2025版高考数学一轮总复习综合测试卷二

综合测试卷(二)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满意z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.2D.1答案B设z=a+bi(a,b∈R),则z2+4i=(a+bi)2+4i=a2-b2+(2ab+4)i=0,所以a2-b2=0且2ab+4=0,解得a=2,b=-2或a=-2,b=2,则|z|=a2+b22.(2024海淀一模,1)已知集合A={1},B={x|x≥a}.若A∪B=B,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案B由A∪B=B,得A⊆B,从而有a≤1,所以实数a的取值范围是(-∞,1],故选B.3.(2024湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学探讨成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为()A.79B.29C.49答案A设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事务A,所以P(A)=C52C102=29,因此P(A)=1-P(A)=1-24.(2024届广州10月调研,5)双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为x+2y=0,A.52B.3C.2D.答案A由题意得12=ba,即a=2b,又∵b2=c2-a2,∴5a2=4c2,∴e=ca=525.(2024广州模拟,5)某学校组织学生参与数学测试,某班成果的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是()A.45B.50C.55D.60答案B由频率分布直方图得不低于60分的频率为(0.02+0.015)×20=0.70,∵不低于60分的人数是35,∴该班的学生人数是350.70=50.故选B6.(2024百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则λμ=(A.50B.3C.150D.答案C依据题意得λa=(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以λμ=150,故选7.(2024届江苏省天一中学月考,6)若函数f(x)=sin(4x-φ)0≤φ≤π2在区间0,π6上单调递增,A.π6,πC.π3,π答案D当x∈0,π6时,-φ≤4x-φ≤因为函数y=sinx在-π2,π2上单调递增,且函数f(x)=sin(4x-φ)所以得-φ≥-π2,2π3-φ≤π2,8.(2024届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H分别为棱AB,BC,C1D1,A1D1的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱A1B1,B1C1,B1B分别交于点P,Q,S,其中点Q是棱B1C1的中点,则三棱锥B1-PQS的体积为()A.1B.12C.13答案D如图所示,取AA1,CC1的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,由正方体的性质可知,NE∥GM,HG∥EF,HN∥MF,所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面α∥平面EFGH,所以平面PQS∥平面HGMFEN,又平面BB1C1C∩平面PQS=QS,平面BB1C1C∩平面HGMFEN=MF,所以QS∥MF,由M,F,Q为所在棱中点可知S为BB1的中点,同理可知,P为A1B1的中点,所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S两两垂直,所以三棱锥B1-PQS的体积为V=13×1×12×1×1=16,9.(2024八省联考,8)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则()A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c答案D因为ae5=5ea,a<5,所以a>0,同理b>0,c>0,令f(x)=exx,x>0,则f'(x)=当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为ae5=5ea,故e55=eaa,故0<a<1,同理可得f(4)=f(b),f(3)=f(c),则0<b<1,0<c<1,因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),所以0<a<b<c<1.故选D.10.(2024届宁夏期末,7)“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若a≥4,则Δ=a2-4a=a(a-4)≥0,故方程x2-ax+a=0有解,即二次函数f(x)=x2-ax+a有零点.若二次函数f(x)=x2-ax+a有零点,则方程x2-ax+a=0有解,则Δ=a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.故“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的充分不必要条件,故选A.11.(2024届黑龙江模拟,11)关于函数f(x)=cos2x-23sinxcosx,有下列命题:①对随意x1,x2∈R,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立;②f(x)在区间-π6,π3上单调递增;③函数f(x)的图象关于点π12,0对称;④将函数f(x)的图象向左平移5π12A.①②③B.②C.①③D.①②④答案Cf(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=2cos2x+π3.因为x1-x2=π,所以f(x1)=2cos2x1+π3=2cos2(x2+π)+π3=2cos2x2+π3=f(x2),故①正确;当x∈-π6,π3时,2x+π3∈[0,π],所以函数f(x)在区间-π6,π3上单调递减,故②错误;fπ12.(2024届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0))与点(-x0,f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=x2+2x,x<0,mx+2,x≥0的图象存在A.[2-22,0)B.(-∞,2-22]C.(-∞,2+22]D.(0,2+22]答案B由“隐对称点”的定义可知,f(x)=x2+2x,x<0,mx+2,x≥0令x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,所以g(x)=-x2+2x(x>0),故原问题等价于关于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,故m=-x-2x而-x-2x+2=-x+2x+2≤-2当且仅当x=2时,取得等号,所以m≤2-22,故实数m的取值范围是(-∞,2-22],故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024海淀一模,11)已知函数f(x)=x3+ax.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是.

答案-1解析由题意得f'(x)=3x2+a,所以f'(1)=3+a=2,从而得a=-1.14.(2024届广西北海模拟,15)函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小值为.

答案-2解析f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx=2sinx+π6x≠π2+kπ,k∈Z,∵sin15.(2024北京文,14,5分)若△ABC的面积为34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是答案π3解析依题意有12acsinB=34(a2+c2-b2)=34×2accosB,则tanB=3,∵0<∠B<π,∴∠ca=sinCsinA=sin2π3-AsinA=∵∠C为钝角,∴2π3-∠A>π又∠A>0,∴0<∠A<π6,则0<tanA<3∴1tanA>3,故ca>12+故ca的取值范围为16.(2024四川南充二模,16)设函数f(x)=x+e|x|e|x|的最大值为M,最小值为N,下述四个结论:①M+N=4;②M-N=2e;③MN=1-1答案②③解析f(x)=1+xe|x|,设g(x)=xe|x当x>0时,g(x)=xex,g'(x)=当0<x<1时,g(x)单调递增,当x>1时,g(x)单调递减,可知x=1时,g(x)取得极大值1e,也为最大值,由g(x)为奇函数可知,当x<0时,g(x)的最小值为-1e,则M=1+1e,N=1-1e,则M-N=2e,M+N=2,MN=1-1e2三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必做题17.(2024湘豫名校联盟4月联考,17)在△ABC中,已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA=acosB-(1)求B;(2)若c=5,b=7,求△ABC的周长.解析(1)由bsinA=acosB-π6及正弦定理,得因为sinA≠0,所以sinB=cosB-即sinB=32cosB+12sinB,即sin由于0<B<π,所以-π3<B-π3<2π3,所以B-π3=0,(2)在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍),故△ABC的周长为a+b+c=8+7+5=20.18.(2014北京文,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又因为AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为G,F分别是AB,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=12因为AC∥A1C1,AC=A1C1,且E为A1C1的中点,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=AC2-所以三棱锥E-ABC的体积V=13S△ABC·AA1=13×12×319.(2024届山东济宁一中开学考,18)为提高教化教学质量,越来越多的中学学校采纳寄宿制的封闭管理模式.某校对高一新生是否适应寄宿生活非常关注,从高一新生中随机抽取了100人,其中男生占总人数的40%,且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活,女生中不适应寄宿生活的人数占高一新生抽取总人数的32%,学校为了调查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关,构建了如下2×2列联表:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计(1)请将2×2列联表补充完整,并推断能否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关;(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采纳分层随机抽样的方法随机抽取10人,再从这10人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.附:K2=n(P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828解析(1)依据题意填写列联表如下:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生83240女生322860合计4060100K2=100×(8×28-32×32)2因为11.11>6.635,所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关.(2)用分层随机抽样的方法随机抽取10人,有2人不适应寄宿生活,8人适应寄宿生活,所以随机变量X的可能取值是0,1,2,P(X=0)=C82C102=2845,P(X=1)=C8所以随机变量X的分布列为X012P28161数学期望E(X)=0×2845+1×1645+2×14520.(2024河南尖子生诊断性考试,21)已知函数f(x)=ex-ax2(其中e为自然对数的底数,a为常数).(1)若f(x)在(0,+∞)上有微小值0,求实数a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上有极大值M,求证:M<a.解析(1)f'(x)=ex-2ax.设f(x0)=0(x0∈(0,+∞)),则f'(x0)=0.由ex0-ax0经检验,a=e24满意f(x)在(0,+∞)上有微小值,且微小值为0.故a=(2)证明:设f(x)在(0,+∞)上的极大值点为x1,则f'(x1)=0,即ex1-2ax1=0,则有a=此时M=f(x1)=ex1-a故M-a=ex1-ax12-a=ex1-a(x12+1)=ex1-(x12+1)·e而当x1=1时,a=e2,f'(x)=ex-ex,f″(x)=ex-e,x∈(0,1)时,f″(x)<0,x∈(1,+∞)时则f'(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f'(1)=0.则f'(x)≥f'(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)在(0,+∞)上无极值.与已知条件冲突,故x1≠1,则M-a<0,即M<a.21.(2024湖南六校4月联考,21)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y23=1(a>3)的左,右顶点,Q为椭圆E的上顶点(1)求椭圆E的方程;(2)已知动点P在椭圆E上,定点M-1,32,N①求△PMN的面积的最大值;②若直线MP与NP分别与直线x=3交于C,D两点,问:是否存在点P,使得△PMN与△PCD的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,3),则AQ=(a,3),QB=(a,-3),由AQ·QB=1,得a2-3=1,解得a=2,所以椭圆E的方程为x24+(2)①设P(2cosθ,3sinθ),易知直线MN:y=-32x,即3x+2y=0,点P到直线MN的距离d=|6cosθ+23sinθ|13=则S△PMN=12|MN|·d≤23,即(S△PMN)max=23②设P(x0,y0),由①知|MN|=13,点P到直线MN的距离d1=|3x0+2y0|13,则S△PMN=12|MN|·d1=12|3x0+2y0|.直线MP:y=y0-32x0+1(x+1)+32,令x=3,可得C3,4y0-6x0+1+32;直线PN:y=y0+32x0-1(x-1)-32,令x=3,可得D3,2y0+3x0-1-32,则|CD|=(3x0+2y0)(x0-3)x02-1,又P到直线CD的距离d2=|3-x0|,则S△PCD=12|CD|·d2=123x0+2y0(二)选做题(从下面两道题中选一题做答)22.(2024郑州一中周练(二),22)已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为3,π3,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标