△A1B1C1为所作；（3）如图，点P即为所求．理由：由作图可知∠APB＝∠RAC＝45°，∴∠CPB＝135°，∵∠ABC＝135°，∴∠ACB+∠CAB＝45°，∠ACB+∠CBP＝45°，∴∠PBC＝∠CAB．17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，答：直径AB的长为26寸．18．如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案为：8；（3）由图象可知，当﹣2≤x＜0或x≥6时，y1≥y2，所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点．（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝60mm．（2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度．【解答】解：（1）∵P为AB中点，PQ∥BC，∴PQ为△ABC的中位线，∴mm．故答案为：60；（2）∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴PN＝DH∴AH＝AD﹣DH＝80﹣PN．∴四边形PNMQ为矩形，∴PQ＝MN，DH＝PN，∵矩形PNMQ的周长为220mm，∴PQ＝110﹣PN，∵PQ∥BC，∴△APQ～△ABC，∴，∴，∴PN＝20mm．20．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，点P在AB延长线上，连接BC、CP，且∠BOD＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若EC＝2OE，，求点B到PC的距离．【解答】（1）证明：连接OC、AC，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝∠DEO＝90°，∵OC＝OD，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（HL），∴∠COE＝∠DOE，∵∠BOD＝2∠BCP，∴∠COE＝2∠BCP，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠CAE＝∠BCP，∵OA＝OE，∴∠CAE＝∠BCP＝∠ACO，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥CP，∴直线CP是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，∵OC＝，EC＝2OE，∴5＝OE2+（2OE）2，解得：OE＝1，EC＝2OE＝2，∵∠OEC＝∠OCP＝90°，∠EOC＝∠COP，∴△OEC∽△OCP，∴＝＝，∴PC＝2，OP＝5，BP＝OP﹣OB＝5﹣，过B作BF⊥CP，交CP于F，，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，∠FPB＝∠EPC，∴△FPB∽△EPC，∴＝，∴BF＝﹣1，∴点B到PC的距离为﹣1．21．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．（1）填空：∠APD＝75°，∠ADC＝60°；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC的高度．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案为：75；60；（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴楼CD的高度为（+10）米．（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，则AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．22．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A