平面向量章节复习讲义-2025届高三数学一轮复习

章节复习2-6-1《平面向量》

(1套8页，含答案)

知识点1：

概念：

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(没有方向上的规定)

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：6与任一向量平行或共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

线性运算:

1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角

a

a

平行四边形法则

三角形法则

(1)AB+BC=AC2.OA-OB=BA

(2)A(xi,力)，B(X2,>2)，贝!JAB=(X2—xi，

(3)若。=(xi，yi),b=(x2,yi),则a+Z>=(xi+x2，%+”).

(4)若a=(xi，yi),b=(x2,>2)，则“一》=(为一检，y\—yi).

(5)若a=(尤，y),A£R,则4a=(Ax,Ay).

共线：

向量B与非零向量彳共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得B=入

当a时，有里=",b—Xa.

X2yi

设4a,%),3(生为),。(凡,%)，要证明三点A、B、C共线，只要证明AB//BCo

如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量彳，有且只有一对实数

X.1,九2,使M=?qei+%e2.其中，不共线的向量ei，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

按比例分解向量:

在AABC中，D点在BC边上，若BD=m,CD=n,

则-----AB+-----AC,使用该公式，可以太高解题速度。

m+nm+n

典型例题1:

1.如图，在平行四边形ABCD中，。是对角线的交点，下列结论正确的是（®）

A.AB=CT）,BC=ADB.AD+6b=DAC.AO+6b=AC+cbD.AB+BC+CD=DA

2.在如图四边形ABCD中，设箱=a,AD=b,BC=c,则疾等于（②）

A.a—b+cB.b—（a+c）C.a+b+cD.b—a+c

3.两个非零向量a、b不共线.

（1）若赢=a+b,BC=2a+8b,CD=3（a-b）,求证：A、B、D三点共线;

（2）求实数k使ka+b与2a+kb共线.（®）

4.设ei、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①ei与ei+e2；②ei-2e2与e2-2ei；③ei-2e2与4e2-2ei.

其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是④.（写出所有满足条件的序号）

5.已知a=(3,1),b—(—2,5)则3a-23=(®)

6.如图所示，在nABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,〃为8C的中点,

—►

则—.（用“、5表示）.

7.设D为^ABC所在平面内一点豆e=3e力，则(®)

1414/、4141

(A)-=----->+>(B)-=------>(C)->=*+----*(D)-*=>------

AD3AB3AC'AD3AB3ACAD3AB3ACAD3AB3AC

随堂练习1:

1.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1,贝U|AB+FE+CD|等于（®）

A.1B.2C.3D.2^3

2.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a,b,c,则65=—®

（用a,b,c表不）.

3.已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足赢=e+2f,BC=-4e-f,CD=-5e-3f.

(1)将心用e,f表示；

(2)证明四边形ABCD为梯形.®

4.下面三种说法中，正确的是(11)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.已知苏=(-2,4),痂=(2,6),则工布=12

2

6.如图，在AABC中，BD=2DC,若丽=2,43=方，则亚=(13)

1-2

B,-a+-bC、一a—b7D、-a+-b

333333

7.已知的=a,OB=b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点，O为线段C8上距C较近的一个三等

分点，则用“、5表示而为(14)A.|(4a+5Z>)B卷9a+7方)C.|(2a+/>)D.1(3a+Z>)

o-A

知识点2：

数量积运算:

(l)a-b=|a||b|cos0(2)夹角公式：cos0=-同科

(4)a,g同向，贝！，坂；⑸a,g反向，贝=⑹Q,Z垂直，则Q・B=O；

方

(7)向量a在b方向的投影是|a|cos0,向量a在向量b上的投影向量是同cos夕］.

向

(8)若a=(x「yi),b=(X2，y2),贝!Ja・b=xiX2+yiy2.

22

(9)向量模公式：设a=(xi,yi),则|a|=7x：+式.,=a-a=x+y

(10)两点间距离公式：若A(xi,yi),B(X2,y2。则|AB|=)4x：+公

垂直：a-b=0

求模：k+闿=小(a+b)2=J/+/+2帅；

典型例题2：

1.设口=12,M=9,a-b=-5^41,则Z与3的夹角大小为(15)

A.45°B.135°C.60°D.120°

2.已知|a|=4,|b|=3,夹角为60。，分别求a在b上的投影和投影向量.*)

3.设向量。二(—1,2),b=(2,—1),则(〃•b)(〃+b)等于(")

A.(1,1)B.(—4,—4)C.—4D.(—2,—2)

4.设向量5与彼的夹角为。，且五=(3,3),2^-5=(-1,1),贝(Jcos。=18

5.已知。=(i,o),B=(i,i),则1在B上的投影向量为*.

6.若A(x,-1),8(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为(20)

A.-3B.-lC.lD.3

7.若。=(2,-1),b=(1,2),且则实数t=2i；

随堂练习2：

1.已知AABC中，网=5,C4=8,ZACB=60°,则瓦.瓦=」。

2.已知向量点坂的夹角为与，且口=&,恸=2,贝U＞心—21)=^—.

3.|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120。，则向量a在向量b方向上的投影等于(24)

A.-3B.-2C.2D.-1

4,若。=(-4,3),b=(5,6),贝!J31al之一4〃必=(25)

A.23B.57C.63D.83

5.已知向量。=(1,1),2〃+办=(4,2),则向量〃、)的夹角为(26)

、71c兀八兀c兀

A.%B，CqD，2

6.已知向量商,5满足无B=10,且B=(-3,4),则花在B上的投影向量为(27)

7.已知向量函=(%,12),丽=(4,5),前=(—左,10),且A、B、C三点共线，则k=_?8

8.已知两个单位向量4,e2的夹角为45。，且4_L(设2-G),则实数X的值为29—=

9.已知向量海的夹角为45。，且同=1忤—q=加，则国=^.

10,平面向量［与B的夹角为45。，a=(1,-1),|^|=1,则1+2q=31.

知识点3：

分解代换：

一个向量可以分解成另外两个向量相加的形式，遇到这类题型，

建议优先用“坐标法”。因为坐标法容易操作，正确率也比较高。

题目涉正方形、矩形，用坐标法最佳；

如果是其他图形，则可以将其理解成一个特殊的图形，方便计算。

投影最值分析：

一个向量不变，另一个向量在变动，常用这种方法，分析这个变动向量在另一个向量上的投影。

中线分解最值分析：

两个向量都在变动，常用这种方法。取两向量终点的中间点，分解向量。

典型例题3：

1.如图7,在矩形ABCD中，=3C=2,点E为BC的中点，点/在边上，若方.衣=0,

则AE.BF的值是犯▲.

图7

2.在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,则通-*=_33

3.（2022年山东淄博J19）已知AABC中，AB=4,AC=3,cosA=-.若D为边BC上的动点,

3

则荏.莅的取值范围是（34）A.[4A12]B.[872,16]C.[4,16]D.[2,4]

4.（2022年福建漳州J20）已知△ABC是边长为2正三角形，尸为线段A5上一点（包含端点），则

11

万•定的取值范围为（35）A.--,2B.--,4C.[0,2]D.[0,4]

随堂练习3：

1.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则OE-CB的值为—，。石的最大值

为-36_。

2.如图，正方形ABCD中，M、N是BC、CD的中点,

若*=4该+〃前，则＞1+〃=（37

Q

A.2B.一D

3cI-I

TT

3.在直角AABC中，NC=],AC=3,取点D、E使BD=2DA,AB=3BE,

那么CDCA+CECA=y）A.3B.6C.-3D.-6

4.（2022年广州一模J02）已知菱形ABCD的边长为2,NA5C=60。，点P在边上（包括端点）,

则AD-AP的取值范围是—39.

5.（2022年湖南名校联盟J46）在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC（包括边界）

543

中的任意一点，则西.定的最小值是（40）A.--B.--C.-1D.--

®答案：C；

®答案：A；

③答案：⑴证明,：AD=AlB+BC+CD=a+b+2a+Sb+?la-3b=6a+6b=6A~B,：.A,B、。三点共

线.

(2)解•..版+5与2a+劭共线，：.ka+b^A(2a+kb).

(k—24)。+(1—Xk)b—0,

-2/1=0,

=^k=±\l2.

1-Xk=0

④答案：①②；

解析对于③4%—2ei=-2ci+4e2=—2（d一2c2）,，为一2或与4改一2ei共线，不能作为基底.

⑤答案：（13,—7）

®［答菊*a）；

®【答案】A

【解析］由题知通=恁+函=恁+！〃=衣+!（*—通）==_工荏+3恁，故选A.

3333

®答案：B；

[\AB+FE+CD\=\AB+BC+cb\^\AD\^2.]

⑨答案：。一5