平面向量的数量积-2025年高考数学一轮复习（天津专用）

第22讲平面向量的数量积

（6类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算

2024年天津卷，第14题,5分

律数量积的坐标表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式

2023年天津卷，第14题,5分

求积的最大值

2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算

2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律

2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线（平行）求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握向量的数量积公式

2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题

4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问

题。

1A.考点梳理・

1

r知识点一.向量的夹角考点三、角度问题

知识点二.平面向量的数量积考点一、平面向量数量积的计算

知识点三.平面向量数量积的几何意义考点二、模长问题

平面向量的数量积

知识点四.向量数量积的运算律

考点四、向量垂直的应用

者占不将影问题

知识点五.平面向量数量积的有关结论考请六【数量积求最值取值范围问题

知识点六.常用结论

知识讲解

知识点一.向量的夹角

已知两个非零向量mb,O是平面上的任意一点，作a=，，oh=b,则NN0B=6>(0<火兀)叫做向量a与b

的夹角.

知识点二.平面向量的数量积

已知两个非零向量。与b,它们的夹角为仇我们把数量⑷的cos"叫做向量a与b的数量积,记作《也

知识点三.平面向量数量积的几何意义

设。，力是两个非零向量，它们的夹角是。，e是与A方向相同的单位向量，或=a,ct)=b,过彳&的起点/

和终点3,分别作劭所在直线的垂线，垂足分别为4,Bi，得到W方，我们称上述变换为向量a向向量6

投影,W方叫做向量。在向量6上的投影向量.记为⑷cos6>e.

知识点四.向量数量积的运算律

(Uab=ba.

(2)(孙b

(3)(。+A)c=ac~\~bc.

知识点五.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，刈)，*=(%2,㈤，a与分的夹角为0.

2

几何表示坐标表示

数量积a*b=\a\\b\cos0a'b—x\X2-\-y\V2

模\a\=\]a'a\a\=\lx^+yl

八xixi+yiyi

夹角cosCOS“一/-----/-----

\/xi+yl

a±b的充要条件ab=GX1X2+_”LV2=O

〃•〃与回回的关系\a'b\<\a\\b\xi%2+y必sY（x彳+及）

知识点六.常用结论

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(«+*)(a-*)=a*2-62；

(2)(a±6)2=fl2±2fl/»+62.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若"与b的夹角为锐角，则“力>0；若“山>0,则a与分的夹角为锐角或0.

⑵若a与b的夹角为钝角，则a-b<0；若a-b<0,则a与Z>的夹角为钝角或兀.

考点一、平面向量数量积的计算

典例引领

1.(2024•河南濮阳•模拟预测)已知向量同=2,1在N方向上的投影向量为-34则无刃=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由题意得同cos值㈤=-6,结合数量积的公式即可求解.

【详解】因为了在方方向上的投影向量为-34

所以(同cos低初编=-3a,

而同=2,a0,所以同cos值b)=—6,

所以万-b—[a\同cos值另)=—12.

故选：B.

2222

2.(2024•海南•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C毛+3=l(a〉b>0),点叭亍,根)，N(?n),

若以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点尸(c,0),-V2OF)-(0M+V2OF)^OM-NM,则椭圆C的离心

率为()

3

【答案】c

【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得2a2=3C2,进而求出离心率.

【详解】由以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,O),得前，丽，即前•前=0,

贝!1(亍)2+血？-2c2=ni(ni—71),即合一2c2=—nm,因此2c?=^-

整理得2a2=3C2,解得£=£所以椭圆C的离心率为自

故选：C

即时校L

1.(2024•山西太原一模)在△4BC中，BC=6,48=4,“84=泉设点。为AC的中点，E在BC上，且版•丽=

0,则就.版=()

A.16B.12C.8D.-4

【答案】A

【分析】以B为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可.

【详解】因为在△力BC中，BC=6,AB=4,/-CBA-p以B为原点，建立如图坐标系，

则力(4,0),B(0,0),C(0,6),0(2,3),设E(0,b),则荏=(一4,b),丽=(2,3),BC=(0,6)

由题意可知荏•丽=0.即(一4,6)•(2,3)=0,即一8+36=0,所以％=(

所以£(0,§,；.版=(—4,。所以版.近=1(5.

故选：A.

2.(2024・湖北•模拟预测)直线y=/o:与圆l)2+(y-1)2=1交于M、N两点，0为坐标原点，则丽・

4

ON=()

1k2

A、B..C.1D.2

【答案】C

【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出的“2,y42,根据向量数量积可求答案.

【详解】联立｛(尤_1)2=1,得(1+H)/-2也+1>+1=0,

则△>(),即4(k+1产-4(〃+1)>0,所以k>0,

设M(Xi，yi),N(%2，y2)，则：/町=备，乃乃==餐，

:__»]

2

丽•丽=久62+乃丫2=(1+fc)-2=1.

抬+1

故选：C

3.(2024•河南周口•模拟预测)已知△ABC中，力C=2a，NC=，AD为BC上的高，垂足为。，点E为

AB上一点，且力E=2EB,则而•而=()

4488

---C---

A.333D.3

【答案】A

[分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得CE•4。=1C4•4D+1CB•可得答案.

【详解】如图所示，

由题意可知，AC=20,^ADC=p^ACD=故力D=2,

因为AE=2EB,

所以丽^CA+AE^CA+^AB=CX+|(CB-CX)=~CA+^CB,

则丽•AD=(|CA+|CB)-AD=^CA-AD+|CB-AD

=3|C4H4nleos/=-g.

故选：A.

4.(2024•四川凉山•三模)在△力BC中，已知4B=1,4C=3,点G为△ABC的外心，点。为△ABC重心,

贝！W-BC=.

【答案】g

5

【分析】设BC的中点为。，根据三角形外心性质，得GDLBC,由重心性质得砺=：（前+而），再根据数

O

量积运算即可求解.

【详解】设BC的中点为D,连接4D,GD,

由点G为△ABC的外心，可得GD1BC,

由点0为△力BC重心，可得而=2同=-四+前），

36

故而-BC=（OD+DG）-BC

=OD-BC+0

]

=-（AB+AC）-（AC-AB）

6

=[谈一研=29_1）=*

故答案为：

5.（2024•天津河西，二模）在四边形力BCD中，AB1AD,CB1CD,^ABC=60°,AB=2,AD=V3,E、F

分别为线段力B、CD的中点，若设而=落说=豆则而可用优石表示为；丽•而=.

【答案】+~b一,

【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定|而|及而与而，前的夹角，代入数量积的计算

公式即可求出第二个空.

【详解】

由题意得，~EF^EA+AD+DF^F^EB+BC+CF,

由E、F分别为线段ZB、CD的中点，知瓦？+丽=6,DF+CF^O,

因止匕，2EF^EA+AD+DF+EB+BC+CF^AD+BC

EF=-a+-fe；

22

延长4D、BC交一点G,由ZB1AD,/.ABC=60°,AB=2,:.AG=2瞩且/DGC=30°.

•••AD=V3,.­.DG=陋

6

又“CB1CD,乙GCD=90°,，CD=与乙GDC=60°,贝Ij/CIM=120"

.：EF-W=l(AD+BCyCD=^AD-CD+lBC.CD=^AD.W=i|AD|­|CD|cosl20"=1xV3XyX

3

H)=-8

故答案为：1a+|

LLO

考点二、模长问题

中典例引领

1.(2020•全国•高考真题)设苍方为单位向量，且恒+石|=1,则忻一向=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：怔+研=J值+万仁再利用乙石为单位向量即可求得2无万=-1,对忖-用变形

可得：W-矶=[同2一2J5+区『，问题得解.

【详解】因为乙石为单位向量，所以同=间=1

所以怔+石|=J(a+b)2=J同2+2H•万+同2=V2+2a-h=1

解得：2H不=一1

所以怔一同=J(a—fo)2=J同2一2H.万+同之=四

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

2.(2024・河南・二模)若向量方石满足历|=1,0+司150+2为‘2,则同=()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由己知结合向量数量积的性质即可求解.

【详解】因为向量落了满足的=1,(a+b-)lb,(a+26)1a,

所以0+E)4=五4+|即=H-h+1=0,即小了=一1,

所以0+2石)q=|由2+2万•万=0,则同=鱼.

故选：A.

[______即___时__检___测____

1.(2024•河南濮阳•模拟预测)已知4(1,0)，C(cosa,sina),a£(0,7t),^\AC\=\BC\,则a的值为

7

B.-C-D.7C

2.46

【答案】c

【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得tana=1,即可得结果.

【详解】由题意可得：=(cosa—1,sina),BC=(cosa,sina—1),

若［4C|=\BC\,则J(cosa—1)2+sin2a=Jcos2a+(sincr—I)2,

可得2—2cosa=2—2sina,则tana=1,

且aG(0,71)，所以a=7.

故选：c.

2.(2024・河北・三模)已知非零向量落石的夹角为呈a=(-y,0,\a-b\=1,则忖+同=()

A.1B.yC.V2D.V3

【答案】D

【分析】分析可知同=1,向量0方-石的夹角为会根据方+石=2N-0-可结合数量积的运算求解.

【详解】因为益=(_苧，5,则画=1,

且非零向量方，1的夹角为京怔一同=1,可知向量0方—了的夹角为京

b

则小@一司=lXlx|=p

所以忖+同=|2a-(a-fe)|=J4a2-4a-(a-d)+(a-h)2=V3.

故选：D.

3.(2024•陕西西安•三模)已知向量N=(2,m),b=(1,1),|a+h|=|a|,则m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解.

22

【详解】因为向量方=(2fm),~b=(1,1),由［3+同=|a|,可得出+2a-fa+&=a,所以2(2+m)+2=0,

解得TH=-3.

故选：A

8

4.（2018•辽宁朝阳•三模）已知向量3与石的夹角为60。，同=2,|同=3,贝U肉一2同=.

【答案】6

【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.

【详解】由题意，向量方与石的夹角为60。，同=2,|同=3,

2

所以（3工-2b）=9a2-12a-fa+4b2=9x22-12x2X3cos60°+4x32=36,

所以|3五一2同=6,

故答案为：6

5.（2024・四川资阳•二模）已知向量卷了的夹角为150。，且@=2,同=2,则忖一府|=（）

A.1B.2-V3C.2+V3D.2小

【答案】D

【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.

=4-2g义2x2x(-/)+3X4=28,

所以怔—何|=2V7.

故选：D

6.（24-25高三上•广东•开学考试）已知力=（sin久,-1）,q=^cosx,0,若1不则历一］|=.

【答案】|

【分析】借助向量垂直可得其数量积为0,利用向量数量积公式与模长公式计算后结合三角函数基本关系即

可得解.

【详解】由万1不则有万•力=sinxcosx—1=0,即sin久cosx=（

又万—q=（sin久—cosx,—|）,

222

则|万一司2=（sinx—cos%）+2=sin%+cos%—2sinxcosx+-=1—1+-=",

4444

故旧一罚=1

故答案为：I

7.（24-25高三上•湖北•阶段练习）若平面内不共线的向量方石兄两两夹角相等，且同=1,同=2,团=3,

则忖+了+石=1

【答案】V3

【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解.

【详解】因为平面内不共线平面向量反了1两两的夹角相等，

即位我2两两的夹角为120。,

9

—TT—>->—>-->—>—>—>—>—>—>—>

a+b+c(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a•b+2a・c+2b・c

J|a|2+|h|2+|c|2+2a-h+2a-c+2h-c

；)+2xlx3x；)+2x2x3x1

12+22+32+2X1X2X

2

故答案为：V3.

考点三、角度问题

典例引领

1.（2020•浙江•高考真题）设万，五为单位向量，满足|2万一森a=e^+e^,5=3无+五，设N,b

的夹角为仇贝！Ros?。的最小值为.

【答案】n

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得瓦•否再根据向量夹角公式求cos?。函数关系式,

根据函数单调性求最值.

【详解】［2万—司＜V2,

...4—4万•五+1W2,

・••万•皈号,

2①・万尸（4+4万•豉）24（1+五・雷）

/.COSa=-------——=--------------------------------------------------------=---------------------------

a2-b2（2+2万・五）（10+6万•无）5+3万•逵

_4C2、＞4r228

/牛a一病）一药

4

故答案为：||.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合

分析求解能力，属中档题.

2.（24-25高三上•贵州・开学考试）若向量社=（—2,2）,E=（—1,3）的夹角为州则cos。=（）

2V5„V5„2V5~V5

AA.———B.yC.—D.-y

【答案】C

【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题可知，cose=H=」±%=竽，

|a|-p|2V2XV105

故选：C.

10

即时检测

I___________________

1.(2024・山西太原•二模)已知同=同=1,|c|=V3,a+b+c=0,则N与方的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依题意可得2=-0+为，将两边平方，由数量积的运算求出方大，再由夹角公式计算可得.

【详解】因为@=|同=1,|c|-V3,a+h+c=0,

所以？=一@+可，则存=/+2衣了+京，gp(V3)2=l2+2a-b+l2,

解得王.石=?

设,与了的夹角为仇则cos0=盖=1,又0。W8W180°,

\a\-\b\2

所以8=60。，即益与石的夹角为60。.

故选：C

2.(2024•甘肃兰州•三模)已知向量,=(1,—2)1=(—1,—2),设方与石的夹角为仇则sin8=()

3344

A.二B,-C,--D.-

【答案】D

【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.

【详解】因为N=(1,-2)5=(-1,-2),

所以a•b=3,|同=遮』b|=遥，

所以cos6»=

HH

因为6为五与了的夹角，所以sin®=Vl-cos20=:

故选：D

_>tTT_>

3.(23-24高三上•湖北十堰•开学考试)已知平面向量a,b满足本0+b)=3,且|a|=2,b=1,则向量a

—>

与b夹角的正弦值为()

A.-iB.-坦C.iD.农

2222

【答案】D

【分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解.

【详解】a-(a+b)=3=>a2+a-b=3=>a-b=—1=|a||b|cos(a,h)=>cos(a,b)=—1.

因为sin(a,b)=Jl-cos?值b}=Jl—(一=y-.

11

故选：D.

4.(24-25高三上•贵州贵阳•开学考试)已知向量反刃满足同=4,间=10,且温立上的投影向量为-钝，则

向量N与向量了的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】c

【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.

【详解】依题意，方在了上的投影向量为患了=—(无则/彳=一(的2=—20,

于是cos位,宓=瑞^=瞪=一T，而值初6[0,兀],则位,石〉=学

所以向量方与向量了的夹角为与

故选：C

5.(24-25高三上•浙江•开学考试)已知向量讶=(1,2)花=(2-无刃，若方与石的夹角为锐角，贝奴的取值范围

是.

【答案】(-2,§uG，+8)

【分析】根据题意列出不等式即可.

【详解】因为a力的夹角为锐角，

TTTT

所以>0且a,b不能同向共线，

所以.2X(2T)，

解得4>—2且2g

故答案为：(-2,§UG，+8).

考点四、向量垂直的应用

中典例引领

1.(2021•全国•高考真题)已知向量(1,3),1=(3,4),若①―篇)，反则2=.

【答案】I

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为篇=(1,3)-4(3,4)=(1—34,3-44),所以由伍-;1万)_L石可得,

3(1-3A)+4(3-4X)=0,解得4=

故答案为：

12

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设H=（Xi，yD，下=（%2，丫2），

alb<=>a-b=O<=>xrx2+为乃=。，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

2.（23-24高三下•山东青岛•开学考试）已知向量方=（log43,sing）,~b=（log38,m）,若NJLI,则zn=（）

A.-2V3B.-V3C.V3D.2V3

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示结合对数的运算即可求解.

【详解】由五_16,可知log43,log38+msinF=。，

即log48一个爪=|一=0,解得zn=百.

故选：C

即时校L

1.（22-23高三下•安徽池州•阶段练习）已知点M（l,-1）和抛物线C:y=；/,过C的焦点且斜率为k的直线与

4

C交于4B两点.若AM，BM,则k=（）

A.-B.--C.-D.--

171722

【答案】c

【分析】设401/1）,8（X2,、2），直线4B方程y=kx+L然后由直线方程与抛物线方程联立，消去y,利

用根与系数关系，表示出从而可表示出为+y2，Viy2，进而由前•万羽=。求出k的值.

【详解】抛物线标准形式/=4y,焦点坐标（0,1）,设4（%1，为），B[X2,y2）>

直线4B方程y=kx+1,代入抛物线方程得/一4kx-4=0,

所以△=16k2+16>0,+町=4k,久1冷=—4,

乃+g=3久1+犯）+2=4/+2,yxy2=上/始=1，

所以福•丽=（1-％1，-1一为）•（1一乂2,一1一丫2）=（1-勺）（1-久2）+（-1-yi）（­l-为）=2+

久1久2+7172-（巧+及）+（71+%）=°，

得4k2—4fc+l=0=>/c=1.

故选：C.

2.（2023•河南•模拟预测）已知向量方=（2cos75°,2sin75°）,刃=（cos15",—sin15"）,且（23+/），@—花）,

则实数4的值为（）

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.

【详解】因为心石=2cos75"cosl5--2sin75°sinl5°=2cos（15°+75°）=0,

|a|=2,也|=1.

13

所以（22+司.0-石）=2a2-Ab2=8-A=0.

所以a=8.

故选：A

3.（2024,西藏,模拟预测）已知向量N+Jsin（a+§）,了=（cos（a+高,sin（a+誓））.若（2工+

fo）l（a+xfa）,则实数%的值是（）

11

A.-2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到同=|同=1,a-b^0,

再依据向量垂直的条件建立方程求解即可.

【详解】由题意得同=|同=1,27=cos（a+§Xcos（a+引+sin（a+弓）xsin（a+J

=cos（a+g-a—弓）=cos（—=0,因为（2方+b）1（a+xh）,

_>_>_»2

所以（2近+b）・@+=0,所以2|五『+'也|=o,所以2+%=0,解得％=-2.

故选：A.

4.（2024•山东荷泽・模拟预测）已知向量访=+元=（cos（7r+a）,?,其中aE（0,g,若隹1兀

则cosa的值为（）

A.—B.-C.—D.-

2244

【答案】B

【分析】由记_L冗所以访•元=0,代入条件化简得cos2a=$结合已知a€（0,彳）得解.

【详解】由沅_1_元，所以记■元=0,即sin（a+］）COS（TT+a）+3=0,

化简得cos2a=（,由ae（0,9得cosa=（

故选：B.

5.（2024•江西新余•模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C的左右焦点分别为Fi、尸2,经过吃的直线I与C交于

4B两点，若用•用=16,AF\-AB=9,西•瓦？=0,贝!|C的方程为：（）.

A.日+丈=1B.日+旺=1C.日+9=1D.^+y2=l

9432983y

【答案】A

【分析】由题意可知：B41BF1，根据数量积的几何意义可得|用|=4,|四|=3,进而结合椭圆的定义

求a,6,c,即可得方程.

【详解】因为西・瓦？=0,可知8418%,

14

则无5•用=用2=16,而•祈=桥=9,

可得|用|=4,|荏|=3,即|%B|=4,\AB\=3,则MF/=国可不而=5,

由椭圆定义可得4a=\AFX\+\FrB\+\AB\=12,即a=3,

且|尸2a=2a-|%B|=2,则IF1F2I=,尸中|2+|&B|2=2遍，

即2c=2V5,可得c-V5,b—Vet2—c2=2,

所以椭圆C的方程为1+4=1.

94

故选：A.

考点五、投影问题

典例引领

1.（24-25高三上•湖北武汉•开学考试）已知同=1,同=2,忖-司=百，则3在石上的投影向量为（）

1—111—1、

A.—bB.—CLC.—bD.—CL

2244

【答案】c

【分析】先根据数量积的运算律求出方不，再根据投影向量的定义即可得解.

【详解】由忖一同=百，得@一万）=a2+fa2-2a-b=5-2a-h=3,

所以"26=1,

所以温I不上的投影向量为曹•5=蹲

问问4

故选：C.

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量工花满足同=2,b=（3,0）,忖-同=V10,则向量方在向量1方向

上的投影向量为（）

A.Q,0）B.g,0）C.（|,0）D.（1,0）

【答案】C

【分析】将忖-同=同两边平方求出五•石，然后由投影向量公式可得.

【详解】因为同=2,同=3,「一同=国,

所以怔一司2=方2_2无石+京=22—2万•石+32=10,得，.石=,,

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___>—>D

所以向量方在向量了方向上的投影向量为当•万=1■刃=；(3,0)=偿,0).

\b\"6\Z/

故选：C

即时壁L

1.(2024・浙江绍兴•三模)若非零向量优1满足同=\b\=\a+b\,则方+2不在E方向上的投影向量为()

->Q->—>1—>

A.2bB.-bC.bD.-b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模长关系可得T历『，再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意根=\b\=口+同可得同2=同=\a+b\,

所以，则

所以N.b=_［同2=_：也|,

则工+2刃在石方向上的投影向量为世比另=亚里石=(一电回Z=l~b.

对同间2

故选：B

2.(2024・湖北•模拟预测)已知向量方=(1,0)花=(0,1),37=石7=1,则向量方在向量?上的投影向量为()

【答案】A

【分析】设出下的坐标，利用给定条件得至再，再利用投影向量公式求解即可.

【详解】设？=(m),因为方=(1,0),石=(0,1),27=57=1,

所以卷雷箸二；，解瞰:；，八(1，1)，

即向量方在向量?上的投影向量为言.1=今等=(").

|c||c|V2V222

故选：A.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知平面向量方=(2,m),1=(弭1),c=(m+1,-1),若方，了，b/fc,则

方在方+正方向上的投影数量为()

A.-2V2B.一誓C.?D.2V2

【答案】B

【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出小，n,得到了和五+Z的坐标，即可利用向量投影的公式进行

求解.

【详解】由五1b得血+2九=0.

由b//3得m+几+1=0,所以血=-2,n=1.

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所以b=(1,1),a-(2,-2),c=(—1,-1),Q+~c-(1,—3),

所以石在N+下方向上的投影数量为塔孚==-^

\a+c\"2+(_3)25

故选：B.

4.(23-24高三下•湖南娄底•阶段练习)在三角形2BC中，若荏•就=0,说=2前，则向量方在向量方上

的投影向量为.

【答案吗屈

【分析】由题意可得。为线段BC的中点，/.BAC-90°,则△AOB为等腰三角形，然后根据投影向量的定义

求解即可.

【详解】因为配=2诟，所以。为线段BC的中点，

因为万・芯=0,所以四_L前，所以NB4C=90。，

所以。A=OB=OC,

所以△力。B为等腰三角形，

所以向量而在向量四上的投影向量为

AO-ABAB\AO\■画cosNB40AB

|AB||AB|-|XB||AB|

一画网片荏「荏

--R-,雨-浮，

故答案为：|AB.

5.(2023•天津和平•三模)已知△ABC中，点。是力C中点，点M满足前=2标，记瓦I=落BD^b,请用

石表示前=；若瓦？-BD=-5,向量前在向量丽上的投影向量的模的最小值为.

【答案】费-软y

【分析】由题意可得前=|左-瓦I,BC=2BD-~BA,可求得病=1另一^方；向量前在向量丽上的投

影向量的模为嚅口=净?”,计算可求得最小值.

【详解】根据题意，可得前=前一瓦5近一瓦?，

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A

由点。是力C中点，可得说=2前一瓦5,

所以赢=BM-~BA=|FC-BA=|（2RD-BA）-BA=^BD-=|&-|a,

向量宿在向量而上的投影向量嘿土黑;，

I叫\bU\

因为瓦5・丽=一5,所以工工=一5,

所以向量而在向量而上的投影向量的模为：

丽的」（事等）画_4125麻且—江

\BD\~\b\一3的+3历产（3回3•一3'

当且仅当（丽=箫，即的=|时取等号，

所以向量前在向量而上的投影向量的模的最小值为当

故答案为：②与

考点六、数量积求最值取值范围问

典例引领

1.（2023•天津•高考真题）在△4BC中，BC=1,乙4=60。，ATD=^1ATB,CTE=^1CTD,记4___B_»=H,4___C_»=—b>,用—a>,T6

表示力E=；若前=［近，则荏•衣的最大值为

【答案】"N+gb

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用荔了表示出而，结合上一空答

案，于是荏•都可由方是表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【详解】空1：因为E为CD的中点，则前+前=6,可得［竺+吧=竺，

两式相加，可得到2族=而+而，

即2版=［方+反则版=［方+衿

空2：因为豌=工近，则2或+所=6,可得［竺+££=”，

3MF+FB^AB

得到赤+FC+2（AF+FB）=AC+2AB,

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即3AF=Za+b,即ZF=|a+|h.

于是族•AF=Qa+])•Qa+笆)=1(2a2+5a-b+2fo2).

记ZB=x,AC=y,

则荏•~AF=卷(2a2+5a-+2&2)=卷(2x2+5xycos60°+2y2)=.(2x2+等+2y2),

在aZBC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=%2+y2—xy=1,

于是族.衣=.2xy+哭+2)=*(婴+2),

由％2+y2—%y=1和基本不等式，%2+y2—xy=1>2xy—xy=xy,

故%yWl,当且仅当％=y=1取得等号，

则*=y=1时，AE-初有最大值

故答案为：：方+1戾

2.(2022•天津•高考真题)在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足丽=2丽.记方=乙方=方，用4石

表示屁=,若4B_LDE,则乙4cB的最大值为

【答案】能十(

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出炉，以包,万｝为基底，表示出荏，金，由ABIDE

可得3万2+互2=4万.编再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(l,0)((3,0),48y),由力B1DE可得点力的轨迹为以

M(—1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+l)2+y2=*即可根据几何性质可知，当且仅当C4

与OM