河南省三门峡市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省三门峡市2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1，答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线斜率为1，则实数（）A. B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】过两点的直线斜率为，所以，解得，.故选：A.2.圆：与圆：的位置关系不可能是（）A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】圆：化为标准方程，则圆的圆心为，半径为，圆：的圆心为，半径为，则两圆心距离为，所以两圆不可能外切.故选：D.3.在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（）A.直线AB∥坐标平面xOy B.直线AB⊥坐标平面xOyC.直线AB∥坐标平面 D.直线AB⊥坐标平面【答案】C【解析】由已知得，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，易判断与，不平行，所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错.因为，所以直线不平行坐标平面，故A错因，点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对.故选：C4.设数列的前n项和为，并且，则等于（）A.32 B.16 C.992 D.【答案】A【解析】当时，.所以.故选：A.5.已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N,若，且,则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，根据对称性，不妨设在左支,由于，且，所以，由于关于原点对称，所以,结合可得，所以故渐近线的倾斜角为，双曲线的渐近线方程为．故选：B6.已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，且，，所以椭圆方程为，所以，设左焦点为，根据椭圆的定义得，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，所以的最大值为.故选：A7.已知等差数列的前5项和为105，且.对任意的，将数列中不大于的项的个数记为，则数列的前项和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设数列的公差为，前项和为，因为，可得，解得，所以，对任意的，若，则，所以，所以数列是首项为1，公比为7的等比数列，故.故选：C.8.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点,直线与的另一个交点为,若,则直线的斜率为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为离心率为，故可设，故，故椭圆方程为：，而，，故，因，故.故直线与轴不垂直也不重合，故可设，，，则，由可得，因在椭圆内部，故恒成立，且，故，因，故，此时，，故在第一象限，符合条件，的斜率为，故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，其中，则（）A.直线过定点B.当时，直线与直线垂直C.当时，直线在两坐标轴上的截距相等D.若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为【答案】ABD【解析】由直线方程，若，即直线过定点，A对；时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，所以直线与直线垂直，B对；时，，令则，令则，显然截距不相等，C错；若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，D对.故选：ABD10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详析九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B.C. D.存在正整数，使得为质数【答案】BC【解析】依题意因为，以上个式子累加可得︰,又满足上式，所以，故，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，故当且为整数时，，此时、必有一个为大于的偶数，则为合数，则不存在正整数，使得质数，D错误，故选：BC11.如图，在四棱锥中，平面，，，则（）A.直线与所成角的余弦值为B.C.D.点到直线的距离为【答案】AB【解析】过作，垂足为，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为，所以直线与所成角的余弦值为，故A正确；因为，所以B正确；因为，所以与不垂直，故C不正确；设点到直线的距离为，则，即点到直线的距离为，故D不正确.故选：AB.12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆的蒙日圆方程为B.若为正方形，则的边长为C.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或D.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18【答案】ABC【解析】A选项，，故椭圆的蒙日圆方程为，A正确；B选项，由题意，为圆的内接矩形，若为正方形，设的边长为，则，解得，故B正确；C选项，由题意得，直线：与的交点即为所求点，则，解得或，故或，故或，C正确.D选项，由对称性可知，四边形为矩形，其中为对角线，且，故，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：ABC第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则有，，，，，，设异面直线与所成角为，．故答案为：．14.已知等差数列满足，则的值为_________.【答案】3【解析】由等差数列通项公式得，即，故，.故答案为：315.河南省2025年高考将实行“3+1+2”高考模式，其中的“2”为选考科目，分数将实行赋分制，等级划分､人数比例､赋分区域对应关系如图所示，各单科一样.根据规则，各考生的单科分数位次赋分前后不发生改变，一个等级内的原始分x､赋分后的分数y构成的点都在一条直线上.某次模拟考试中，小张的化学成绩为63分在B级，且这次考试B级的上､下限原始分分别为69分､51分（51分赋分后为71分，69分赋分后为85分）.那么小张的赋分成绩为__________.（赋分计算时四舍五入为整数）等级比例赋分区域【答案】80【解析】设小张的赋分为，由得，所以小张的赋分为分.故答案为：.16.过双曲线：（，）的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点，为坐标原点，若，，成等差数列，则的离心率为______.【答案】【解析】如图，设（），渐近线：，渐近线：，直线：，因为点在第一象限，所以，得，原点到直线的距离，即.将直线与联立方程组可解得，故.所以.在中，，整理可得，所以，整理得，所以离心率.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且成等比数列，（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.解：（1）由知为等差数列，设公差为，则，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；（2）由(1)得，所以当时，取得最小值，最小值为18.在正四棱柱中，，，在线段上，且.建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由题意得，，，，，，所以，所以；（2）由已知得，,，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．（1）求的方程；（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．解：（1）由题知，，由抛物线的定义知，，，的方程为．（2）由（1）知，设，，直线的方程为，代入，整理得，由题易知，，，到直线的距离为，，解得，直线的方程为或．20.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由．解：（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面和平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成锐二面角余弦值为．（2）假设存在，又，则，，由直线与所成角的余弦值为，得，解得，则存在点，为棱的中点时满足条件，即，，，设平面的一个法向量，则，令，得，所以点到平面的距离为.21.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）探究数列是否存在最大项，并说明理由．解：（1）因为，即，且，可得，所以，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以，又，则.（2）由（1）可得，，则，所以，当时，，，则，所以，所以当时，为单调递减数列，又，，，所以当或时，数列有最大项为.22.已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．解：（1）因