2023-2024学年第一学期安徽省芜湖市九年级数学期末仿真模拟试卷

-2024学年第一学期安徽省芜湖市九年级数学期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．2.如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（

）A. B. C. D.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（

）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（

）A．25° B．30° C．28° D．32°5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（

）A.34° B.46° C.56° D.66°6．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（

）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC7.如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（

）A．16.5米 B．（10＋1.5）米C．（15＋1.5）米 D．（15＋1.5）米如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米9.如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（

）

A．3 B．9 C． D．18如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③；④；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的命题是（

）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如图，，，是上的三个点，，则的度数是．12.若点都在反比例函数的图象上，则的从小到大的关系是．13.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.如图，已知，，，求的长．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；(2)在给定的网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．数学活动小组到某景点测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为60°，点A，C，B在同一直线上，则求塔高．（身高忽略不计，结果不取近似值）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？20.如图，为的直径，切于E，于C，交于D．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径．六、（本题满分12分）21.已知、是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)观察图象，直接写出不等式的解集；七、（本题满分12分）22.【发现问题】如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．(3)【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．八、（本题满分14分）23.如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．

2023-2024学年第一学期安徽省芜湖市九年级数学期末试卷解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】解：∵，∴此函数的顶点坐标为（3，1），故选：A．2.如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴；故选D．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（

）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）【答案】D【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为，即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为，∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是．故选：D如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（

）A．25° B．30° C．28° D．32°【答案】C【分析】由旋转性质可得出是等腰三角形，即可得出，即可得出的度数．【详解】解：由旋转可知：，∴，∴，∴，∴．故选：C．5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（

）A.34° B.46° C.56° D.66°【答案】C【解析】【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选C．6．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（

）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；故选：B．7.如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（

）A．16.5米 B．（10＋1.5）米C．（15＋1.5）米 D．（15＋1.5）米【答案】B【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，在中，，∴（米），∴米，故选B．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米【答案】B【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，∴CD==8（米）.故该古城墙的高度是8米.故选B.9.如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（

）

A．3 B．9 C． D．18【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为，设正六边形的边长为r，∴，解得．则正六边形的边长为．故选：C．如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③；④；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的命题是（

）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②③④【答案】C【分析】观察抛物线可知：，，，故①正确；抛物线的对称轴为直线：，故②错误；时，，故③正确；由根与系数的关系得：，即，且，则，故④错误；当时，观察图像得，，，故⑤正确．【详解】解：①抛物线的开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴下方，，，由对称轴的位置可得，，故，正确；②抛物线的对称轴为直线：，即，故错误；③时，，，故正确；④抛物线的对称轴为直线：，与x轴的一个交点为，图象与轴交于点，由根与系数的关系得：，即，由，，，且，则，故错误；⑤由抛物线的对称性，可知抛物线与轴的两个交点为，，当时，，当时，或，当时，观察图像得，，，故正确；故选：．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如图，，，是上的三个点，，则的度数是．【答案】65°【分析】根据圆周角定理先求出，再利用三角形内角和为和等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．12.若点都在反比例函数的图象上，则的从小到大的关系是．【答案】【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵−3＜0，−1＜0，∴点A（−3，y1），B（−1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵−3＜−1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为：．13.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为．【答案】【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【详解】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，设小正方形的边长为1，则AE=3，BE=4，所以tan∠ABC=，故答案为：如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是．

【答案】3秒或4.8秒【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有ADE∽ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有ADE∽ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故答案为：3秒或4.8秒．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案．【详解】解：．16.如图，已知，，，求的长．【答案】【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，得出，然后代入数据计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；(2)在给定的网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1，再顺次连接A，B1，C1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，再顺次连接即可．【详解】（1）如图，△AB1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．数学活动小组到某景点测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为60°，点A，C，B在同一直线上，则求塔高．（身高忽略不计，结果不取近似值）【答案】【分析】先根据三角形外角的性质得到，则，再解求出即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴；∵，∴，又∵，∴∴该塔高为．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（13≤x≤18），（2）销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可；（2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可；【小问1详解】解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知，当时，；当时，，∴，解得，∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），【小问2详解】设每天所获利润为w元，∵，∴抛物线开口向下，∴当x＜19时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w有最大值，（元），答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元；20.如图，为的直径，切于E，于C，交于D．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为2．【分析】（1）连接，根据切线的性质就可以得出，就可以得出，可以得出而得出结论；（2）连接，得出，就可以求出，在中由三角函数计算出，从而求出结论．【详解】（1）证明：连接，∴，∴．∵切于E，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∴平分；（2）解：连接，∵是直径，∴．∵，∴．∴．∵，∴，∴．∵，

∴．在中，．∴，∴，解得，∴的半径为2．六、（本题满分12分）21.已知、是一次函数和反比例函数图象的两个交点，点坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)观察图象，直接写出不等式的解集；【答案】(1)，(2)(3)不等式的解集为：或【分析】（1）根据待定系数求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）求得直线与轴交于点，根据求解即可（3）由图象可得，直线在双曲线上方部分时，求得的取值范围；【详解】（1）把代入，得，所以反比例函数解析式为，把代入，得，解得，把和代入，得，解得，所以一次函数的解析式为；（2）设直线与轴交于点，中，令，则，即直线与轴交于点，∴；（3）由图象可得，不等式的解集为：或.七、（本题满分12分）22.【发现问题】如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．将图1中的绕点旋转