平面向量的数量积（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题24平面向量的数量积6题型分类

彩题如工总

题型6:平面向量的实际应用题型1:平面向量数量积的基本运算

\_________________________

题型5:向量的投影题型2:向量的模

专题24平面向量的数量积6题

型分类

题型4:向量的夹角题型3:向量的垂直

彩和泅宝库

1.向量的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作宓=a,OB=b,则/4。8=。(0(6»(无)叫做向量。与

b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与"它们的夹角为仇我们把数量|a|依cos。叫做向量。与力的数量积，记作

3.平面向量数量积的几何意义

B

bJ

CA,BxD

设a,6是两个非零向量，它们的夹角是仇e是与匕方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过油的起点A

和终点B,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为Ai，Bi，得到前1，我们称上述变换为向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.记为⑷cosOe.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)(脑)•力=2(。・5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。与万的夹角为夕

几何表示坐标表示

数量积a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夹角COSu-||»|2

x⑷步1

alb的充要条件ab=0的入2+%丁2=0

|a创与⑷向的关系|a创W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有关向量夹角的两个结论

(1)若a与〃的夹角为锐角，则a2＞0；若。力＞0,则a与入的夹角为锐角或0.

(2)若。与〃的夹角为钝角，则“协＜0；若〃协＜0,则a与。的夹角为钝角或兀.

彩偏题祕籍

平面向量数量积的基本运算

计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：。•'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐标运算，若。=(阳，yi),)=(冗2,yi),则。6=阳工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

题型1：平面向量数量积的基本运算

1-1.(2024・陕西西安•模拟预测)已知向量b满足同向共线，且恸=2,1-4=1,则(a+6)/=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

1-2.(2024•北京)已知向量a,在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

{a+b)-c=；a-b=■

1-3.（2024•全国）正方形A3CD的边长是2,E是AB的中点，则（）

A.75B.3C.2A/5D.5

1-4.（2024•湖南长沙•二模）已知菱形ABC。的边长为1,ABAD=-^,G是菱形A8CD内一点，若

GA+GB+GC=0,贝！lAG.AB=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

3

1-5.（2024•天津）如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,^,AD=ABC,ADAB=--,

则实数％的值为,若KN是线段BC上的动点，且|MN|=1,则。MQN的最小值为.

1-6.（2024・全国•一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在2022

年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设

计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）.已知正方形A3CD的边长

为4,中心为。，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如右图）.若点尸在四个半圆的圆弧上运

动，则ACOP的取值范围是.

彩傅题淞籍

平面向量数量积的应用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用及（a±%）2=|a|2±2a3+|肝；

②几何法：利用向量的几何意义.

（2）求平面向量的夹角的方法

、ci,b

①定义法：coso=j^j而；

②坐标法.

（3）两个向量垂直的充要条件

一臼=|"+例（其中a^O,#0）.

题型2:向量的模

2-1.（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知”，b是非零向量，忖=1,（a+2b^La,向量［在向量6方向上的投

影为一亨，则，一,=.

2-2.（2024高三上■海南■期末）已知向量a,b满足0=（1,1）,忖=4,a-（a-b^=-2,贝川3°-4=.

2-3.（2024・四川南充•二模）已知为单位向量，且满足b-后卜后，则|2a+b卜.

24（2024•河南郑州•模拟预测）已知平面向量a2满足,卜加,恸=2,且仅”+6）«-6）=14,则卜+0

题型3:向量的垂直

3-1.（2024•全国）设向量〃二（1,—1）,。=（加+1,2根—4）,^aLb,则机=.

32（2024・河南开封•模拟预测）已知向量。=（-2,3）,8=（4,-5）,若（助-贝此=.

3-3.（2024•江西赣州•一模）已知向量。=（1,2）,8=（4,左）.若（2a-6），（2a+6）,则实数上的值为.

3-4.（2024高三下•江西南昌•开学考试）已知两单位向量令,6的夹角为若a=G+2e2,b=ex+me2，且4_LZ?,

则实数根=.

3-5.（2024高三・全国•专题练习）非零向量〃=（cos（6Z-/3）,sin。），Z?=（l,sina）,若〃_L。，则tanatan尸=.

题型4：向量的夹角

4-1.（2024,河南驻马店•二模）若单位向量〃，人满足则向量入B夹角的余弦值为.

4-2.（2024高三・广东•阶段练习）若q,e；是夹角为60。的两个单位向量，则a=2q+e2与6=-3q+2e2的夹

角大小为.

4-3.（2024高三下•重庆•阶段练习）已知向量。和6满足：同=1,忖=2,悭-司-2as=0,则a与/，的

夹角为.

4-4.（2024・四川•模拟预测）已知向量。=1+1,右），6=（1,0）,a-b=-2,则向量a+b与6的夹角为.

4-5.（2024•浙江）设q,e；为单位向量，满足|2e；-e；区正，a=ei+e1,b=3q+e；,设。，b的夹角为0,

则cos?6的最小值为.

4-6.（2024•天津）在.ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中点，CB=2BE,试用表示OE为，

若AB_LDE，则/ACB的最大值为

题型5:向量的投影

5-1.（2024•全国•模拟预测）已知向量a=（l,O）,Z?=（O,l）,a-c=Z?-c=l,则向量0在向量）上的投影向量

为.

5-2.（2024高三下•上海宝山•期中）已知向量。=（3,6）,匕=（3,-4）,则4在8方向上的数量投影为.

5-3.（2024高一下•山东泰安•期中）已知向量忖=6,e为单位向量，当向量£、e的夹角等于45。时，则向

量a在向量e方向上的投影向量是.

5-4.（2024高三上•云南昆明•开学考试）已知向量。=（-1,2）,向量b=（1,1）,则向量“在向量〃方向上的投

影为.

55（2024・上海虹口•三模）已知。=（-2,-1）,6=（-4.m）,若向量B在向量a方向上的数量投影为石，则实数

m=

彩得甄祕籍

平面向量的实际应用

用向量方法解决实际问题的步骤

题型6:平面向量的实际应用

6-1.（2024高三上•安徽合肥•开学考试）一质点受到同一平面上的三个力片，F2,F3（单位：牛顿）的作

用而处于平衡状态，已知耳，工成120。角，且可，F?的大小都为6牛顿，则工的大小为牛顿.

6-2.（2024高三上•福建泉州•期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳

上的拉力分别是耳，F；,且耳，工与水平夹角均为45。，,卜归|=4后N,则物体的重力大小为

N.

45°?\45°

6-3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所

示.若圆半径均为12,相邻圆圆心水平路离为26,两排圆圆心垂直距离为1L设五个圆的圆心分别为。1、

。2、Q、。4、。5,则。4。「（。4。5+。4。2）的值为（）

B炼习与梭升

一、单选题

1.（2024高三上•吉林四平•期末）已知向量a,b满足|4=2,m=6,且〃与方的夹角为聿，则

（Q+〃）.（2Q-b）=（）

A.6B.8C.10D.14

2.（2024高一下•天津西青•阶段练习）已知同=6,网=3,向量。在b方向上投影向量是4e，贝!）2小为（）

A.12B.8C.-8D.2

3.（2024高三下•云南昆明•阶段练习）已知单位向量:工，且3匕〉=；，若,Q[=2，则H=（）

A.1B.12C.一2或2D.-1或1

4.（2024・广东•模拟预测）将向量。尸=（立⑹绕坐标原点。顺时针旋转75。得到OP-则。尸.以=（）

A.2B.娓一叵

C.V6+V2D.

2

TT

5.（2024•山东济宁•二模）如图，在中，ZBAC=~,AD=2DB，尸为。上一点，且满足

AP=mAC+-AB（meR）,若AC=3,AB=4,则AP-CD的值为（）.

C

Ax

ADB

6.（2024•吉林长春•模拟预测）在矩形ABCD中，=1,45=2,AC与8。相交于点0,过点A作

于E,则AE-AO=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

7.（2024•湖北•模拟预测）已知平面向量。，b,右满足0=（2,1）,b=（1,2）,1c.若"c=30,贝力。1=

（）

A.5B.2A/5C.572D.3石

8.（2024•山东泰安・模拟预测）已知|a|=g|=|c|=l,a%=-；,c=xa+yb（x,yeR）,则x—y的最小值为（）

A.-2B.--C.-V3D.-1

3

9.（2024•安徽•三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一

TT

段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知尸为弧AC上的一点，且=j则5PC尸的值为（）

A.4-0B.4+0

C.4-2gD.4+26

10.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在圆内接四边形ABC。中，-840=120。,AB=AO=1,AC=2.若石为

3_

A.-3B.C.D.3

2

11.（2024•安徽合肥•模拟预测）如图，已知ASC是面积为36的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2

的正方形，其各顶点均位于A5C的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，贝I］当2QCP=0时,

\BQ+CP\2=()

A.2+4上B.4+2白c.3+2指D.2+376

12.（2024•河南安阳•三模）已知正方形ABCD的边长为1,。为正方形的中心，E是A3的中点，则。足。。=

)

13

A.——BC.一D.1

4-I4

13.(2024•全国)已知向量a=力=（1,一1）,若(〃+4匕)_1(〃+"匕)，贝I()

A.2+〃=1B.X+4=-1

C.44=1D.办=一1

14.(2024•全国)已知向量。=(3,4),〃=(l,0),c=a+仍，若<〃,c>=<仇c>,贝()，=()

A.-6B.-5C.5D.6

15.（2024高二上•江西九江•开学考试）在，ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸为-ABC所在平面内

的动点，且尸。=1,则尸4P5的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,3]D.[T6]

16.（2024•全国）已知；。的半径为1,直线E4与。相切于点A,直线与一。交于8,C两点，D为

BC的中点，若|PO|=则PAP。的最大值为（）

A.包„1+2五

D.----------

22

C.1+V2D.2+72

17.（2024•山东）已知P是边长为2的正六边形A8CDEF内的一点，贝1JAPAB的取值范围是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

18.(2024•北京)在1aAsc中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸为ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PAPB

的取值范围是()

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[-4,6]

19.(2024・全国)已知向量31满足1。1=1,1切=石,1〃一25|=3,则:％=()

A.-2B.-1C.1D.2

7T

20.(2024,浙江)已知.、b、e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为§，向量6满足

万。-4e/+3=0,贝！|卜-闿的最小值是

A.6一1B.73+1C.2D.2-g

21.(2024•全国)已知向量a=(3,1),6=(2,2),则cos(a+6,a-6>=()

A±nV17c亚

A•D.--------C.----U.-----

171755

22.(2024•全国)已知向量a,/7,c满足同=忖=1,同=虚，且a+Z?+c=0，则cos〈a-°涉一c〉=()

4224

A.—B.—C.一D.一

5555

23.(2024•吉林•二模)平面向量a与》相互垂直，已知。=(6,-8),忖=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角，

贝心()

A.(-3,-4)B.(4,3)C.(-4,3)D.«-3)

24.(2024高三上•湖南•阶段练习)已知单位向量”，。的夹角为60。，则在下列向量中，与6垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

25.(2024•全国•模拟预测)已知平面向量“，6满足忖=2忖=6,卜+叫=3例左>0),a-b=9,则实数左

的值为()

A.1B.3C.2D.>/2

26.(2024高三上•辽宁•阶段练习)已知向量。=(4,2),6=(41),若a+26与〃-6的夹角是锐角，则实数4

的取值范围为()

A.(1-V1T,2)I(2,1+711)B.(-2,5)

c.(I-A/TT,I+A/IT)D.(-<»,I-7TT)IJ(I+VIT,+OO)

27.（2024•福建漳州•模拟预测）已知向量。二（-1,㈤，向量石=（〃,一2）,向量c=（l,l）,若一与）共线,b1c

则（）

A.m=-lB.〃=—2

C.m+n=3D.m—n=l

28.（2024•辽宁沈阳•一模）已知单位向量°力满足a，（a-26）,贝（）

2兀兀兀兀

A.—B.一C.—D.一

3346

29.（2024高三上■江西抚州■阶段练习）已知非零向量”，6满足a+恸=0,\a+4Z?|=5,则,+〃+卜]的

最大值为（）

A5V104710u25播n.

334

30.（2024・四川成都•模拟预测）在平面直角坐标系xOv中，点”（2,0）,直线/：>=左（尤-2）+1,点M关于直

线/的对称点为N,则ON的最大值是（）

A.2B.3C.5D.6

31.（2024高三下,陕西•开学考试）己知抛物线C：V=2py（p>0）的焦点为F，直线/与抛物线C相切于点P

（异于坐标原点。），与x轴交于点Q,若|尸石=2,但。|=1,则向量b与P。的夹角为（）

7C5兀7L2兀

A.—B.—C.—D.—

6633

二、多选题

32.（2024•全国）己知0为坐标原点，点耳（cose,sine）,鸟（cos/?,-sin£）,月（cos（c+/?）,sin（a+/））,A（l,0）,

则（）

A.口用=|网B.\APt\=\AP2\

C.OAOP3=OI]OP1D.OAOF[=OP1O^

33.（2024•江苏连云港•模拟预测）设a,b,c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）

A.若卜+0=卜-0,则心匕B.若卜卜比则（a+b）_L（a-6）

C.若q.c=b-c，则q-b不与c垂直D.R-c）a-（a-c）b不与0垂直

三、填空题

34.（2024•上海杨浦•模拟预测）若向量。与％不共线也不垂直，且c=a-（巴则向量夹角

ya-bJ

35.（2024,上海长宁•三模）已知a.c是同一个平面上的向量，若同=何=网，且。力=0,04=2,c-6=l,

则〈乙。）=.

36.（2024图三下•重庆渝中,阶段练习）已知向量a,b满足a=。,-1）,卜卜1,a-b=l>则向量a与。的夹

角